【精品解析】广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期10月份第二次培优数学试卷

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名称 【精品解析】广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期10月份第二次培优数学试卷
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-08-22 08:52:18

文档简介

广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期10月份第二次培优数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024高二上·深圳月考)直线的倾斜角为(  )
A. B. C. D.
2.(2024高二上·深圳月考)已知直线与垂直,则实数的值是(  )
A.0或3 B.3 C.0或 D.
3.(2024高二上·深圳月考)已知、,则以为直径的圆的一般方程为(  )
A. B.
C. D.
4.(2024高二上·深圳月考)如图所示,直线与的图象可能是(  )
A. B.
C. D.
5.(2024高二上·深圳月考)直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点,点 在圆 上,则 面积的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
6.(2024高二上·深圳月考),分别为直线与上任意一点,则最小值为(  )
A. B. C. D.
7.(2024高二上·深圳月考)直线与直线相交于点P,对任意实数m,直线,分别恒过定点A,B,则的最大值为(  )
A.4 B.8 C. D.
8.(2024高二上·深圳月考)在长方体中,,,是的中点,点在线段上,若直线与平面所成的角为,则的取值范围是(  )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2024高二上·深圳月考)下面四个结论正确的是(  )
A.已知向量,,若,则为钝角
B.已知,,则向量在向量上的投影向量是
C.若直线经过第三象限,则,
D.已知,,三点不共线,对于空间任意一点,若,则,,,四点共面
10.(2024高二上·深圳月考)下述四个结论,正确的是(  )
A.过点在轴,轴上截距都相等的直线方程为
B.直线与圆相交的充分不必要条件是
C.直线表示过点的所有直线
D.过点与圆相切的直线方程为
11.(2024高二上·深圳月考)已知点和,是直线上的动点,则(  )
A.存在,使最小
B.存在,使最小
C.存在,使最大
D.存在,使最小
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024高二上·深圳月考)已知、满足,则的最大值为   .
13.(2024高二上·深圳月考)已知从点发出的光线,经轴反射后,反射光线恰好平分圆:的圆周,则反射光线所在的直线方程为   .
14.(2024高二上·深圳月考)阅读下面材料:在空间直角坐标系Oxyz中,过点且一个法向量为的平面的方程为,过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料,解决下面问题:已知平面的方程为,直线是两个平面与的交线,则直线与平面所成角的余弦值为   .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(2024高二上·深圳月考)已知圆C的圆心在y轴上,并且过原点和.
(1)求圆C的方程;
(2)若线段的端点,端点B在圆C上运动,求线段的中点M的轨迹方程.
16.(2024高二上·深圳月考)已知直线过定点
(1)若到直线的距离为,求直线的方程;
(2)若直线分别与轴,轴的负半轴交于两点,求(为坐标原点)面积的最小值及此时直线的方程.
17.(2024高二上·深圳月考)已知的顶点,边上的高所在直线的方程为,边上的中线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程;
(2)求的面积.
18.(2024高二上·深圳月考)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面是的中点,作交于点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求平面与平面的夹角的大小.
19.(2024高二上·深圳月考)已知点,圆.直线与圆相交于A、B两点,.
(1)若直线过点,求直线的方程;
(2)①若线段AB的中点为,求点的轨迹方程;
②过点作直线与曲线交于两点M、N,设的斜率分别为,求证:为定值.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解:设直线的倾斜角为,
因为该直线的斜率为,
所以,
所以,
故答案为:A.
【分析】根据直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系式,再结合直线的倾斜角的取值范围,从而得出直线的倾斜角.
2.【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解:因为直线与垂直,
所以,
解得,
所以,实数的值是.
故答案为:D.
【分析】利用两条直线垂直斜率之积等于-1,从而求出的值.
3.【答案】B
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解:因为、,
所以中点坐标为即.
则,
所以,以为直径的圆的圆心为,半径为,
则圆的标准方程为,
展开可得,
整理得.
故答案为:B.
【分析】先求出的中点坐标和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径长,从而得出所求圆的标准方程,再将其转化为一般方程即可.
