广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）
1．（2024九上·广州开学考）在下列四个实数中，的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·广州开学考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·广州开学考）已知一组数据：，这组数据的平均数是4，则众数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024九上·广州开学考）如图，Rt中，，，，以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点，则点所表示的数是（ ）
A． B．2.2 C． D．．
5．（2024九上·广州开学考）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
6．（2024九上·广州开学考）一次函数的图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
7．（2024九上·广州开学考）如图，的周长为，的周长为27cm，则对角线的长为（ ）cm．
A．27 B．17 C．12 D．10
8．（2024九上·广州开学考）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，则长为（ ）
A． B． C．5 D．10
9．（2024九上·广州开学考）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程（米）与行驶时间（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲每分钟走100米
B．两分钟后乙每分钟走50米
C．甲比乙提前3分钟到达B地
D．当或6时，甲乙两人相距100米
10．（2024九上·广州开学考）已知是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2024九上·广州开学考）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2024九上·广州开学考）计算： = .
13．（2024九上·广州开学考） 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 ．
14．（2024九上·广州开学考）甲、乙、丙三位同学进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，则这三位同学发挥最稳定的是
15．（2024九上·广州开学考）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
16．（2024九上·广州开学考）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论：
①矩形是正方形； ②；
③平分； ④．
其中正确的序号为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024九上·广州开学考）解方程：．
18．（2024九上·广州开学考）如图、点在同一直线上，，，．求证：．
19．（2024九上·广州开学考）先化简，再求值：，其中，．
20．（2024九上·广州开学考）如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接EB，若，，求的长．
21．（2024九上·广州开学考）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请解答以下问题：
（1）本次调查的总人数是 ；
（2）抽查的这些学生一周平均课外阅读时间是多少？
（3）若该校共有2000个学生，诸估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数．
22．（2024九上·广州开学考）有煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度，右侧是摄氏温度．已知华氏温度与摄氏温度之间满足一次函数关系，小明通过观察温度计，得到如下表所示的数据．
摄氏温度值 0 10 20 30 40
华氏温度值 32 50 68 86 104
（1）请根据表格提供的数据求出一次函数解析式；
（2）根据解析式，求出华氏温度为时对应的摄氏温度（结果保留一位小数）；
（3）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？请说明理由．
23．（2024九上·广州开学考）如图，直线与坐标轴分别交于点，直线与关于轴对称．
（1）求点的坐标；
（2）若点在的内部（不包含边界），求的取值范围；
（3）为坐标原点，若过点的直线将分成的两部分面积之比为，求该直线的解析式．
24．（2024九上·广州开学考）如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接．
（1）当时，求的周长；
（2）将沿折叠得到，延长交射线于点．
①如图2，当为中点时，求的长；
②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由．
25．（2024九上·广州开学考）已知直线．
（1）当为何值时，直线经过原点？
（2）若直线不经过原点，设直线与轴交于点，与轴交于点，当为何值时，，并求出此时的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，若某个点到轴、轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点，
，都是“元元点”．若直线上至少有一个“元元点”，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由倒数的定义可知，的倒数是．
故选：B．
【分析】根据倒数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简根式，故不符合题意；
B、被开方数中含有分母，故不符合题意；
C、是最简根式，故符合题意；
D、，不是最简根式，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】 解：由题意可得：
解得：x=6
∴该组数据为：1，3，4，6，6
∴出现次数最多的为6，则众数为6
故答案为：D
【分析】根据平均数的定义可得x值，再根据众数的定义即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点
∴
∴点所表示的数是
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得OB，再根据圆弧性质，结合数轴上点的位置关系即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米.
故选：B.
【分析】根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半即可求解.
