22.1.4 二次函数 y = ax^2+bx+c 的图像和性质第1课时 课件(共29张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共29张PPT)
22.1.4 二次函数 y = ax2 + bx + c 的
图象和性质
第二十二章 二次函数
第1课时 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h，k)
(h，k)
x = h
x = h
当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞h 时
y 随着 x 的增大而增大.
当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞h 时，y 随着 x 的增大而减小.
x = h 时，y最小值 = k
x = h 时，y最大值 = k
抛物线 y = a(x - h)2 + k 可以由抛物线 y = ax2 经过平移得到
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0，0)
y 轴
0
(0，-5)
y 轴
-5
(-2，0)
直线 x = -2
0
(-2，-4)
直线 x = -2
-4
(4，3)
直线 x = 4
3






将一般式 y = ax2 + bx + c 化成顶点式 y = a(x h)2 + k
合作探究
问题 怎样将 化成 y = a(x h)2 + k 的形式？
(1) x2 12x + 36 = (x____)2；
填一填
(2) x2 12x = (x____)2 ____.
6
36
6
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
想一想：配方的方法及步骤是什么？
提示：配方后的解析式通常称为顶点式.
我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x - h)2 + k？
y = ax + bx + c
将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式 y = a(x - h)2 + k 的形式，并指出其顶点坐标．
(1) y = x2 - 2x + 1；
(2) y = 2x2 - 4x + 6．
练一练
解：(1) y = x2 2x + 1 = (x 1)2，顶点坐标为(1，0).
(2) y = 2x2 4x + 6 = 2(x 1)2 + 4，顶点坐标为(1，4).
合作探究
我们已经知道二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来研究 的图象和性质？
将 配成顶点式，得
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
问题1 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3).
问题2 抛物线 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到；
平移方法2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到.
问题3 如何用描点法画二次函数 的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解：先利用图形的对称性列表；
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象
如右图.
O
问题4 结合二次函数 的图象，说出其增减性.
5
10
x
y
5
10
x = 6
当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是
对称轴是直线
，
.
要点归纳
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
.
如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；当
x＞ 时，y 随 x 的增大而减小.
如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；当
x＞ 时，y 随 x 的增大而增大.
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
x ··· 4 3 2 1 0 1 2 ···
y ··· ···
15
5
1
3
典例精析
1
5
15
例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
解：将函数 配方，得
先列表：
2
x
y
-2
O
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当 x＜-1 时，函数值 y 随x 的增大而增大；
当 x＞-1 时，函数值 y 随x 的增大而减小；
当 x = -1 时，函数取得最大值，最大值为 3.
练一练 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5．
（1）将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
（3）∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3，
∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小．
解：（1）y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4.
（2）二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，-4).
b3 ___ 0
k3 ___ 0
问题1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
合作探究
x
y
O
y = k1x + b1
x
y
O
y = k3x + b3
y = k2x + b2
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＜
＞
＞
＜
＞
＞
二次函数的图象与系数的关系
x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___0
b1 ___0
c1 ___0
a2 ___0
b2 ___0
c2 ___0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在 y 轴左侧，
对称轴在 y 轴右侧，
x = 0 时，y = c.
对称轴在 y 轴右侧，
x
y
O
a3 ___ 0
b3 ___ 0
c3 ___ 0
a4 ___ 0
b4 ___ 0
c4 ___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是 y 轴，
x = 0时，y = c.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口___________
a＜0 开口___________
b = 0 对称轴为_____轴
a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧
a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧
c = 0 经过原点
c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴
c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
例2 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
【解析】由图象开口向下可得 a＜0，
由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，
由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，
则 abc＞0，故①正确；
由对称轴 x = >－1 可得 2a－b＜0，故②正确；
则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即 (a＋c)2－b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2，
故④正确．综上所述，①②③④都正确. 故选 D.
由图象上横坐标为－2 的点在第三象限可得 4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上横坐标为 1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，
由图象上横坐标为－1 的点在第二象限得 a－b＋c＞0，
③ 4a－2b＋c＜0
④ (a＋c)2＜b2
1. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中 x、y 的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y 轴 B. 直线 x =
C. 直线 x = 2 D. 直线 x =
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
由于当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴ 抛物线的对称轴应在直线 x = 1 处或其左侧.
解析：∵ 二次项系数－1＜0，∴ 抛物线开口向下，对称轴为
2. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( )
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
D
x
y
O
b
1
∴ b≤1. 如图所示. 故选 D.
O
y
x
–1
–2
3
3. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b 同号；
（2）当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相等；
（3）4a + b = 0；
（4）当 y = -2 时，x 的值只能取 0.
其中正确的是 .
x = 1
（2）
4. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13.
（1）当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？
（2）当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
（3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式.
解：∵ y = 2x2 12x + 13 = 2(x 3)2 5，
∴抛物线开口向上，顶点为(3， 5)，对称轴为直线x = 3.
（1）当 x = 3 时，y 有最小值，最小值为 5.
（2）当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小.
（3）新抛物线的解析式为 y = 2(x 5)2 3．
5. 已知二次函数 y = x2 4x 1．
(1) 将函数 y = x2 4x 1 的解析式化为 y = a(x + m)2 + k 的形式，并指出该函数图象的顶点 B 的坐标；
解：y = x2 4x 1 = (x 2)2 5，
该函数图象的顶点 B 的坐标为 (2， 5).
(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，设抛物线 y = x2 4x 1与 y 轴交点为 C，抛物线的对称轴与 x 轴交点为 A，求四边形 OABC 的面积．
解：如图，令 x = 0，则 y = 1，
∴ OC = 1.
∵ B (2， 5)，
∴ OA = 2，AB = 5.
∴ S四边形OABC =
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)