4.【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解:因为直线方程可化为,
斜率为,在轴上的截距为,
又因为直线方程可化为,
斜率为,在轴上的截距为.
对于选项A,由直线的图象,可得,则,
由直线的图象,可得, 故选项A不满足条件;
对于选项B,由直线的图象,可得,则,
由直线的图象,可得,故选项B不满足条件;
对于选项C,由直线的图象,可得,则,
由直线的图象,可得, 故选项C满足条件;
对于选项D,由直线的图象,可得,则,
由直线的图象,可得,故选项D不满足条件.
故答案为:C.
【分析】分析两直线的斜率和直线在轴上的截距,从而得出的符号,进而找出直线与可能的图象,从而找出正确的选项.
5.【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解: 直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点
,则
点P在圆 上
圆心为(2,0),则圆心到直线距离
故点P到直线 的距离 的范围为

故答案为:A.
【分析】求出A和B的坐标,结合点到直线的距离公式,即可求出三角形面积的取值范围.
6.【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解:由,
可得两条直线相互平行,
所以最小值为平行线之间的距离,
则可化为,
所以,.
故答案为:A.
【分析】利用两平行线间的距离公式和已知条件,从而求出的最小值.
7.【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;直线的一般式方程与直线的垂直关系;两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解:因为直线,
当,得,则点,
又因为直线,
当,得,则点,
且两条直线满足,
所以,
则,
因为,
又因为,当时,等号成立,
所以的最大值为4.
故答案为:A.
【分析】先求出点的坐标,再判断两条直线的位置关系,最后结合基本不等式求最值的方法,从而得出的最大值.
8.【答案】B
【知识点】函数的值域;数量积表示两个向量的夹角;用空间向量研究直线与平面所成的角;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:以点为坐标原点,
以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、,
设点,
则,,,
设平面的法向量为,
则,取,可得,
所以,,
则,
所以,
则,
所以,,
则.
故答案为:B.
【分析】先建立空间直角坐标系,再设点,其中,从而得出向量的坐标,再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示,从而得出平面的法向量,再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式以及二次型函数求值域的方法,从而得出直线与平面所成的角的正弦的取值范围.
9.【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量数量积的坐标表示;共面向量定理;平面向量的投影向量
【解析】【解答】对于A中,当时,,,,
此时为,故A错误;
对于B中,向量在向量上的投影向量为,故B正确;
对于C中,令,则直线为,且经过第三象限,
但此时,故C错误;
对于D中,因为,,
所以由向量共面定理的推论可得,,,四点共面,故D正确.
故选:BD.
【分析】取可得,得到为,可判定A错误;由投影向量的计算公式,求得向量在向量上的投影向量,可得判定B正确;令,可判定C错误;由,结合空间向量共面定理,可判定D正确.
10.【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线的截距式方程;过两条直线交点的直线系方程;圆的切线方程;直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:对于A,没有考虑截距均为0的情况,排除A;
对于B,若直线与圆相交,
则,
解得,
是直线与圆相交的充分不必要条件,故B正确.
对于C,因为点在轴上,但无论取何值,不能表示轴,故C不正确.
对于D,设过的直线方程为,即,

则,
解得,
过的直线方程为,故D正确.
故答案为:BD.
【分析】没有考虑截距均为0的情况,则排除选项A;根据圆心到直线的距离与半径的大小比较进行求解,则判断出选项B;利用反例法可排除选项C;设出过直线方程,再根据圆心到直线的距离等于半径,从而得出过点与圆相切的直线方程,则判断出选项D,从而找出结论正确的选项.