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k=-3<0，b=4
∴函数图象经过第一，二，四象限
故答案为：C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC，AB=DC
∵的周长为
∴AB+BC+AD+DC=30
∴AB+BC=15
∵的周长为27cm
∴AB+BC+AC=27
∴AC=12
故答案为：C
【分析】根据平行四边形性质可得AB+BC=15，再根据三角形周长即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AE交BF于点O，连接EF
由题意可得：AB=AF，AE⊥BF
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠EAF=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB
∴AB=BE=AF
∵AF∥BE
∴四边形ABEF是平行四边形
∵AB=AF
∴四边形ABEF是菱形
∴
在Rt△AOB中，
∴AE=2OA=
故答案为：B
【分析】设AE交BF于点O，连接EF，由题意可得：AB=AF，AE⊥BF，根据垂直平分线性质可得OB=OF，∠BAE=∠EAF，再根据平行四边形性质可得AD∥BC，则∠EAF=∠AEB，即∠BAE=∠AEB，再根据菱形判定定理可得四边形ABEF是菱形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得：
甲每分钟走600÷6=100米，A正确
乙到达B地的时间为2+(600-300)÷50=8分钟，则甲比乙提前8-6=2分钟，B错误
两分钟后乙每分钟走(500-300)÷(6-2)=50米，C正确
当x=2时，甲乙相距300-100×2=100米
当x=6时，甲乙相距600-500=100米，D正确
故答案为：B
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且m>0
∴x1-x2与y1-y2同号
∵是一次函数图象上不同的两个点
∴y随x的增大而增大
∴a+2>0
∴a>-2
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质可得x1-x2与y1-y2同号，再根据一次函数的性质与系数的关系即可求出答案.
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式，求解即可。
12．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可。即先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并起来。
13．【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是5，12，
∴△ABC的面积为：×5×12=30，
故答案为：30．
【分析】首先根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可解答．
14．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵
∴甲同学发挥最稳定
故答案为：甲
【分析】方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
15．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：因为函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（1，1），
所以方程组 的解是 ．
故答案为 ．
【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，结合函数图象即可求出答案.
16．【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC，EN⊥CD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
∴NE=NC
∴四边形DEFG是矩形
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF
在△DEN和△MEF中
∴△DEN≌△MEF(ASA)
∴ED=EF
∴矩形DEFG是正方形，①正确
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG
在△ADE和△CDG中
∴△ADE≌△CDG(SAS)
∴AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°
∵∠DCF=90°
∴CG平分∠DCF，③正确
当DE⊥AC时，点C与点F重合，则CF=0，CE≠0
∴CE不一定等于，②错误
过点G作GT⊥BC交BC的延长线于点T，则∠T=∠EMF=90°
∵EF=FG，∠EFG=90°
∴∠EFM+∠GFT=90°，∠GFT=∠FGT=90°
∴∠EFM=∠FGT
∴△EFM≌△FGT(AAS)
∴FT=EM
∵，④正确
故答案为：①③④
【分析】过点E作EM⊥BC，EN⊥CD，根据正方形可得∠BCD=90°，∠ECN=45°，再根据角之间的关系可得∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，则NE=NC，根据矩形判定定理可得四边形DEFG是矩形，则∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，即∠DEN=∠MEF，再根据全等三角形判定定理可得△DEN≌△MEF(ASA)，则ED=EF，再根据正方形判定定理可判断①；则DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，根据正方形性质可得∠ADE=∠CDG，再根据全等三角形判定定理可得△ADE≌△CDG(SAS)，则AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°，再根据角平分线判定定理可判断③；当DE⊥AC时，点C与点F重合，则CF=0，CE≠0，CE不一定等于，可判断②；过点G作GT⊥BC交BC的延长线于点T，则∠T=∠EMF=90°，根据角之间的关系可得∠EFM=∠FGT，再根据全等三角形判定定理可得△EFM≌△FGT(AAS)，则FT=EM，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】解：，
即，
∴，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】对右边的式子进行分解，然后移项，再提取公因式(2x-1)可得(2x-1)(x-2)=0，据此求解.
18．【答案】证明：∵AD∥BC
∴∠A=∠C
∵AE=CF
∴AE+EF=EF+FC，即AF=CE
在△ADF和△CBE中
∴△ADF和△CBE(SAS)
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠A=∠C，再根据边之间的关系可得AF=CE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】解：原式=
=
=a-b
∵，
∴原式=3023-2024=-1
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将a，b值代入即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠AOC=90°
∴AO⊥OC，即AD⊥EC
∵DO=AO，EO=CO
∴四边形AEDC是平行四边形
∴平行四边形AEDC是菱形
（2）解：连接EB
∵四边形AEDC是菱形，∠AED=60°
∴∠AEO=30°
∵∠AOE=90°，AE=4
∴
∴
∴
∵四边形ABCO是矩形
∴BC=OA=2，∠BCE=90°
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得∠AOC=90°，即AD⊥EC，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）连接EB，根据菱形性质可得∠AEO=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得EO，再根据矩形性质可得BC=OA=2，∠BCE=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）40
（2）解：由题意可得：
这些学生一周平均课外阅读时间为小时
（3）解：由题意可得：
人
∴该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生总数为：4+8+15+10+3=40人
故答案为：40
【分析】（1）将所有人数相加即可求出答案，
（2）根据平均数定义即可求出答案.
