2024-2025学年湖南省张家界市慈利一中高一（下）期中数学试卷(含简略答案)

2024-2025学年湖南省张家界市慈利一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a为实数，若复数z=（a2-1）+（a+1）i为纯虚数，则复数z的虚部为（　　）
A. 1 B. 2i C. ±1 D. 2
2.若||=1，||=，（-） =0，则与的夹角为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A. 若α∩β=m，n∈α，n⊥m，则n⊥β B. 若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥β
C. 若m∥α，n∥α，则m∥n D. 若α∥β，m α，n β，则m∥n
4.在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，，点F是线段DE的中点，若=，则μ=（　　）
A. B. 1 C. D.
5.已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（　　）
A. B. C. D. 3π
6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知a2=tanA，b2=tanB，且a≠b,则角C=（　　）
A. B. C. D.
7.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°，，AB=10米，则该建筑的高度OP=（　　）
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
8.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2AM+AN=1，设=x+y，则2x+3y的最小值为（　　）
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z1，z2互为共轭复数，则（　　）
A. |z1|=|z2| B. z1 z2=|z1| |z2|
C. D.
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. 直线A1B与EF所成的角的大小为60°
B. 直线AD1∥平面DEF
C. 平面DEF⊥平面BCC1B1
D. 直线CD与平面DEF所成角的正弦值为
11.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,面积为，则下列说法正确的是（　　）
A. cosAcosC的取值范围是
B. 若D为边AC的中点，且BD=1，则△ABC的面积的最大值为
C. 若△ABC是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则a+4c的最小值为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，则= ______.
13.已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则= ______.
14.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为1，侧棱长为，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S-ABCD所得的截面面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知向量和，则，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）2+与的夹角θ的余弦值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,c2=a2+b2-ab,cos2B=sinC.
（1）求B；
（2）若b=1，求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M，N分别是A1B1，AC的中点，AB⊥平面BCM．
（Ⅰ）求证：平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求证：A1N∥平面BCM；
（Ⅲ）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10，求棱锥C1-BB1M的体积．
18.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60°，BC边上的中点为M，点N是边AC上的动点（不含端点），AM，BN相交于点P.
（1）求BC；
（2）当点N为AC中点时，求：∠MPN的余弦值；
（3）当取得最小值时，设，求λ的值.
19.(本小题17分)
三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（以下简称“T点”）.通过研究发现三角形中的“T点”满足到三角形三个顶点的距离和TA+TB+TC最小.当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为“T点”；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为“T点”.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.
（1）若，求A的大小；
（2）在（1）的条件下，若bc=4，设点P为△ABC的“T点”，求；
（3）若acosB-bcosA=c,设P点为△ABC的“T点”，，求实数t的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵，，，
∴==2；
（2）∵=4×4+4×2+4=28，
∴=；
（3）∵（+） ==2×2+4=8，
∴cos===．
16.【答案】解：（1）因为c2=a2+b2-ab,
所以，
因为C∈（0，π），所以，
因为cos2B=sinC，所以，
因为，所以，
所以，所以；
（2）由（1）知，，
由正弦定理得：，
得==，
所以△ABC的面积为=．
17.【答案】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCM，BC 平面BCM，∴AB⊥BC，
∵正方形B1BCC1，∴BB1⊥BC，
∵AB∩BB1=B，∴BC⊥平面A1ABB1，
∵BC 平面B1BCC1，∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）设BC中点为Q，连结NQ，MQ，
∵M，N分别是A1B1，AC的中点，∴NQ∥AB，且NQ=AB，
∵AB∥A1B1，且AB=A1B1，∴NQ∥A1M，且NQ=A1M，
∴四边形A1MQN是平行四边形，∴A1N∥MQ，
∵MQ 平面BCM，A1N
∴A1N∥平面BCM．
解：（Ⅲ）连结A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，
得到三棱锥B-A1B1C1的体积==，
∵M为A1B1的中点，
∴棱锥C1-BB1M的体积===．
18.【答案】解：（1）∵AB=4，AC=10，∠BAC=60°，由余弦定理知：
BC2=AB2+AC2-2AB AC cos∠BAC=42+102-2×4×10×cos60°=76，
∴BC的值为；
（2）设，
∵M、N分别为BC、AC的中点，
∴，
∵，
∴，
，
又，
∴，
即∠MPN的余弦值为；
（3）设，
则，
当x=1即时，取最小值-1，
∴，
∵，
∴，
∵A，P，M三点共线，
∴，
即当取得最小值时，λ的值为．
19.【答案】；
-2；
．
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