11.【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大(小)值;基本不等式在最值问题中的应用;用斜率判定两直线垂直;平面内两点间距离公式的应用;图形的对称性
【解析】【解答】解:在平面直角坐标系中作出点和直线,
由图可知,点和在直线同侧,
设点关于直线的对称点为,
则,
解得,
得,
因为,
当且仅当为直线与直线的交点时有最小值,
又因为直线的斜率为,所以直线的方程为,
由,解得,
则存在,使最小,故选项A正确;
因为最小值为0,当且仅当,
则点为线段的垂直平分线与直线的交点,
所以的中点坐标为,直线的斜率为,
则线段的垂直平分线方程为,即,
又因为,解得,
所以,存在,使最小,故选项B错误;
因为,
当且仅当为直线与直线的交点时有最大值,
则直线的方程为,即,
又因为,解得,
则存在,使最大,故选项C正确;
设,则
当时有最小值,此时,
所以,存在,使最小,故选项D正确.
故答案为:ACD.
【分析】先求点关于直线的对称点为,再根据直线与直线的交点坐标可判断选项A;利用点为线段的垂直平分线与直线的交点,则判断出选项B;根据绝对值的特点得出点为直线与直线的交点,则判断出选项C;设出点坐标,根据二次函数的性质求解得出取最小值时点的坐标,则判断出选项D,从而找出正确的选项.
12.【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】解:由题意可知,
设,则在以为圆心,半径的圆上,
因为,
显然.
当且仅当P在延长线上时取得最大值.
故答案为:.
【分析】利用已知条件和圆的性质以及两点的距离公式,再利用几何法求最值的方法,从而得出的最大值.
13.【答案】
【知识点】直线的一般式方程;反射变换
【解析】【解答】解:由圆的方程得出圆心坐标为,
∵反射光线恰好平分圆的圆周,
∴反射光线经过点,
∵关于轴对称的点为,
∴反射光线所在直线经过点,
∴反射光线所在直线斜率为,
所以,反射光线所在直线方程为,
化简得.
故答案为:.
【分析】先求出圆的圆心坐标,再根据直线平分圆的圆周可知反射光线所在直线过圆心,再结合图形的对称性可知反射光线过点,从而得出反射光线所在的直线方程.
14.【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解:因为平面的方程为,
所以平面的一个法向量为,
同理可得,平面的一个法向量为,
平面的一个法向量为,
设直线的方向向量为,
则,
取,则,所以,
设直线与平面所成角为,
则,
所以,
则直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为:.
【分析】设直线的方向向量,由平面交线为可知两平面的法向量都与垂直,再由数量积运算得出一个直线的方向向量,最后由数量积求向量夹角公式和诱导公式以及同角三角函数基本关系式,从而得出直线与平面所成角的余弦值.
15.【答案】(1)解:设圆C方程:,
由已知条件可知,解得,
∴圆C的方程为.
(2)解:设点,.
∵,
∴,
整理得,,
∵点B在圆C上,∴,
∴点M的轨迹方程为.
【知识点】圆的标准方程;圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法和 圆C的圆心在y轴上以及点代入法,从而解方程得出圆心坐标和半径长,进而得出圆C的标准方程.
(2)设,,由中点坐标公式可得,,再代入圆C方程,整理即可求出线段的中点M的轨迹方程.
(1)设圆C方程:,
由已知,解得,
∴圆C的方程为.
(2)设点,.
∵,
∴.
整理得,,
∵点B在圆C上,∴,
∴点M的轨迹方程为.
16.【答案】(1)解:当直线斜率不存在时,
由直线过,得直线,满足点到直线的距离为3,
当直线斜率存在时,
设直线方程为,即,
则点到直线的距离为,解得,
此时直线的方程为,即,
综上所述,所求的直线方程为或.
(2)解:若直线分别与轴,轴的负半轴交于两点,
则设直线为,,
则,
所以
,当且仅当时取等号,
故面积的最小值为12,此时直线l的方程为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;直线的一般式方程;平面内点到直线的距离公式;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)先对直线的斜率是否存在分类讨论,再结合点到直线的距离公式得出直线的方程.
(2)设直线为,再利用三角形的面积公式,则可用直线的斜率表示的面积,再结合基本不等式求最值的方法,从而得出面积的最小值,进而得出此时直线的方程.
(1)当直线斜率不存在时,
由过得,满足到的距离为3,
当直线斜率存在时,设直线方程为即,
点到直线的距离为,解得.
此时直线的方程为即,
综上所述,所求的直线方程为或.