（3）根据2000乘以不少于3小时的占比即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b
将x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式可得：
，解得：
∴ 一次函数的解析式为
（2）解：当y=0时，得：
解得：x≈-17.8
∴华氏温度为时对应的摄氏温度为-17.8℃
（3）解：华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，理由如下
当y=x时，
解得：x=-40
∴当摄氏温度是-40℃，对应华氏温度是-40°F，两者数值相等
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法将x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式即可求出答案.
（2）将y=0代入解析式即可求出答案.
（3）将y=x代入解析式，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：由题意可得：
当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3
∴A(-3，0)，C(0，3)
∵直线与关于轴对称
∴点B与点A关于y轴对称
∴B(3，0)
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b
将点C(0，3)，B(3，0)代入可得：
，解得：
∴直线BC的解析式为：y=-x+3
当点P在直线CA上时，m+3=2，解得：m=-1
当点P在直线BC上时，-m+3=2，解得：m=1
∴当点P在△ABC的内部时，m的取值范围为-1（3）解：由题意可得：
①设直线L交AC于点K，，过点K作KH⊥AB于点H
∴
∴，解得：HK=2
在y=x+3中，令y=2，即2=x+3，解得：x=-1
∴K(-1，2)
设直线l解析式为y=px
∴2=-p，即p=-2
∴直线l的解析式为y=-2x
②设直线l交BC于点T，，过点T作TH'⊥AB于点H'
同理可得：，解得：TH'=2
在y=-x+3中，令y=2，即2=-x+3，解得：x=1
∴T(1，2)
则直线l的解析式为y=2x
综上所述，直线l的解析式为y=-2x或y=2x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A，C坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征可得B点坐标.
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为：y=-x+3，分别求出点P在直线CA，BC上时m的值，即可求出点P在三角形ABC内部时，m的取值范围.
（3）根据三角形面积可得，分情况讨论：①设直线L交AC于点K，，过点K作KH⊥AB于点H，则，根据三角形面积建立返程，可得HK，求出点K坐标，设直线l解析式为y=px，根据待定系数法将点K坐标代入解析式即可求出答案；②设直线l交BC于点T，，过点T作TH'⊥AB于点H'，讨论即可求出答案.
24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABE=90°
∵BE=1，AB=4
∴
∴的周长为
（2）解： ① 由折叠性质可得，∠EMA=∠B=90°，BE=EM，∠BEA=∠MEA
∵点E为BC的中点
∴EM=EC
在Rt△EMF和Rt△ECF中
EF=EF，EM=EC
∴△EMF≌△ECF
∴∠MEF=∠CEF，MF=CF
∵∠BEA=∠MEA
∴
∴∠EFM=∠AEM
∵∠EMF=∠AME
∴△AEM∽△EFM
∴
∴
∴CF=MF=1
②当点F在DC的延长线上时，AF+CE-CF为定值，小程同学说得对
当点F在线段DC上时，AF+CE+CF为定值，小方同学说得对，理由如下：
延长EM交DC于点H，交AD延长线于点G，连接AH
由题意可得：AM=AB=AD
∵HM⊥AF，HD⊥AD
∴△AMH≌△ADH
∴DH=MH
∵∠HDG=∠HMF，∠DHG=∠MHF，DH=MH
∴△HDG≌△HMF
∴DG=MF，HG=HF
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠EAG
∵∠AEB=∠AEG
∴∠EAG=∠AEG
∴EG=AG=AF
如图，当点F在DC延长线上时，AF+CE-CF=EG+CE-CF
∵EG=EH+GH，GH=HF=CH=CF
EH=EM+MH=BE+DH
∴AF+CE-CF=BE+EC+CH+DH=2BC=8
如图，当点F在线段DC上时，AF+CE+CF=EG+EC+CF
∵GH=HF，EH=BE+DH，EG=GH+EH
∴AF+CE+CF=HF+BE+DH+EC+CF=2BC=8
∴当点F在DC的延长线上时，AF+CE-CF为定值，小程同学说得对；当点F在线段DC上时，AF+CE+CF为定值，小方同学说得对.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得∠ABE=90°，再根据勾股定理可得AE，再根据三角形周长即可求出答案.
