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22.1.1 二次函数
第二十二章 二次函数
迪拜音乐喷泉是世界上最大的喷泉，也是最壮观的喷泉．观察视频喷泉有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？
视频引入
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思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗
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1. 什么是函数
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
3. 一元二次方程的一般形式是什么？
一般地，形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 就叫做正比例函数.
2. 什么是一次函数？正比例函数？
ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次函数的相关概念
探究归纳
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 .
y = 6x2
此式表示了正方体的表面积 y 与棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有唯一一个对应值，即 y 是 x 的函数.
问题2 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队 n 要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一
场比赛，所以比赛的场次数为
(n 1)
解：
此式表示了比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系，对于 n 的每一个值，m 都有一个对应值，即m是n的函数.
.
问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？
分析：原产量是 20 t，一年后的产量是 t，再经过一年后的产量是 t，即两年后的产量
y =__________t.
20(1 + x)
20(1 + x)2
20(1 + x)2
此式表示了两年后的产量 y 与计划增产的倍数 x 之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有唯一一个对应值，即 y 是 x 的函数.
答：y = 20x2 + 40x + 20.
想一想
问题 1~3 中函数关系式有什么共同点
函数都是用
自变量的二次整式表示的
y = 6x2
y = 20x2 + 40x + 20
二次函数的定义：
一般地，形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) a，b，c 为常数，且 a≠0；
(2) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；
(3) 等式的右边自变量的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
温馨提示：
归纳总结
例1 下列函数中哪些是二次函数 为什么 (x 是自变量)
① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 2x ； ③ y = x2；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = (x + 3) x .
不一定是，缺少 a，b，c 是常数，且 a ≠ 0 的条件.
不是，等式右边是分式.
不是，x 的最高次数是 3.
y = 6x + 9
典例精析
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a≠0) 之外，还有一些特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等.
方法归纳
例2 若函数 是二次函数，
求 m 的值.
∴ m = 3.
解：
由题意得
本题易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = -1 的错误答案，需要引起重视.
归纳
典例精析
针对训练
已知二次函数 .
(1) 求 k 的值；
(2) 当 x = 0.5 时，y 的值是多少？
解：
(1) 由题意，得
解得
将 x = 0.5 代入函数关系式 ，得
(2) 由(1)得，
问题 矩形绿地的长为 x m，面积为 y m2.
（1）若该矩形绿地的长为宽的 2 倍，则宽为 m， y 与 x 之间的关系式为__________.
（2）若该矩形绿地的长比宽多 6 m，则宽为______m， y 与 x 之间的关系式为___________.
想一想 自变量的取值范围是_________.
想一想 自变量的取值范围是___________.
0.5x
y = 0.5x2
x＞0
(x 6)
y = x(x 6)
x＞6
根据实际问题列二次函数关系式
例3 如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式.
解：∵ AB 边长为 x 米，
∴ y＝ (30－x)x＝
∴ AD 边长为 (30－x) 米.
(0＜x＜30).
在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
注意
例4 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式.
∴y＝[6＋2(x－1)][95 5(x－1)].
解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了
2(x－1) 元，产量减少了 5(x－1) 件．
即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
1. 下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
C
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( )
A. m，n 是常数,且 m≠0 B. m，n 是常数，且 n≠0
C. m，n 是常数,且 m≠n D. m，n 为任意实数
C
3. 把 y = (2 - 3x)(6 + x) 变成 y = ax + bx + c 的形式，
二次项为_____，一次项系数为_____，常数项
为 .
-3x2
-16
12
4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
① 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数；
② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数.
1
5. 若函数 是二次函数.
(1) 求 a 的值；
(2) 求函数关系式；
(3) 当 x = -2 时，y 的值是多少？
解：
(1) 由题意，得
解得
(2) 当 a = 1 时，函数关系式为 .
(3) 将 x = 2 代入函数关系式中，得
6. 写出下列各函数关系式：
(1) 写出圆的面积 y (cm2) 与它的周长 x (cm) 之间的函数
关系式；
(2) 菱形的两条对角线的和为 26 cm，求其面积 S (cm2)
与一对角线长 x ( cm ) 之间的函数关系式．
(x＞0).
7. 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的商品，根据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售价为每千克 55 元时，计算月销售量和销售利润分别为多少；
（2）设销售价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式 (不必写出自变量 x 的取值范围).
解：(1) 当销售价为每千克 55 元时，由题意，得
月销售量为 500 (55 50)×10 = 450 (kg)，
每千克销售利润为 55 40 = 15 (元)，
月销售利润为 450×15 = 6750 (元).
(2) 当销售价为每千克 x 元时，由题意，得
月销售量为 [500 (x 50)×10] kg.
每千克销售利润为 (x 40) 元.
月销售利润 y = [500 (x 50)×10](x 40)，
整理，得 y = -10x2 + 1400x 40000.
8. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为
y cm2.
(1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围；
(2) 当 x = 3 时，求矩形的面积.
解：(1) y＝(8 x)x＝ x2＋8x (0＜x＜8).
(2) 当 x＝3 时，y＝ 32＋8×3＝15 (cm2) .
二次函数
定 义
y = ax + bx + c(a≠0)
一般形式
形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，a ≠ 0) 的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项
特殊形式
y = ax2；
y = ax2 + bx；
y = ax2 + c (a ≠ 0，a，b，c 是常数)