(2)若直线分别与轴,轴的负半轴交于两点,
则设直线为,,则, .
,当且仅当时取等号,
故面积的最小值为12,此时直线l的方程为.
17.【答案】(1)解:因为边上的高所在直线方程为,
所以,设直线的方程为,
又因为点在直线上,
所以,
解得,
所以直线的方程为.
(2)解:因为点既满足直线的方程,
又满足的方程,
所以,
解得,故,
所以,
设,因为点满足直线,
所以,
设的中点坐标为,满足,
所以,
整理得,
所以,解得,
所以,
则点到直线的距离为,
故.
【知识点】平面内中点坐标公式;直线的一般式方程;两条直线的交点坐标;平面内点到直线的距离公式;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)根据已知条件和两直线垂直斜率之积等于-1,从而求出直线的方程.
(2)先确定点的坐标和点的坐标,再利用两点距离公式得出线段的长度,再根据点到直线的距离公式得出点到直线的距离,从而得出三角形的高,再利用三角形的面积公式得出的面积.
(1)由于边上的高所在直线方程为,
所以设直线的方程为,
由于点在直线上,即,解得,
所以直线的方程为.
(2)由于点既满足直线的方程,又满足的方程,
所以,解得,故,
所以,
设,由于点满足直线,故,
设的中点坐标为,满足,
所以,整理得,
所以,解得,所以,
则点到直线的距离,
故.
18.【答案】(1)证明:在四棱锥中,
底面,底面,
则,
由底面是正方形,得,
以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,
设,
则,

设平面的法向量为,
则,
令,得,
则,
又因为平面,
所以平面.
(2)证明:由(1)知,,
由,得,
又因为且平面,
所以平面.
(3)解:由(1)知,,且,
设平面的法向量为,
则,取,得,
因为,又因为,
则,
所以,
则平面的一个法向量为,
则,
又因为,
所以,
所以,平面与平面的夹角为.
【知识点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,则得出点的坐标和向量的坐标,再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示,从而求出平面的法向量坐标,再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示,从而证出平面
(2)由(1)知,再利用得出,再结合且平面,则根据线面垂直的判定定理证出平面.
(3)由(1)知,,且,利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示,从而得出平面的法向量和平面的法向量,再利用数量积求向量夹角公式和二面角的平面角的取值范围,从而得出平面与平面的夹角的大小.
(1)在四棱锥中,底面,底面,
则,由底面是正方形,得,
以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,
设,则,
,设平面的法向量为,
则,令,得,则,
而平面,所以平面.
(2)由(1)知,,由,得,
又,且平面,
所以平面.
(3)由(1)知,,且,
设平面的法向量为,则,取,得,
,而,则,
即,则的一个法向量为,
因此,而,则,
所以平面与平面的夹角为.
19.【答案】(1)解:由题意可知:圆的圆心为,半径,
则圆心到直线的距离,
若直线的斜率不存在,则直线,满足题意;
若直线的斜率存在,设直线,即,
则,解得直线,
综上所述:直线的方程为或.
(2)①解:若线段AB的中点为,
可得,
则,
可知点的轨迹是以为圆心,半径为1的圆,
所以点的轨迹方程.
②证明:由(1)可知:直线的斜率存在,
设直线的方程为,即,
设点、,
联立方程,
消去y可得,
则,解得,
由韦达定理,可得,,

.
则为定值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意分析可知圆心到直线的距离,再分类讨论出直线的斜率是否存在,再结合点到直线的距离公式得出直线的方程.
(2)①先利用已知条件分析可知的值,从而得出点的轨迹方程.
②设直线的方程为,设、,将直线的方程与圆的方程联立,从而列出韦达定理式,再利用直线的斜率公式和韦达定理式计算出的值,从而证出为定值.
(1)由题意可知:圆的圆心为,半径,
则圆心到直线的距离,
若直线的斜率不存在,即直线,满足题意;
若直线的斜率存在,设直线,即,
则,解得,
所以直线;
综上所述:直线的方程为或.
