2024-2025学年湖北省十堰市房县一中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省十堰市房县一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1，0，1}，B={0，1，4}，则A∩B=（　　）
A. {0} B. {1} C. {0，1} D. {-1，0，1，4}
2.已知，则cos593°=（　　）
A. B. C. D.
3.已知函数，则f（x）的单调递增区间是（　　）
A. B.
C. D.
4.已知a=log30.3，b=log57，c=0.30.2，则（　　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. b＜c＜a
5.一种药在病人血液中会以每小时20%的比例衰减，这种药在病人血液中低于400mg时病人就有危险，现给某病人的静脉首次注射了这种药2000mg,那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（lg2≈0.3010，精确到0.1h）（　　）
A. 7.2h B. 3.6h C. 2.3h D. 1.0h
6.已知，则cos2α+cos2α=（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）的定义域为R，对任意的a,b∈R，都有f（a+b）=f（a）f（b），当x＜0时，f（x）＞1，且f（0）≠0，若f（-2）=4，则不等式f（5x2-12x）＞16的解集是（　　）
A. 或 B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列几种说法中，正确的是（　　）
A. 若a＞b,则
B. 若a＞1，b＞1，则a+b-1＜ab
C. 若a＞b＞0，m＞0，则
D. 若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，则
10.已知函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx-cosx|，则下列关于函数f（x）的说法，正确的是（　　）
A. f（x）的一个周期为 B. f（x）的图象关于对称
C. f（x）在上单调递增 D. f（x）的值域为
11.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数，定义双曲正弦函数sinhx=，双曲余弦函数coshx=，双曲正切函数tanhx=，则（　　）
A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数
C. 双曲正切函数是增函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数f（x）=（m-1）xm的图象过点M（2，a），则a= ______.
13.已知（π＜φ＜2π），则tanφ= .
14.设函数f（x）=（ex-m）ln（x+n），若f（x）≥0恒成立，求en+m的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）已知tanα=2，求；
（2）已知β是第三、四象限角，且sinβ-cosβ=，求tanβ.
16.(本小题15分)
已知函数，x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值；
（3）求不等式-1≤f（x）≤1的解集.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=sin（2x+φ），，x∈R，且.
（1）求f（x）的最小正周期T和φ的值；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（3）若，且，求x的取值集合.
18.(本小题17分)
已知函数（a＞0，a≠1，b≠-2）是定义在（-2，2）上的奇函数.
（1）求f（0）和实数b的值；
（2）若f（x）满足f（t2-2）+f（3t-2）＜0，求实数t的取值范围；
（3）若0＜a＜1，问是否存在实数m,使得对定义域内的一切t,都有f（t+2）+f（1+mt2）＞0恒成立？
19.(本小题17分)
定义域为R的函数h（x）满足：对任意x∈R，都有h（x+2π）=h（x）+h（2π），则称h（x）具有性质P.
（1）分别判断以下两个函数是否具有性质P：m（x）=2x-1和n（x）=1-cosx；
（2）函数，判断是否存在实数ω，φ，使f（x）具有性质P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）结论下，若方程（a为常数）在区间上恰有三个实数根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求sin（x3-x2-2x1）的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】4
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为tanα=2，
所以====；
