山西省阳泉市第一中学校2025-2026学年高二上学期分班暨开学考试数学试卷（含答案）

阳泉一中2025年高二分班考试试题
学科： 数学 考试时间 120 分钟 分值 150分
客观题
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.设，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A∪B)=()
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
5.已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
6.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7.正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
8.设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.某地一年之内12个月的降水量分别为56,46,53,48,51,53,71,58,56,56,64,66，则关于该地区的月降水量，以下说法正确的是(　　)
A．20%分位数为51 B．75%分位数为61
C．中位数为56 D．平均数为57
10.下列说法正确的是(　　)
A．若x<1，则函数y＝x＋的最小值为3
B．若x＋2y＝2，则函数2x＋4y的最小值为4
C．函数y＝＋的最小值为3＋2
D．若x，y>0，且x＋y＋xy＝2，则2x＋y的最小值为2－3
11.已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
主观题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量，满足，，则 ．
13.函数f（x）的定义域为[0，+∞），且满足，函数的值域是A， 若集合 {y|y＝f（x），0≤x≤a}可取得A中所有值，则a的取值范围为 　 　．
14.设,则使得<的的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内的频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率；
(2)求样本容量；
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33]内的频数．
16.在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
17.已知函数f(x)＝2sin ·cos ＋2sin2－1(ω>0,0<φ<π，x∈R)为奇函数，对 x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，且min＝.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域．
18.已知函数f(x)＝log3＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数g(x)＝＋m·9x－1，x∈，是否存在实数m，使得g(x)的最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19.如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B D B C A D D ABC BCD AC
(1,3)
15.解　(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于
×3＝.(4分)
(2)∵样本在[15,18)内的频数为8，由(1)可知，样本容量为8÷＝50.(4分)
(3)∵在[12,15)内的小矩形面积为0.06，故样本在[12,15)内的频率为0.06，故样本在[15,33)内的频数为50×(1－0.06)＝47，又在[15,18)内的频数为8，故在[18,33)内的频数为47－8＝39.(5分)
16.
解：（1）由，得，.(3分)
所以..(4分)
（2）由可得，..(2分)
，由正弦定理知：..(2分)
又，.(2分)
所以..(2分)
17.解　(1)由 x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，得f(x)min＝f(x1)，f(x)max＝f(x2)，
因为|x1－x2|min＝，
所以f(x)的最小正周期T＝π.(2分)
f(x)＝2sincos＋2sin2－1
＝sin－cos
＝2sin，(2分)
因为f(x)为奇函数，
所以φ－＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ＋，k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin ωx，
因为T＝＝π，所以ω＝2，
所以f(x)＝2sin 2x，(2分)
由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2分)
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，
得y＝2sin＝2sin的图象，
再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得g(x)＝2sin的图象，.(4分)
由x∈，
得4x－∈，.(2分)
所以sin∈，
所以2sin∈，
所以g(x)的值域为..(1分)
18.解　(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(x)＝f(－x)，即log3(3x＋1)＋kx＝log3(3－x＋1)－kx，
所以log3＝－2kx，(4分)
即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，
所以k＝－.(2分)
(2)由(1)知，g(x)＝3x＋m·9x，x∈，令t＝3x∈[1,5]，.
则h(t)＝mt2＋t..(2分)
①当m＝0时，h(t)＝t在[1,5]上单调递增，
故h(t)min＝h＝1，不符合题意；.(2分)
②当m>0时，h(t)图象的对称轴为t＝－<0，则h(t)在[1,5]上单调递增，故h(t)min＝h(1)＝m＋1>1，不符合题意；.(2分)
③当m<0时，
h(t)图象的对称轴为t＝－>0.
(ⅰ)当－<3，即m<－时，
h(t)min＝h(5)＝25m＋5，
令h(t)min＝0，
解得m＝－，符合题意；.(2分)
(ⅱ)当－≥3，即－≤m<0时，h(t)min＝h(1)＝m＋1，
令h(t)min＝0，解得m＝－1(舍)．.(2分)
综上，存在m＝－，使得g(x)的最小值为0..(1分)
19.【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，.(2分)则为的中点，由分别为的中点，

于是，即，则四边形为平行四边形，.(2分)
，又平面平面，.(2分)
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，则，得，.(1分)
因此，则，.有，.(2分)
又，平面，.(1分)
则有平面，.(1分)又平面，所以平面平面.
法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，，
设，所以由可得：，
可得：，所以，.(2分)
则，所以，，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，.(1分)
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，.(1分)
，.(1分)
所以平面平面BEF；

（3）法一：过点作交于点，设，
由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，(1分)
因为分别为的中点，因此为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，(2分)
于是，即有，则，
从而，，
在中，，(2分)
于是，，(1分)
所以二面角的正弦值为.

法二：平面的法向量为，.(1分)
平面的法向量为，(1分)
所以，(2分)
因为，所以，(2分)
故二面角的正弦值为.