(2)①若线段AB的中点为,可得,即,
可知点的轨迹是以为圆心,半径为1的圆,
所以点的轨迹方程;
②由(1)可知:直线的斜率存在,
设直线的方程为,即,点、,
联立方程,消去y可得,
则,解得,
由韦达定理可得,,

.
所有为定值.
1 / 1广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期10月份第二次培优数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024高二上·深圳月考)直线的倾斜角为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解:设直线的倾斜角为,
因为该直线的斜率为,
所以,
所以,
故答案为:A.
【分析】根据直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系式,再结合直线的倾斜角的取值范围,从而得出直线的倾斜角.
2.(2024高二上·深圳月考)已知直线与垂直,则实数的值是(  )
A.0或3 B.3 C.0或 D.
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解:因为直线与垂直,
所以,
解得,
所以,实数的值是.
故答案为:D.
【分析】利用两条直线垂直斜率之积等于-1,从而求出的值.
3.(2024高二上·深圳月考)已知、,则以为直径的圆的一般方程为(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解:因为、,
所以中点坐标为即.
则,
所以,以为直径的圆的圆心为,半径为,
则圆的标准方程为,
展开可得,
整理得.
故答案为:B.
【分析】先求出的中点坐标和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径长,从而得出所求圆的标准方程,再将其转化为一般方程即可.
4.(2024高二上·深圳月考)如图所示,直线与的图象可能是(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解:因为直线方程可化为,
斜率为,在轴上的截距为,
又因为直线方程可化为,
斜率为,在轴上的截距为.
对于选项A,由直线的图象,可得,则,
由直线的图象,可得, 故选项A不满足条件;
对于选项B,由直线的图象,可得,则,
由直线的图象,可得,故选项B不满足条件;
对于选项C,由直线的图象,可得,则,
由直线的图象,可得, 故选项C满足条件;
对于选项D,由直线的图象,可得,则,
由直线的图象,可得,故选项D不满足条件.
故答案为:C.
【分析】分析两直线的斜率和直线在轴上的截距,从而得出的符号,进而找出直线与可能的图象,从而找出正确的选项.
5.(2024高二上·深圳月考)直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点,点 在圆 上,则 面积的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解: 直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点
,则
点P在圆 上
圆心为(2,0),则圆心到直线距离
故点P到直线 的距离 的范围为

故答案为:A.
【分析】求出A和B的坐标,结合点到直线的距离公式,即可求出三角形面积的取值范围.
6.(2024高二上·深圳月考),分别为直线与上任意一点,则最小值为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解:由,
可得两条直线相互平行,
所以最小值为平行线之间的距离,
则可化为,
所以,.
故答案为:A.
【分析】利用两平行线间的距离公式和已知条件,从而求出的最小值.
7.(2024高二上·深圳月考)直线与直线相交于点P,对任意实数m,直线,分别恒过定点A,B,则的最大值为(  )
A.4 B.8 C. D.
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;直线的一般式方程与直线的垂直关系;两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解:因为直线,
当,得,则点,
又因为直线,
当,得,则点,
且两条直线满足,
所以,
则,
因为,
又因为,当时,等号成立,
所以的最大值为4.
故答案为:A.
【分析】先求出点的坐标,再判断两条直线的位置关系,最后结合基本不等式求最值的方法,从而得出的最大值.
8.(2024高二上·深圳月考)在长方体中,,,是的中点,点在线段上,若直线与平面所成的角为,则的取值范围是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】函数的值域;数量积表示两个向量的夹角;用空间向量研究直线与平面所成的角;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:以点为坐标原点,
以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、,
设点,
则,,,
设平面的法向量为,
则,取,可得,
所以,,
则,
所以,
则,
所以,,
则.
故答案为:B.
【分析】先建立空间直角坐标系,再设点,其中,从而得出向量的坐标,再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示,从而得出平面的法向量,再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式以及二次型函数求值域的方法,从而得出直线与平面所成的角的正弦的取值范围.