（2）因为β是第三、四象限角，且sinβ-cosβ=①，
所以（sinβ-cosβ）2=sin2β+cos2β-2sinβcosβ=1-2sinβcosβ=，
所以sinβcosβ===＞0，
所以β是第三象限角，tanβ＞0，
可得（sinβ+cosβ）2=sin2β+cos2β+2sinβcosβ=1+2sinβcosβ=，
所以sinβ+cosβ=-②，
由①,②可得sinβ=-，cosβ=-，
所以tanβ==．
16.【答案】最小正周期为π；单调递减区间是，k∈Z；
，；f（x）min=-1，；
．
17.【答案】解：（1）由f（）=sin（2×+φ）=1，得+φ=+2kπ，k∈Z，
所以φ=+2kπ，k∈Z，
又-＜φ＜，所以φ=，
所以f（x）=sin（2x+），则f（x）的最小正周期为T==π；
（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，
所以当2x+=时，f（x）取得最大值1，
当2x+=时，f（x）取得最小值为，
即f（x）在区间上的最大值为1，最小值为 ；
（3）当时，由，得+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以x的取值集合为{x|-≤x≤}．
18.【答案】解：（1）依题意，，
又f（x）是（-2，2）上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
即，
即，
即，
整理得16-4x2=16-b2x2，于是b2=4，而b≠2，所以b=2；
（2）由（1）知，，
显然函数在（-2，2）上单调递减，
由奇函数性质及f（t2-2）+f（3t-2）＜0，得f（t2-2）＜-f（3t-2）=f（2-3t），
当0＜a＜1时，函数y=logax 在（0，+∞）上单调递减，则f（x）在（-2，2）上单调递增，
不等式化为-2＜r2-2＜2-3t＜2，解得0＜t＜1，
当a＞1时，函数y=log2x 在（0，+∞）上单调递增，则f（x）在（-2，2）上单调递减，
由奇函数性质及f（t-2）+f（3t-2）＜0，得f（t2-2）＜-f（3t-2）=f（2-3t），
不等式化为-2＜2-3t＜t2-2＜2，解得，
所以当0＜a＜1时，{t|0＜t＜1}；
当a＞1时，{t|}；
（3）假定存在实数m,对定义域内的一切t,都有f（t+2）+f（1+mt2）＞0恒成立，
即f（1+mt2）＞-f（t+2）=f（-t-2）恒成立，
当0＜a＜1时，由（2）知函数f（x）在（-2，2）上单调递增，
不等式化为，整理得，
于是有-3＜mt2＜1对任意-4＜t＜0恒成立，则，
当-4＜t＜0时，，
因此，
有mt2+t+3＞0对任意-4＜t＜0恒成立，
设g（t）=mt2+t+3，
当m＞0时，函数g（t）=mt2+t+3的图象开口向上，对称轴，
（i）当Δ=1-12m＞0，即时，必有，
则，
（ii）当Δ=1-12m=0，即时，在t∈（-4，0）上恒成立，则，
（iii）当Δ=1-12m＜0，即时，g（t）＞0在t∈（-4，0）上恒成立，
则，
②当m＜0时，g（-4）=16m-1≤-1＜0，不沸足g（t）＞0在t∈（-4，0）上恒成立，
综上得，，
所以存在m=，使得对定义域内的一切t,都有f（t+2）+f（1+mt2）＞0成立．
19.【答案】解：（1）根据题意可得：
m（x+2π）=2（x+2π）-1=2x+4π-1，m（2π）=4π-1，
故m（x+2π）≠m（x）+m（2π），
则函数m（x）=2x-1不具有性质P；
n（x+2π）=1-cos（x+2π）=1-cosx,n（2π）=1-cos2π=0，
故n（x+2π）=n（x）+n（2π），
则函数n（x）=1-cosx具有性质P；
（2）若f（x）具有性质P，则f（0+2π）=f（0）+f（2π），
则f（0）=sinφ=0，因为，所以φ=0，
则f（x）=sin（ωx），
由f（x+2π）=f（x）+f（2π）得：f（2kπ）=k f（2π）（ k∈Z），
若f（2π）≠0，则存在k0∈Z，使得，
而|f（x）|≤1，上式不成立，
故f（2π）=0，即sin（2ωπ）=0，因为，
所以3π＜2ωπ＜5π，则2ωπ=4π，
即ω=2，则f（x）=sin2x,
验证：当ω=2，φ=0时，f（x）=sin2x,
则对任意x∈R，f（x+2π）=sin2（x+2π）=sin2x,f（x）+f（2π）=sin2x+sin4π=sin2x,
等式f（x+2π）=f（x）+f（2π）成立，
故存在ω=2，φ=0，使函数f（x）具有性质P；
（3）由（2）知，f（x）=sin2x,又在区间上恰有三个实数根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
所以在区间上恰有三个实数根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
令∈，所以sint=a在区间上恰有三个实数根t1，t2，t3（t1＜t2＜t3），
由函数y=sint的图象知：t1+t2=π，t3=t1+2π，
则t3-t2-2t1=（t3-t1）-（t1+t2）=π，
即，
所以，
所以．
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