（2）①由折叠性质可得，∠EMA=∠B=90°，BE=EM，∠BEA=∠MEA，根据全等三角形判定定理可得△EMF≌△ECF，则∠MEF=∠CEF，MF=CF，再根据角之间的关系可得∠EFM=∠AEM，再跟矩形相似三角形判定定理可得△AEM∽△EFM，则，代值计算即可求出答案.
②延长EM交DC于点H，交AD延长线于点G，连接AH，由题意可得：AM=AB=AD，根据全等三角形判定定理可得△AMH≌△ADH，则DH=MH，再根据全等三角形判定定理可得△HDG≌△HMF，则DG=MF，HG=HF，再根据直线平行性质可得∠AEB=∠EAG，则∠EAG=∠AEG，再根据等角对等边可得EG=AG=AF，分情况讨论：当点F在DC延长线上时，AF+CE-CF=EG+CE-CF；当点F在线段DC上时，AF+CE+CF=EG+EC+CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
25．【答案】（1）解：∵直线经过原点
∴将(0，0)代入解析式可得：3k-1=0
解得：
∴当时，直线l经过原点
（2）解：令x=0，则y=3k-1
令y=0，则
∴
∴
∵
∴
解得：或
当时，
∴
∴
当时，
∴
∴
（3）解：设“元元点”的坐标为(x，y)
由题意可得：|x|+|y|=2
∴满足条件的点在直线y=2-|x|和y=|x|-2所围成的边界上
直线经过定点(-3，-4)
当直线经过点(0，-2)时，，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”
当直线经过点(-2，0)时，k=3，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”
∴当时，线上至少有一个“元元点”
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据题意将原点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，再根据题意建立方程，解方程可得k值，再跟据三角形面积即可求出答案.
（3）设“元元点”的坐标为(x，y)，由题意可得：|x|+|y|=2，则满足条件的点在直线y=2-|x|和y=|x|-2所围成的边界上，直线经过定点(-3，-4)，根据题意当直线经过点(0，-2)时，，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”，当直线经过点(-2，0)时，k=3，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”，即可求出答案.
1 / 1广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）
1．（2024九上·广州开学考）在下列四个实数中，的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由倒数的定义可知，的倒数是．
故选：B．
【分析】根据倒数的定义即可求出答案.
2．（2024九上·广州开学考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简根式，故不符合题意；
B、被开方数中含有分母，故不符合题意；
C、是最简根式，故符合题意；
D、，不是最简根式，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．（2024九上·广州开学考）已知一组数据：，这组数据的平均数是4，则众数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】 解：由题意可得：
解得：x=6
∴该组数据为：1，3，4，6，6
∴出现次数最多的为6，则众数为6
故答案为：D
【分析】根据平均数的定义可得x值，再根据众数的定义即可求出答案.
4．（2024九上·广州开学考）如图，Rt中，，，，以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点，则点所表示的数是（ ）
A． B．2.2 C． D．．
【答案】A
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点
∴
∴点所表示的数是
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得OB，再根据圆弧性质，结合数轴上点的位置关系即可求出答案.
5．（2024九上·广州开学考）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米.
故选：B.
【分析】根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半即可求解.
6．（2024九上·广州开学考）一次函数的图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k=-3<0，b=4
∴函数图象经过第一，二，四象限
故答案为：C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
7．（2024九上·广州开学考）如图，的周长为，的周长为27cm，则对角线的长为（ ）cm．
A．27 B．17 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC，AB=DC
∵的周长为
∴AB+BC+AD+DC=30
∴AB+BC=15
∵的周长为27cm
∴AB+BC+AC=27
∴AC=12
故答案为：C
【分析】根据平行四边形性质可得AB+BC=15，再根据三角形周长即可求出答案.