二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2024高二上·深圳月考)下面四个结论正确的是(  )
A.已知向量,,若,则为钝角
B.已知,,则向量在向量上的投影向量是
C.若直线经过第三象限,则,
D.已知,,三点不共线,对于空间任意一点,若,则,,,四点共面
【答案】B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量数量积的坐标表示;共面向量定理;平面向量的投影向量
【解析】【解答】对于A中,当时,,,,
此时为,故A错误;
对于B中,向量在向量上的投影向量为,故B正确;
对于C中,令,则直线为,且经过第三象限,
但此时,故C错误;
对于D中,因为,,
所以由向量共面定理的推论可得,,,四点共面,故D正确.
故选:BD.
【分析】取可得,得到为,可判定A错误;由投影向量的计算公式,求得向量在向量上的投影向量,可得判定B正确;令,可判定C错误;由,结合空间向量共面定理,可判定D正确.
10.(2024高二上·深圳月考)下述四个结论,正确的是(  )
A.过点在轴,轴上截距都相等的直线方程为
B.直线与圆相交的充分不必要条件是
C.直线表示过点的所有直线
D.过点与圆相切的直线方程为
【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线的截距式方程;过两条直线交点的直线系方程;圆的切线方程;直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:对于A,没有考虑截距均为0的情况,排除A;
对于B,若直线与圆相交,
则,
解得,
是直线与圆相交的充分不必要条件,故B正确.
对于C,因为点在轴上,但无论取何值,不能表示轴,故C不正确.
对于D,设过的直线方程为,即,

则,
解得,
过的直线方程为,故D正确.
故答案为:BD.
【分析】没有考虑截距均为0的情况,则排除选项A;根据圆心到直线的距离与半径的大小比较进行求解,则判断出选项B;利用反例法可排除选项C;设出过直线方程,再根据圆心到直线的距离等于半径,从而得出过点与圆相切的直线方程,则判断出选项D,从而找出结论正确的选项.
11.(2024高二上·深圳月考)已知点和,是直线上的动点,则(  )
A.存在,使最小
B.存在,使最小
C.存在,使最大
D.存在,使最小
【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大(小)值;基本不等式在最值问题中的应用;用斜率判定两直线垂直;平面内两点间距离公式的应用;图形的对称性
【解析】【解答】解:在平面直角坐标系中作出点和直线,
由图可知,点和在直线同侧,
设点关于直线的对称点为,
则,
解得,
得,
因为,
当且仅当为直线与直线的交点时有最小值,
又因为直线的斜率为,所以直线的方程为,
由,解得,
则存在,使最小,故选项A正确;
因为最小值为0,当且仅当,
则点为线段的垂直平分线与直线的交点,
所以的中点坐标为,直线的斜率为,
则线段的垂直平分线方程为,即,
又因为,解得,
所以,存在,使最小,故选项B错误;
因为,
当且仅当为直线与直线的交点时有最大值,
则直线的方程为,即,
又因为,解得,
则存在,使最大,故选项C正确;
设,则
当时有最小值,此时,
所以,存在,使最小,故选项D正确.
故答案为:ACD.
【分析】先求点关于直线的对称点为,再根据直线与直线的交点坐标可判断选项A;利用点为线段的垂直平分线与直线的交点,则判断出选项B;根据绝对值的特点得出点为直线与直线的交点,则判断出选项C;设出点坐标,根据二次函数的性质求解得出取最小值时点的坐标,则判断出选项D,从而找出正确的选项.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024高二上·深圳月考)已知、满足,则的最大值为   .
【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】解:由题意可知,
设,则在以为圆心,半径的圆上,
因为,
显然.
当且仅当P在延长线上时取得最大值.
故答案为:.
【分析】利用已知条件和圆的性质以及两点的距离公式,再利用几何法求最值的方法,从而得出的最大值.
13.(2024高二上·深圳月考)已知从点发出的光线,经轴反射后,反射光线恰好平分圆:的圆周,则反射光线所在的直线方程为   .
【答案】
【知识点】直线的一般式方程;反射变换
【解析】【解答】解:由圆的方程得出圆心坐标为,
∵反射光线恰好平分圆的圆周,
∴反射光线经过点,
∵关于轴对称的点为,
∴反射光线所在直线经过点,
∴反射光线所在直线斜率为,
所以,反射光线所在直线方程为,
化简得.
