22.1.3 二次函数y=a(x-h)^2+k 的图象和性质第2课时 二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质 课件(共24张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共24张PPT)
22.1.3 二次函数 y = a(x h)2 + k 的
图象和性质
第二十二章 二次函数
第2课时 二次函数 y = a(x h)2 的图象和性质
复习引入
a,k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y 轴（直线 x = 0 ）
y 轴（直线 x = 0）
（0，k）
（0，k）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x = 0 时，y最小值 = k
x = 0 时，y最大值 = k
问题1 说说二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象特征.
问题2 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 与 y = ax2 的图象有何关系？
二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象可以由 y = ax2 (a≠0)的图象平移得到：
当 k ＞ 0 时，向上平移 k 个单位长度得到.
当 k ＜ 0 时，向下平移 -k 个单位长度得到.
问题3 函数 的图象，能否由函数 的
图象平移得到？
形状开口均相同，应该也能.
二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的图象和性质
互动探究
引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象．
解：先列表：
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
x
y
4
3
2
1
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
向上
y 轴
直线x = 2
(0，0)
(2，0)
根据所画图象，填写下表：
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
2
4.5
2
0
0
2
2
4.5
8
8
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
试一试 画出二次函数
的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线 x = -1
( 1，0)
直线 x = 0
直线 x = 1
向下
向下
(0，0)
(1，0)
想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 的图象特征和性质是什么？
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
二次函数 y = a(x - h)2 (a≠0) 的图象和性质
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
知识要点
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，0)
(h，0)
当 x = h 时，y最小值 = 0
当 x = h 时，y最大值 = 0
当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小.
(1) 完成下表；
x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
(2) 在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
例1 已知二次函数 y＝ (x﹣1)2．
-1
0
1
2
3
2
0
2
解：描点，画出该二次函数图象如右：
-1
2
2
4
1
-2
O
x
y
3
(3) 写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
(4) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？
解：对称轴为直线 x = 1.
顶点坐标为 (1，0).
解：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大.
O
-1
2
2
4
4
-2
x
y
3
1
(5) 若 3≤x≤5，求 y 的取值范围；
想一想：若 1≤x≤5，y 的取值范围是什么？
解：∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x = 3 时，y = 2；当 x = 5 时，y = 8，
∵当 1≤x≤5 时，y 的最小值为 0，
∴当 1≤x≤5时，y 的取值范围是
0≤y≤8.
注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值
∴当 3≤x≤5 时，y 的取值范围是 2≤y≤8.
O
-1
2
2
4
4
x
y
3
1
(6) 若抛物线上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2＜1，试比较 y1 与 y2 的大小．
解：∵ m＞1，∴ 1＜m＜m + 1.
变式：若点 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在抛物线的图象上，且 m＞1，试比较 y1，y2 的大小，并说明理由．
解：∵ 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x1＜x2＜1 时，y1＞y2.
∵ 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ y1＜y2.
O
-1
2
2
4
4
x
y
向右平移
1 个单位
向左平移
1 个单位
想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
O
2
2
-2
-4
-6
4
4
x
y
形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.
二次函数 y = ax2 与 y = a(x - h)2 (a≠0) 的图象的关系
知识要点
二次函数 y = a(x±h)2 与 y = ax2 (a≠0) 的图象的关系
可以看作互相平移得到 (h > 0)：
左右平移规律：
自变量左加右减，括号外不变.
向右平移 h 个单位
y = a(x - h)2
向左平移 h 个单位
y = ax2
y = a(x + h)2
例2 抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位长度后经过点
(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数解析式．
解：抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线为 y＝a(x－3)2 ，
把 x＝－1，y＝4 代入，得 4＝a(－1－3)2，解得
∴ 平移后的函数解析式为 y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移 3个单位后，a 不变，自变量 x 应“减去 3”；若向左平移 3 个单位，自变量 x 应“加上 3”，即“左加右减”.
将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　)
A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度
C. 向左平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 1 个单位长度
练一练
C
1. 指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线 x = 3
(3，0)
直线 x = 2
直线 x = 1
向下
向上
(2，0)
(1，0)
2. 如果二次函数 y＝a(x﹣1)2 (a≠0) 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是______．
a＞0
3. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是 .
y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2
4. 若 (- ，y1)，(- ，y2)，( ，y3) 为二次函数 y = (x - 2)2 图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的大小关系为_____________.
y1 ＞y2 ＞ y3
5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x - 2)2 的图象，并指出两个图象之间的平移关系．
解：图象如图.
函数 y= 2(x - 2)2 的图象可由函数 y= 2x2 的图象向右平移 2 个单位长度得到.
y
O
x
y = 2x2
2
已知二次函数 y＝(x﹣h)2 (h 为常数)，当自变量 x 的值满足-1≤x≤3 时，与其对应的函数值 y 的最小值为 4，求 h 的值.
能力提升
思路分析
二次函数图象的对称轴 h 未知，故应分类讨论：
分类讨论
h＜ 1
1≤h≤3
h＞3
x = 1 时取最小值
x = 3 时取最小值
y 的最小值为 0
①
②
③
解：由题意知，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，故可分三种讨论：
①若 h＜ 1≤x≤3，则当 x＝ 1 时，y 取得最小值 4，
可得( 1 h)2＝4，
解得 h＝1（舍）或 h＝ 3；
②若 1≤x≤3＜h，则当 x＝3 时，y 取得最小值 4，
可得 (3 h)2＝4，
解得 h＝1（舍）或 h＝5；
综上可知，h 的值为 3 或 5.
③若 1＜h＜3，则当 x＝h 时，y 取得最小值为 0，
不是 4，
∴ 此种情况不符合题意，舍去．
平移规律：
自变量
左加右减，
括号外
保持不变.
复习y=ax2+k
探索 y =a(x±h)2的图象及性质
图象画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向及增减性
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线 x = h
(h，0)
a>0，开口向上；
a<0，开口向下.
a 的符号和 h 的值决定增减性
y = ax2