8．（2024九上·广州开学考）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，则长为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AE交BF于点O，连接EF
由题意可得：AB=AF，AE⊥BF
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠EAF=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB
∴AB=BE=AF
∵AF∥BE
∴四边形ABEF是平行四边形
∵AB=AF
∴四边形ABEF是菱形
∴
在Rt△AOB中，
∴AE=2OA=
故答案为：B
【分析】设AE交BF于点O，连接EF，由题意可得：AB=AF，AE⊥BF，根据垂直平分线性质可得OB=OF，∠BAE=∠EAF，再根据平行四边形性质可得AD∥BC，则∠EAF=∠AEB，即∠BAE=∠AEB，再根据菱形判定定理可得四边形ABEF是菱形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
9．（2024九上·广州开学考）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程（米）与行驶时间（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲每分钟走100米
B．两分钟后乙每分钟走50米
C．甲比乙提前3分钟到达B地
D．当或6时，甲乙两人相距100米
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得：
甲每分钟走600÷6=100米，A正确
乙到达B地的时间为2+(600-300)÷50=8分钟，则甲比乙提前8-6=2分钟，B错误
两分钟后乙每分钟走(500-300)÷(6-2)=50米，C正确
当x=2时，甲乙相距300-100×2=100米
当x=6时，甲乙相距600-500=100米，D正确
故答案为：B
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
10．（2024九上·广州开学考）已知是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且m>0
∴x1-x2与y1-y2同号
∵是一次函数图象上不同的两个点
∴y随x的增大而增大
∴a+2>0
∴a>-2
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质可得x1-x2与y1-y2同号，再根据一次函数的性质与系数的关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2024九上·广州开学考）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式，求解即可。
12．（2024九上·广州开学考）计算： = .
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可。即先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并起来。
13．（2024九上·广州开学考） 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 ．
【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是5，12，
∴△ABC的面积为：×5×12=30，
故答案为：30．
【分析】首先根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可解答．
14．（2024九上·广州开学考）甲、乙、丙三位同学进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，则这三位同学发挥最稳定的是
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵
∴甲同学发挥最稳定
故答案为：甲
【分析】方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
15．（2024九上·广州开学考）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：因为函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（1，1），
所以方程组 的解是 ．
故答案为 ．
【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，结合函数图象即可求出答案.
16．（2024九上·广州开学考）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论：
①矩形是正方形； ②；
③平分； ④．
其中正确的序号为 ．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC，EN⊥CD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
∴NE=NC
∴四边形DEFG是矩形
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF
在△DEN和△MEF中
∴△DEN≌△MEF(ASA)
∴ED=EF
∴矩形DEFG是正方形，①正确
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG
在△ADE和△CDG中
∴△ADE≌△CDG(SAS)
∴AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°
∵∠DCF=90°
∴CG平分∠DCF，③正确
当DE⊥AC时，点C与点F重合，则CF=0，CE≠0
∴CE不一定等于，②错误
过点G作GT⊥BC交BC的延长线于点T，则∠T=∠EMF=90°
∵EF=FG，∠EFG=90°
∴∠EFM+∠GFT=90°，∠GFT=∠FGT=90°
∴∠EFM=∠FGT
∴△EFM≌△FGT(AAS)
∴FT=EM
∵，④正确
故答案为：①③④
【分析】过点E作EM⊥BC，EN⊥CD，根据正方形可得∠BCD=90°，∠ECN=45°，再根据角之间的关系可得∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，则NE=NC，根据矩形判定定理可得四边形DEFG是矩形，则∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，即∠DEN=∠MEF，再根据全等三角形判定定理可得△DEN≌△MEF(ASA)，则ED=EF，再根据正方形判定定理可判断①；则DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，根据正方形性质可得∠ADE=∠CDG，再根据全等三角形判定定理可得△ADE≌△CDG(SAS)，则AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°，再根据角平分线判定定理可判断③；当DE⊥AC时，点C与点F重合，则CF=0，CE≠0，CE不一定等于，可判断②；过点G作GT⊥BC交BC的延长线于点T，则∠T=∠EMF=90°，根据角之间的关系可得∠EFM=∠FGT，再根据全等三角形判定定理可得△EFM≌△FGT(AAS)，则FT=EM，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共9小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024九上·广州开学考）解方程：．
【答案】解：，
即，
∴，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】对右边的式子进行分解，然后移项，再提取公因式(2x-1)可得(2x-1)(x-2)=0，据此求解.
18．（2024九上·广州开学考）如图、点在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明：∵AD∥BC
∴∠A=∠C
∵AE=CF
∴AE+EF=EF+FC，即AF=CE
在△ADF和△CBE中
∴△ADF和△CBE(SAS)
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠A=∠C，再根据边之间的关系可得AF=CE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．（2024九上·广州开学考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式=
=
=a-b
∵，
∴原式=3023-2024=-1
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将a，b值代入即可求出答案.