故答案为:.
【分析】先求出圆的圆心坐标,再根据直线平分圆的圆周可知反射光线所在直线过圆心,再结合图形的对称性可知反射光线过点,从而得出反射光线所在的直线方程.
14.(2024高二上·深圳月考)阅读下面材料:在空间直角坐标系Oxyz中,过点且一个法向量为的平面的方程为,过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料,解决下面问题:已知平面的方程为,直线是两个平面与的交线,则直线与平面所成角的余弦值为   .
【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解:因为平面的方程为,
所以平面的一个法向量为,
同理可得,平面的一个法向量为,
平面的一个法向量为,
设直线的方向向量为,
则,
取,则,所以,
设直线与平面所成角为,
则,
所以,
则直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为:.
【分析】设直线的方向向量,由平面交线为可知两平面的法向量都与垂直,再由数量积运算得出一个直线的方向向量,最后由数量积求向量夹角公式和诱导公式以及同角三角函数基本关系式,从而得出直线与平面所成角的余弦值.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(2024高二上·深圳月考)已知圆C的圆心在y轴上,并且过原点和.
(1)求圆C的方程;
(2)若线段的端点,端点B在圆C上运动,求线段的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)解:设圆C方程:,
由已知条件可知,解得,
∴圆C的方程为.
(2)解:设点,.
∵,
∴,
整理得,,
∵点B在圆C上,∴,
∴点M的轨迹方程为.
【知识点】圆的标准方程;圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法和 圆C的圆心在y轴上以及点代入法,从而解方程得出圆心坐标和半径长,进而得出圆C的标准方程.
(2)设,,由中点坐标公式可得,,再代入圆C方程,整理即可求出线段的中点M的轨迹方程.
(1)设圆C方程:,
由已知,解得,
∴圆C的方程为.
(2)设点,.
∵,
∴.
整理得,,
∵点B在圆C上,∴,
∴点M的轨迹方程为.
16.(2024高二上·深圳月考)已知直线过定点
(1)若到直线的距离为,求直线的方程;
(2)若直线分别与轴,轴的负半轴交于两点,求(为坐标原点)面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)解:当直线斜率不存在时,
由直线过,得直线,满足点到直线的距离为3,
当直线斜率存在时,
设直线方程为,即,
则点到直线的距离为,解得,
此时直线的方程为,即,
综上所述,所求的直线方程为或.
(2)解:若直线分别与轴,轴的负半轴交于两点,
则设直线为,,
则,
所以
,当且仅当时取等号,
故面积的最小值为12,此时直线l的方程为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;直线的一般式方程;平面内点到直线的距离公式;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)先对直线的斜率是否存在分类讨论,再结合点到直线的距离公式得出直线的方程.
(2)设直线为,再利用三角形的面积公式,则可用直线的斜率表示的面积,再结合基本不等式求最值的方法,从而得出面积的最小值,进而得出此时直线的方程.
(1)当直线斜率不存在时,
由过得,满足到的距离为3,
当直线斜率存在时,设直线方程为即,
点到直线的距离为,解得.
此时直线的方程为即,
综上所述,所求的直线方程为或.
(2)若直线分别与轴,轴的负半轴交于两点,
则设直线为,,则, .
,当且仅当时取等号,
故面积的最小值为12,此时直线l的方程为.
17.(2024高二上·深圳月考)已知的顶点,边上的高所在直线的方程为,边上的中线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程;
(2)求的面积.
【答案】(1)解:因为边上的高所在直线方程为,
所以,设直线的方程为,
又因为点在直线上,
所以,
解得,
所以直线的方程为.
(2)解:因为点既满足直线的方程,
又满足的方程,
所以,
解得,故,
所以,
设,因为点满足直线,
所以,
设的中点坐标为,满足,
所以,
整理得,
所以,解得,
所以,
则点到直线的距离为,
故.
