22.1.2 二次函数y=ax^2的图象和性质 课件(共33张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共33张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数 y = ax2 的图象和性质
情境引入
二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质
画出 y = x2 的图象.
合作探究
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数.
列表表示几组对应值：
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y).
3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到
y = x2 的图象．
点击播放
-3
3
O
3
6
9
x
y
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点，
它是抛物线的最低点，
为 (0，0).
这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴.
二次函数 y =x2 的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线 y = x2.
当取更多个点时，二次函数 y = x2 的图象如下：
根据你以往学习函数图象特征的经验，说说二次函数 y = x2 的图象有哪些特征，并与同伴交流.
议一议
x
O
y=x2
y
1. y＝x2 的图象是一条抛物线；
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0 ，0)；
5. 图象有最低点．
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
(-2，4)
(-1，1)
(2，4)
(1，1)
3
2
问题：观察二次函数 y = x2 的图象，y 随 x 的如何变化？
从二次函数 y = x2 的图象
可以看出：
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
解：列表如下：
x ··· 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
描点、连线，如图所示：
x
y
y = 2x2
点击播放
(2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
y = 2x2
当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
思考：(1) 函数 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？
共同点是开口向上，对称轴是 y
轴，顶点是原点，也是抛物线的
最低点；不同点是开口大小不同，
二次项系数大的开口反而小.
对于抛物线 y = ax2 (a＞0)：
抛物线开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，即 | a |越大，抛物线 y = ax2 的开口就越小.
知识要点
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
合作探究
解：列表如下.
x … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …
y=-x2 … 　 　 　 　 　 　 …　
… …
9
4
1
0　
1
9
4
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
4.5
16
16
二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象和性质
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
4.5
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
O
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
描点、连线，如图所示.
x
y
y = -2x2
思考 (1)观察函数 的图象，这些抛物线有什么相同点和不同点？
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
x
y
y = -2x2
O
当 a＜0 时，a 越小，抛物线的开口越小.
共同点是开口向下，对称轴是
y 轴，顶点是原点；不同点是
开口大小不同，二次项系数越小，抛物线的开口越小.
(2) 当 a＜0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
对于抛物线 y = ax2 (a＜0)：
抛物线开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，即 | a |越大，抛物线 y = ax2 的开口越小.
知识要点
问题：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
从二次函数 y = -x2 的图象可以看出：
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小.
(2， 4)
( 2， 4)
(3， 9)
( 3， 9)
y＝ax2 a > 0 a < 0
图象
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向上
开口向下
| a | 越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
归纳总结
观察下列图象，抛物线 y = ax2 与 y = ax2
(a＞0) 的关系是什么？
二次项系数互为相反数时， 开口方向相反，开口大小相同，它们关于 x 轴对称.
x
y
O
y = ax2
y = ax2
交流讨论
3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，
顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
2. 函数 y = 3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；
向上
向下
y 轴
y 轴
(0，0)
(0，0)
4. 函数 y = 0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是____，顶点是 .
向上
y 轴
(0，0)
向下
y 轴
(0，0)
高
低
练一练
例3 已知二次函数 y = x2．
(1) 点 A(2，4) 在二次函数图象上吗？
典例精析
解：当 x = 2 时，y = 22 = 4，
所以点 A(2，4) 在二次函数图象上.
解：点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为 (2， 4)，
关于 y 轴的对称点 C 的坐标为 ( 2，4).
(2) 请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标；
(3) 点 B、C 在二次函数 y = x2 的图象上吗？在二次函数
y = x2 的图象上吗？
解：由 (2) 可知，B (2， 4) ，C ( 2，4).
当 x = 2 时，y = 22 = 4，
所以点 B 在二次函数 y = x2 的图象上；
当 x = 2 时，y = ( 2)2 = 4，
所以点 C 在二次函数 y = x2 的图象上．
例4 已知 y = (m + 1)x 是二次函数，且其图象开口向上，求 m 的值和函数解析式.
m2+m
解：依题意有
m + 1 > 0， ①
m2 + m = 2. ②
解②得 m1 = －2，m2 = 1.
由①得 m > －1.
∴ m = 1.
此时，二次函数的解析式为 y = 2x2.
已知 是二次函数，且当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则 k = .
分析： 是二次函数，即二次项的系数不为 0，x 的次数等于 2.由于当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，故二次项的系数大于 0.
因此，
解得，k = 2.
2
练一练
例5 已知二次函数 y＝ax2.
(1) 若 a = 2，点( 2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)；
＜
(2) 若 a＞0，点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)；
(3) 若 a＜0，点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数
的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
＜
y1＞y2＞y3
分析：(1)将 x = -2，3 分别代入 y = 2x2，得出 y1，y2 的值，再比较大小.
(2)根据 a＞0，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大得出结论.
(3)画出草图，在图象上标出 y1，y2，y3，直观得出结论.
方法归纳
二次函数 y = ax2 中比较函数值的大小的方法：
① 直接代入法：将 x 的值分别代入函数解析式中，求出 y 值再比较大小，多用于 a 值确定的情况，如例5(1)；
②性质判断法：结合二次函数的性质(增减性)及自变量x 之间的大小关系，得出其对应 y 值的大小关系；多用于自变量 x 在对称轴同一侧的情况，如例5(2)；
③草图法：画出二次函数的草图，描点，根据图象直接判断 y 值的大小. 多用于 a 值不确定且 x 值不在对称轴同侧的情况，如例5(3).
1. 函数 y = 5x2 的图象的开口 ，
对称轴为 ，顶点是 ；
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 .
2. 函数 y = 3x2 的图象的开口 ，
对称轴为 ，顶点是 ；
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 .
向上
向下
y 轴
y 轴
(0，0)
(0，0)
减小
减小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
3. 如右图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 .
x
y
k > 1
4. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
开口方向
对称轴
顶点
向上
向下
向下
向上
y 轴
y 轴
y 轴
y 轴
(0，0)
(0，0)
(0，0)
(0，0)
O
5. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0) 过点 ( 1，2)，则
(1) a 的值是 ；
(2) 对称轴是 ，开口 ；
(3) 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点，
抛物线在 x 轴的 方（除顶点外）；
(4) 若 A(x1 , y1)，B(x2 , y2) 在这条抛物线上，且 x1< x2<0，
则 y1 y2.
2
y 轴
向上
(0，0)
低
上
＞
6. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围．
解：在二次函数 y = x2 中，
当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0.
∵ 当 x≥m 时，y最小值 = 0，
∴ m≤0．
7. 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于 A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求
出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：联立
∴ A (4，16)，B ( 1，1)．
∵ 直线 y＝3x＋4 与 y 轴相交于点 C (0，4)，即 CO＝4，
∴ S△ACO＝ ×4×4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴ S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
B
解得
如图，二次函数 y＝2x2 的图象经过点(0，0)，长方形ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和.
能力提升
解：∵ 二次函数 y＝2x2 的图象经过点 C，
∴ 当 x＝2 时，y＝2×22＝8. 即 BC = 8.
∵ 抛物线和长方形都是轴对称图形，且图中 y 轴为它们的对称轴，
∴ S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
∴ OA＝OB.
∴ 在长方形 ABCD 内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积.
对于此类求不规则图形的面积，可用等面积割补法，结合二次函数图象的对称性，将不规则图形转化为规则图形以方便求解.
注意
二次函数
y = ax2 的图象及性质
画法
描点法
在对称轴两侧对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4 个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性