20．（2024九上·广州开学考）如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接EB，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠AOC=90°
∴AO⊥OC，即AD⊥EC
∵DO=AO，EO=CO
∴四边形AEDC是平行四边形
∴平行四边形AEDC是菱形
（2）解：连接EB
∵四边形AEDC是菱形，∠AED=60°
∴∠AEO=30°
∵∠AOE=90°，AE=4
∴
∴
∴
∵四边形ABCO是矩形
∴BC=OA=2，∠BCE=90°
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得∠AOC=90°，即AD⊥EC，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）连接EB，根据菱形性质可得∠AEO=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得EO，再根据矩形性质可得BC=OA=2，∠BCE=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
21．（2024九上·广州开学考）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请解答以下问题：
（1）本次调查的总人数是 ；
（2）抽查的这些学生一周平均课外阅读时间是多少？
（3）若该校共有2000个学生，诸估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数．
【答案】（1）40
（2）解：由题意可得：
这些学生一周平均课外阅读时间为小时
（3）解：由题意可得：
人
∴该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生总数为：4+8+15+10+3=40人
故答案为：40
【分析】（1）将所有人数相加即可求出答案，
（2）根据平均数定义即可求出答案.
（3）根据2000乘以不少于3小时的占比即可求出答案.
22．（2024九上·广州开学考）有煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度，右侧是摄氏温度．已知华氏温度与摄氏温度之间满足一次函数关系，小明通过观察温度计，得到如下表所示的数据．
摄氏温度值 0 10 20 30 40
华氏温度值 32 50 68 86 104
（1）请根据表格提供的数据求出一次函数解析式；
（2）根据解析式，求出华氏温度为时对应的摄氏温度（结果保留一位小数）；
（3）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b
将x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式可得：
，解得：
∴ 一次函数的解析式为
（2）解：当y=0时，得：
解得：x≈-17.8
∴华氏温度为时对应的摄氏温度为-17.8℃
（3）解：华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，理由如下
当y=x时，
解得：x=-40
∴当摄氏温度是-40℃，对应华氏温度是-40°F，两者数值相等
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法将x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式即可求出答案.
（2）将y=0代入解析式即可求出答案.
（3）将y=x代入解析式，解方程即可求出答案.
23．（2024九上·广州开学考）如图，直线与坐标轴分别交于点，直线与关于轴对称．
（1）求点的坐标；
（2）若点在的内部（不包含边界），求的取值范围；
（3）为坐标原点，若过点的直线将分成的两部分面积之比为，求该直线的解析式．
【答案】（1）解：由题意可得：
当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3
∴A(-3，0)，C(0，3)
∵直线与关于轴对称
∴点B与点A关于y轴对称
∴B(3，0)
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b
将点C(0，3)，B(3，0)代入可得：
，解得：
∴直线BC的解析式为：y=-x+3
当点P在直线CA上时，m+3=2，解得：m=-1
当点P在直线BC上时，-m+3=2，解得：m=1
∴当点P在△ABC的内部时，m的取值范围为-1（3）解：由题意可得：
①设直线L交AC于点K，，过点K作KH⊥AB于点H
∴
∴，解得：HK=2
在y=x+3中，令y=2，即2=x+3，解得：x=-1
∴K(-1，2)
设直线l解析式为y=px
∴2=-p，即p=-2
∴直线l的解析式为y=-2x
②设直线l交BC于点T，，过点T作TH'⊥AB于点H'
同理可得：，解得：TH'=2
在y=-x+3中，令y=2，即2=-x+3，解得：x=1
∴T(1，2)
则直线l的解析式为y=2x
综上所述，直线l的解析式为y=-2x或y=2x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A，C坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征可得B点坐标.
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为：y=-x+3，分别求出点P在直线CA，BC上时m的值，即可求出点P在三角形ABC内部时，m的取值范围.
（3）根据三角形面积可得，分情况讨论：①设直线L交AC于点K，，过点K作KH⊥AB于点H，则，根据三角形面积建立返程，可得HK，求出点K坐标，设直线l解析式为y=px，根据待定系数法将点K坐标代入解析式即可求出答案；②设直线l交BC于点T，，过点T作TH'⊥AB于点H'，讨论即可求出答案.
