江苏省常州市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷（含答案）

江苏省常州市2024--2025学年下学期七年级数学期末试卷
一、单选题
1．下列与消防相关的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（ ）
A．点B B．点C C．点D D．点E
5．在《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：“五头牛和两只羊，价值十两金；两头牛和五只羊，价值八两金．一头牛、一只羊分别价值几两金？”若设一头牛价值两金，一只羊价值两金，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为( )
A．， B．，
C．， D．，
7．将三角形纸片与量角器按如图所示方式放置，，，是的外角，则计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（ ）
A．是偶数 B．是偶数
C．是偶数 D．是奇数，是偶数
二、填空题
9．根据图示，写出关于的不等式的解集为 ．
10．若，则□中的代数式为 ．
11．命题“如果或，那么”的逆命题是 ．
12．水痘是冬春季常见的传染病，传播途径主要是呼吸道飞沫或直接接触传染，接触污染的用物也会间接传染．水痘－带状疱疹病毒，直径为．数据用科学记数法表示为 ．
13．在中，，，则 ．
14．如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °．
15．据研究，初中生每天蛋白质推荐摄入量男生约为，女生约为．下表为部分食物每百克的蛋白质质量．
食物 大米 牛乳 牛肉
蛋白质/
若某天小强食用牛乳，大米与牛肉共，实现了蛋白质的摄入量，则这天他食用大米 ．
16．自然数15的所有因数为1，3，5，15，这些因数具有关系；自然数8的所有因数为1，2，4，8，这些因数具有关系．像15，8这样的数叫作亏数．若亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列），则的值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，其中．
19．解方程组和不等式组：
(1)；
(2)．
20．已知：如图，在五边形中，．求证：．
21．证明：连续五个自然数的平方和是5的倍数．
22．如图为由等边三角形组成的网格纸．
(1)先画出关于直线m对称的，再画出关于直线n对称的；
(2)在（1）的条件下，可以看做由绕 顺时针旋转（）得到，则的值为 ．
23．如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元．
(1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元；
(2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？
(3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ．
24．定义：若关于，的二元一次方程的一个解为，当时，则称为二元一次方程的“系相关解”．例如：是二元一次方程的“2系相关解”．
(1)二元一次方程的“1系相关解”为 ；
(2)下列二元一次方程存在“2系相关解”的是 （填序号）；
①；②；③．
(3)为二元一次方程的“系相关解”，且，求的取值范围．
25．综合与实践
【问题情境】
如图1，在长方形中，，点E在边上，且．
【初步探究】
（1）如图2，连接，将长方形沿方向平移，得到长方形，连接，则四边形的面积是 ，与的数量关系是 ；
【拓展延伸】
（2）如图3，将长方形绕点E顺时针旋转，得到长方形．
①若旋转过程中，长方形与长方形重叠部分的图形为轴对称图形，请利用直尺与圆规在图4和图5中分别作出点C'（不写作法，保留作图痕迹，作出其中的2种情况），并写出对应的旋转角；
②若旋转过程中，边与边相交于点P，且，求的值．
参考答案
1．C
解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．A
解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
3．B
解：A：，故错误．
B：，正确．
C：，故错误．
D：，故错误．
故选B．
4．C
解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D，
故选：C
5．A
解：设一头牛价值两金，一只羊价值两金，
由题意得，，
故选：A．
6．B
解：A：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例．
B：，．计算得，，满足，但，符合反例要求．
C：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例．
D：，．计算得，，不满足，不符合条件．
故选：B．
7．D
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8．B
∵，且左边为完全平方数，
∴必为偶数．
∵，且为偶数，
∴也需为偶数．
若为偶数，为偶数，则需为偶数；
若为奇数，为奇数，则需为奇数．
∴与奇偶性相同，
∴必为偶数．
A：如为奇数时，可能为奇数，错误；
B：是偶数，正确；
C：的奇偶性由决定，不一定为偶数；
D：的奇偶性不确定，错误．
故选：B．
9．
解：图示的不等式的解集为．
故答案为：
10．
解：由可得，，
故答案为：．
11．如果，那么或
解：命题“如果或，那么”的逆命题是：如果，那么或．
故答案为：如果，那么或．
12．
解∶ ．
故答案为∶
13．55
解：在中，，则，
，
，即，
解得，
故答案为：．
14．20
解：根据题意可知，垂直平分线段，
，
，
，
，
故答案为：20．
15．
解：设这天他食用大米，则食用牛肉，
由题意得，，
解得，
∴这天他食用大米，
故答案为：．
16．10或15
解：亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列），
，即可取，
当时，；
当时，；
当时，，此时所有因数为，不符合题意，舍去；
综上所述，的值为10或15，
故答案为：10或15．
17．(1)；
(2)．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．
解：，
；
时，
原式
．
19．(1)
(2)
（1）解：
由①得③，
将③代入②得，
解得；
将代入③得；
原方程组的解是；
（2）解：，
解不等式①得；
解不等式②得；
不等式组的解集为．
20．见解析
证明：∵五边形的内角和等于，
∴．
∵，
∴．
∴．
21．见解析
证明：设五个自然数为，，，，（），
则
＝
＝．
∵是整数，
∴是5的倍数．
∴连续五个自然数的平方和是5的倍数．
22．(1)见解析
(2)点，120
（1）解：画图如下．
；
（2）解：由等边三角形的性质可得：，
在（1）的条件下，可以看做由绕点顺时针旋转（）得到，则的值为.
23．(1)7，14
(2)小型车2辆，大型车4辆
(3)
（1）解：由表可知，小型车首1小时是3元，超过则每15分钟元（大型车双倍），
∵一辆小型车连续停车5小时，由于前120分钟免费，因此实际收费是后面2个小时，
∴费用为（元），
∵大型车是小型车的双倍，
∴大型车费用为14元；
故答案为：7；14．
（2）设小型车辆，大型车辆，则
解这个方程组，得，
答：小型车2辆，大型车4辆．
（3），，且每个小时有4个15分钟，
∴1小时收费以外的时间为小时（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），
∵，
∴，24小时连续停放只收12元，
∴．
24．(1)
(2)①，③
(3)
（1）解：设是二元一次方程的“1系相关解”，则得，
解得：，故；
故答案为：；
（2）解：设是二元一次方程的“2系相关解”，即 ；
当时，，解得；
当时，方程组无解；
当时，，解得；
综上，二元一次方程存在“2系相关解”的是①，③；
故答案为：①，③；
（3）解：由题意得，则．
∵，
∴．
解得．
∴．
∴，即．
25．（1）28，（2）①见解析②或310
解：（1）根据平移的性质可得，且，四边形的高为4，
∴四边形的面积是；
连接，
根据平移的性质得，
∴，
∴．
∵，
∴；
故答案为：28，；
（2）①①点C'位置正确，答案不唯一；
②（Ⅰ）∵在长方形中，，
∴．
∴．
∵在长方形中，，
∴，即．
（Ⅱ）∵，
∴．
∵在长方形中，，
∴．
∵在长方形中，，
∴．
∴．
∴或310．