【知识点】平面内中点坐标公式;直线的一般式方程;两条直线的交点坐标;平面内点到直线的距离公式;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)根据已知条件和两直线垂直斜率之积等于-1,从而求出直线的方程.
(2)先确定点的坐标和点的坐标,再利用两点距离公式得出线段的长度,再根据点到直线的距离公式得出点到直线的距离,从而得出三角形的高,再利用三角形的面积公式得出的面积.
(1)由于边上的高所在直线方程为,
所以设直线的方程为,
由于点在直线上,即,解得,
所以直线的方程为.
(2)由于点既满足直线的方程,又满足的方程,
所以,解得,故,
所以,
设,由于点满足直线,故,
设的中点坐标为,满足,
所以,整理得,
所以,解得,所以,
则点到直线的距离,
故.
18.(2024高二上·深圳月考)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面是的中点,作交于点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求平面与平面的夹角的大小.
【答案】(1)证明:在四棱锥中,
底面,底面,
则,
由底面是正方形,得,
以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,
设,
则,

设平面的法向量为,
则,
令,得,
则,
又因为平面,
所以平面.
(2)证明:由(1)知,,
由,得,
又因为且平面,
所以平面.
(3)解:由(1)知,,且,
设平面的法向量为,
则,取,得,
因为,又因为,
则,
所以,
则平面的一个法向量为,
则,
又因为,
所以,
所以,平面与平面的夹角为.
【知识点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,则得出点的坐标和向量的坐标,再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示,从而求出平面的法向量坐标,再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示,从而证出平面
(2)由(1)知,再利用得出,再结合且平面,则根据线面垂直的判定定理证出平面.
(3)由(1)知,,且,利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示,从而得出平面的法向量和平面的法向量,再利用数量积求向量夹角公式和二面角的平面角的取值范围,从而得出平面与平面的夹角的大小.
(1)在四棱锥中,底面,底面,
则,由底面是正方形,得,
以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,
设,则,
,设平面的法向量为,
则,令,得,则,
而平面,所以平面.
(2)由(1)知,,由,得,
又,且平面,
所以平面.
(3)由(1)知,,且,
设平面的法向量为,则,取,得,
,而,则,
即,则的一个法向量为,
因此,而,则,
所以平面与平面的夹角为.
19.(2024高二上·深圳月考)已知点,圆.直线与圆相交于A、B两点,.
(1)若直线过点,求直线的方程;
(2)①若线段AB的中点为,求点的轨迹方程;
②过点作直线与曲线交于两点M、N,设的斜率分别为,求证:为定值.
【答案】(1)解:由题意可知:圆的圆心为,半径,
则圆心到直线的距离,
若直线的斜率不存在,则直线,满足题意;
若直线的斜率存在,设直线,即,
则,解得直线,
综上所述:直线的方程为或.
(2)①解:若线段AB的中点为,
可得,
则,
可知点的轨迹是以为圆心,半径为1的圆,
所以点的轨迹方程.
②证明:由(1)可知:直线的斜率存在,
设直线的方程为,即,
设点、,
联立方程,
消去y可得,
则,解得,
由韦达定理,可得,,

.
则为定值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意分析可知圆心到直线的距离,再分类讨论出直线的斜率是否存在,再结合点到直线的距离公式得出直线的方程.
(2)①先利用已知条件分析可知的值,从而得出点的轨迹方程.
②设直线的方程为,设、,将直线的方程与圆的方程联立,从而列出韦达定理式,再利用直线的斜率公式和韦达定理式计算出的值,从而证出为定值.
(1)由题意可知:圆的圆心为,半径,
则圆心到直线的距离,
若直线的斜率不存在,即直线,满足题意;
若直线的斜率存在,设直线,即,
则,解得,
所以直线;
综上所述:直线的方程为或.
(2)①若线段AB的中点为,可得,即,
可知点的轨迹是以为圆心,半径为1的圆,
所以点的轨迹方程;
②由(1)可知:直线的斜率存在,
设直线的方程为,即,点、,
联立方程,消去y可得,
则,解得,
由韦达定理可得,,

.
所有为定值.
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