22.1.3 二次函数y=a(x-h)^2+k 的图象和性质第1课时 二次函数y=ax^2+k 的图象和性质 课件(共26张PPT) 人教版数学九年级上册

(共26张PPT)
22.1.3 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的
图象和性质
第二十二章 二次函数
第1课时 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
情境引入
这个函数的图象是如何画出来的？
x
y
O
在同一坐标系内画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
合作探究
解：先列表：
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
··· ···
二次函数 y = ax2 + k (a＞0) 的图象和性质
y
x
3
2
1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象.
7
8
9
10
根据图象回答下列问题:
(1) 图象的形状都是 ；
(2) 图形的开口方向 ；
(3) 对称轴都是 ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_________________；
抛物线
向上
y 轴
(0，1)，
(0， 1)
y
x
3
2
1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、________；
(6) 函数的增减性都相同： ___________________________
___________________________.
低
小
y = 1
y = 1
对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，
对称轴右侧 y 随 x 增大而增大
y
x
3
2
1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＞0) 的性质是什么？
例1 关于二次函数 y = 2x2 + 4，下列说法错误的是 ( )
A．其图象的开口方向向上
B．当 x = 0 时，y 有最大值 4
C．其图象的对称轴是 y 轴
D．其图象的顶点坐标为 (0，4)
B
典例精析
做一做：
在同一坐标系内画出下列二次函数的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
二次函数 y = ax2 + k (a＜0) 的图象和性质
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向 ；
(3)对称轴都是 ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_____________________；
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
抛物线
向下
y 轴
( 0，0)，
( 0，2)，
( 0， 2)
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________.
(6) 函数的增减性都相同： __________________________
___________________________.
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
高
大
y = 0
y = 2
y = 2
对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，
对称轴右侧 y 随 x 增大而减小
二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的性质
y = ax2 + k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
要点归纳
向上
向下
y 轴
y 轴
(0，k)
当 x = 0 时，y最小值 = k
当 x = 0 时，y最大值 = k
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；x＜0 时，y 随 x 的增大而增大.
(0，k)
例2 关于抛物线 y = x2 + 1 与 y = x2 1，下列说法正确的是（　　）
A．开口方向相同
B．顶点相同
C．对称轴相同
D．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大
C
典例精析
做一做：填写下表，画出二次函数 y = 2x ， y = 2x2 + 1 ，y = 2x2 1的图象.
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y = 2x2 + 1 … …
y = 2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y = 2x2 -1 … …
3.5
1
0.5
1
0.5
1
3.5
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
y = 2x2 + 1
y = 2x2
y = 2x2 1
观察上述图象，说说它们之间的区别与联系.
-1
解析式
y = 2x2
y = 2x2 + 1
y = 2x2 1
+1
1
点的坐标
函数对应值表
x … 1.5 1 0 1
y=2x2-1 …
y=2x2 …
y=2x2+1 …
4.5
3.5
5.5
2
1
3
2
1
(x， )
(x， )
(x， )
2x2 1
2x2
2x2 + 1
从数的角度探究
3
1
0
1
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
y = 2x2 + 1
y = 2x2
y = 2x2 1
从形的角度探究
可以发现，把抛物线y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线
.
下
y = 2x2 + 1
上
-1
y = 2x2 - 1
二次函数 y = ax2 + k (a≠0)的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到：
当 k > 0 时，向上平移 k 个单位长度得到.
当 k < 0 时，向下平移 -k 个单位长度得到.
二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a≠0) 的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
知识要点
二次函数 y＝－3x2＋1 的图象是将 (　　)
A．抛物线 y＝－3x2 向左平移 3 个单位长度得到
B．抛物线 y＝－3x2 向左平移 1 个单位长度得到
C．抛物线 y＝3x2 向上平移 1 个单位长度得到
D．抛物线 y＝－3x2 向上平移 1 个单位长度得到
练一练
D
想一想
1. 要得到函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象有哪些方法？
2. 抛物线 y = ax2 + k (a≠0) 中的 a 决定什么？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步，即第一步画 y = ax2 的图象，再向上（或向下）平移︱k︱单位；
第二种方法：描点作图法，三步，即列表、描点和连线.
a 决定开口方向和大小，k 决定顶点的纵坐标；
对称轴为 y 轴；顶点坐标为 (0，k).
例3 在直角坐标系中，函数 y＝3x 与 y＝ x2 + 1 的图象
大致是（ ）
A
B
C
D
D
分析：∵ y＝3x 的比例系数 k＝3＞0，∴ y 随 x 的增大而增大，即直线从左到右呈上升趋势，故排除 A、C.
又∵ 二次函数 y＝ x2 + 1 的图象开口向下，∴ 排除 B.
在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋k 和二次函数 y＝ax2＋k 的图象可能是 (　　)
方法总结：熟记一次函数 y＝kx＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质 (开口方向、对称轴、顶点坐标等) 是解决问题的关键．
D
变式训练
1. 抛物线 y = 2x2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线
___________.　　
2. 填表：
y = 2x2 4
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点
y = 3x2
y = 3x2＋1
y = -4x2-5
向上
向上
向下
(0，0)
(0，1)
(0， 5)
y 轴
y 轴
y 轴
有最低点
有最低点
有最高点
3. 已知 (m，n) 在 y = ax2 + a (a≠0) 的图象上，则点 ( m，n) ____ (填“在”或“不在”) y = ax2 + a (a≠0) 的图象上.
4. 若 y = x2 + k 2 的顶点是原点，则 k____；若顶点位于 x 轴上方，则 k____；若顶点位于 x 轴下方，则 k .
在
= 2
> 2
< 2
5. 已知抛物线 y = (a 2)x2 + a2 2 的最高点为 (0，2)，则 a =____.
2
6. 已知抛物线 y = ax2 + k.
(1)若该抛物线的形状与 y = 2x2 相同，开口方向相反，且顶点坐标为 (0， 3)，则该抛物线的解析式为__________；
(2) 若抛物线 y = ax2 + k 向上平移两个单位后得到的抛物线的解析式为 y = 0.5x2 1，则 a =_____，k =____；
(3) 若抛物线 y = ax2 + k 的最小值为 4，且经过点(1，5)，则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移 3 个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
y = 2x2 3
0.5
3
y = x2 + 4
y = x2 + 1
能力提升 如图，抛物线 y＝x2－4 与 x 轴交于A、B 两点，点 P 为抛物线上一点，且 S△PAB＝4，求 P 点的坐标．
解：抛物线 y＝x2－4，令 y＝0，得到 x＝2 或 －2，
即 A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为 (2，0)，
∴AB＝4. 设 P 点纵坐标为 b，∵S△PAB＝4，
∴ ×4| b |＝4，∴| b |＝2，即 b＝2或－2.
当 b＝2 时，x2－4＝2，解得 x＝± ，
此时 P 点坐标为( ，2)，(－ ，2)；
当 b＝－2 时，x2－4＝－2，解得 x＝± ，
此时 P 点坐标为( ，－2)，(－ ，－2).
二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质
图象
性质
与 y = ax2 (a≠0)的关系
1. 开口方向由 a 的符号决定；
2. k 决定顶点位置；
3. 对称轴是 y 轴
增减性结合开口方向和对称轴才能确定
平移规律：
k 正向上；
k 负向下