24．（2024九上·广州开学考）如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接．
（1）当时，求的周长；
（2）将沿折叠得到，延长交射线于点．
①如图2，当为中点时，求的长；
②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABE=90°
∵BE=1，AB=4
∴
∴的周长为
（2）解： ① 由折叠性质可得，∠EMA=∠B=90°，BE=EM，∠BEA=∠MEA
∵点E为BC的中点
∴EM=EC
在Rt△EMF和Rt△ECF中
EF=EF，EM=EC
∴△EMF≌△ECF
∴∠MEF=∠CEF，MF=CF
∵∠BEA=∠MEA
∴
∴∠EFM=∠AEM
∵∠EMF=∠AME
∴△AEM∽△EFM
∴
∴
∴CF=MF=1
②当点F在DC的延长线上时，AF+CE-CF为定值，小程同学说得对
当点F在线段DC上时，AF+CE+CF为定值，小方同学说得对，理由如下：
延长EM交DC于点H，交AD延长线于点G，连接AH
由题意可得：AM=AB=AD
∵HM⊥AF，HD⊥AD
∴△AMH≌△ADH
∴DH=MH
∵∠HDG=∠HMF，∠DHG=∠MHF，DH=MH
∴△HDG≌△HMF
∴DG=MF，HG=HF
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠EAG
∵∠AEB=∠AEG
∴∠EAG=∠AEG
∴EG=AG=AF
如图，当点F在DC延长线上时，AF+CE-CF=EG+CE-CF
∵EG=EH+GH，GH=HF=CH=CF
EH=EM+MH=BE+DH
∴AF+CE-CF=BE+EC+CH+DH=2BC=8
如图，当点F在线段DC上时，AF+CE+CF=EG+EC+CF
∵GH=HF，EH=BE+DH，EG=GH+EH
∴AF+CE+CF=HF+BE+DH+EC+CF=2BC=8
∴当点F在DC的延长线上时，AF+CE-CF为定值，小程同学说得对；当点F在线段DC上时，AF+CE+CF为定值，小方同学说得对.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得∠ABE=90°，再根据勾股定理可得AE，再根据三角形周长即可求出答案.
（2）①由折叠性质可得，∠EMA=∠B=90°，BE=EM，∠BEA=∠MEA，根据全等三角形判定定理可得△EMF≌△ECF，则∠MEF=∠CEF，MF=CF，再根据角之间的关系可得∠EFM=∠AEM，再跟矩形相似三角形判定定理可得△AEM∽△EFM，则，代值计算即可求出答案.
②延长EM交DC于点H，交AD延长线于点G，连接AH，由题意可得：AM=AB=AD，根据全等三角形判定定理可得△AMH≌△ADH，则DH=MH，再根据全等三角形判定定理可得△HDG≌△HMF，则DG=MF，HG=HF，再根据直线平行性质可得∠AEB=∠EAG，则∠EAG=∠AEG，再根据等角对等边可得EG=AG=AF，分情况讨论：当点F在DC延长线上时，AF+CE-CF=EG+CE-CF；当点F在线段DC上时，AF+CE+CF=EG+EC+CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
25．（2024九上·广州开学考）已知直线．
（1）当为何值时，直线经过原点？
（2）若直线不经过原点，设直线与轴交于点，与轴交于点，当为何值时，，并求出此时的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，若某个点到轴、轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点，
，都是“元元点”．若直线上至少有一个“元元点”，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵直线经过原点
∴将(0，0)代入解析式可得：3k-1=0
解得：
∴当时，直线l经过原点
（2）解：令x=0，则y=3k-1
令y=0，则
∴
∴
∵
∴
解得：或
当时，
∴
∴
当时，
∴
∴
（3）解：设“元元点”的坐标为(x，y)
由题意可得：|x|+|y|=2
∴满足条件的点在直线y=2-|x|和y=|x|-2所围成的边界上
直线经过定点(-3，-4)
当直线经过点(0，-2)时，，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”
当直线经过点(-2，0)时，k=3，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”
∴当时，线上至少有一个“元元点”
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据题意将原点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，再根据题意建立方程，解方程可得k值，再跟据三角形面积即可求出答案.
（3）设“元元点”的坐标为(x，y)，由题意可得：|x|+|y|=2，则满足条件的点在直线y=2-|x|和y=|x|-2所围成的边界上，直线经过定点(-3，-4)，根据题意当直线经过点(0，-2)时，，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”，当直线经过点(-2，0)时，k=3，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”，即可求出答案.
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