22.2 二次函数与一元二次方程 课件(共40张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共40张PPT)
22.2 二次函数与一元二次方程
第二十二章 二次函数
情境引入
问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系
h = 20t - 5t2.
考虑以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
h = 20t - 5t2
二次函数与一元二次方程的关系
O
h/m
t/s
15
1
3
故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m.
解：令 15 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t + 3 = 0，
解得 t1 = 1，t2 = 3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？
(2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？
O
h/m
t/s
20
2
解：令 20 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t + 4 = 0，
解得 t1 = t2 = 2.
故当球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m.
h = 20t - 5t2
解：令 20.5 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t + 4.1 = 0，
因为 (-4)2 - 4×4.1＜0，
所以方程无解.
即小球的飞行高度达不到 20.5 m.
(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
O
h/m
t/s
你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗
20.5
h = 20t - 5t2
(4) 小球从飞出到落地要用多少时间？
O
h/m
t/s
令 0 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t = 0，
解得 t1 = 0，t2 = 4.
故当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m.
∴ 小球从飞出到落地要用 4 s 时间.
h = 20t - 5t2
解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m，
从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程
一般地，当 y 取确定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程.
为一个常数
（确定值）
如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c (a ≠ 0)就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）；
反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0，又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值．
例1 如图，小丁在某次扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x (单位：m) 是铅球离初始位置的水平距离，y (单位：m)是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达
到 3 m？为什么？
解：题意得
即
解得
即当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始
位置的水平距离是 1 m 或 5 m.
（1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？
解：由题意得
即
解得
即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置
的水平距离是 3 m.
解：由题意得
即
因为 所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到 3 m.
（3）铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？
二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了.
思考
观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y = x2 + x - 2；
（2）y = x2 - 6x + 9；
（3）y = x2 - x + 1.
利用二次函数深入讨论一元二次方程
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2-x+1
y = x2-6x+9
y = x2+x-2
0 个
1个
2 个
x2 - x + 1 = 0 无解
3
x2-6x+9=0,x1=x2=3
-2 和 1
x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴公共点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 b2 - 4ac
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2 - 4ac＞0
有一个公共点
有两个相等的实数根
b2 - 4ac = 0
没有公共点
没有实数根
b2 - 4ac＜0
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的
公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
知识要点
例2 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).
(1) 求证：此抛物线与 x 轴总有公共点；
证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m ≠ 0)，
∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，
∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个根.
∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0) 与 x 轴总有公共点.
解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0，
∴ x－1＝0 或 mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数.
∴ 正整数 m 的值为 1.
例2 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).
(2) 若此抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．
变式 已知：抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.
(1) 求证：不论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与
x 轴都有两个交点；
(2) 设这个二次函数的图象与 x 轴相交于 A (x1，0)，
B (x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值．
(1) 证明：∵ a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴ 不论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴
都有两个交点.
(2) 解：∵ x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3.
解得 a＝1.
分析：一元二次方程 x 2x 2 = 0 的根就是抛物线 y = x 2x 2 与 x 轴的公共点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
例3 利用函数图象求方程 x2 2x 2 = 0 的实数根(结果保留小数点后一位).
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
解：画出函数 y = x 2x 2 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在 1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间.
先求位于 1 到 0 之间的根，由图象可估计这个 根是 0.8 或 0.7，利用计算器进行探索，见下表：
x … 0.8 0.7 …
y … 0.24 0.11 …
观察上表可以发现，当 x 分别取 0.8 和 0.7 时，对应的 y 由正变负，可见在 0.8 与 0.7 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有 x2 2x 2 = 0 的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x = 0.8 或 x = 0.7 都符合要求.但当 x = 0.7 时函数值更为接近 0. 故取 x1≈ 0.7.
同理可得另一近似根为 x2≈2.7.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根：
(1) 用描点法作二次函数的图象；
(2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值).
(3) 确定方程的近似解.
由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解.
方法归纳
解析：由图象可得该抛物线的对称轴为
x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点
到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又
∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1.
∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故 x1≈－2.5，x2≈0.5.
例4 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 (　　)
A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5
C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1
B
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
方法总结
二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________.
3
-1
O
x
y
x1 = 1，x2 = 3
x < 1 或 x > 3
1 < x < 3
合作探究
拓广探索：
函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
3
1
O
x
2
(4，2)
( 2，2)
x1 = 2，x2 = 4
x < 2 或 x > 4
2 < x < 4
y
2
4
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个公共点，坐标是 ；方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
1
(2 ，0)
x1 = x2 = 2
2
O
x
y
问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有______个公共点；不等式 ax2 + bx + c ＜ 0 的解集是什么？
0
解：(1) 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解.
(2) 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实数.
O
x
y
x
y
O
2
O
x
y
-1
2
x
y
O
y = -x2+x+2
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0；
② -x2+x+2>0；
③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0；
② x2-4x+4>0；
③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0；
② -x2+x-2>0；
③ -x2+x-2<0.
y = x2-4x+4
y = - x2+x -2
①x1 = -1，x2 = 2
③x＜-1或 x＞2
① x1 = x2 = 2
② x ≠ 2
③ 无解
① 无解
② 无解
③ x 为全体实数
②-1＜x＜2
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点 a＞0 a＜0
有两个公共点 (x1，0)，(x2，0) (x1＜x2)
有一个公共点(x0，0)
没有公共点
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2；
y＞0，x＜x1或x＞x2.
y＞0，x1＜x＜x2；
y＜0，x＜x1或x＞x2.
y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解.
y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；y＜0，无解.
y＜0，全体实数；y＞0，无解.
知识要点
可知方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的一个解 x1 的范围是（ ）
A. 3 ＜ x1 ＜ 3.23 B. 3.23 ＜ x1 ＜ 3.24
C. 3.24 ＜ x1 ＜ 3.25 D. 3.25 ＜ x1 ＜ 3.26
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
1. 根据下列表格的对应值：
2. 若一元二次方程 无实根，则抛物线
图象位于（ ）
A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限
C. x 轴下方 D. 第二、三、四象限
A
3. 二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有公共点，则 k 的取值范围是 (　　)
A．k＜3 B．k＜3 且 k ≠ 0
C．k≤3 D．k≤3 且 k ≠ 0
D
4. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 有一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = .
-1
y
O
x
1
3
5. 一元二次方程 3x2 + x -10 = 0 的两个根是 x1 = -2，x2 = ，那么二次函数 y = 3x2 + x - 10 与 x 轴的交点坐标是
(-2，0) 和 ( ，0)
.
6. 已知二次函数 的图象，利用图象回
答问题：
(1) 方程 的解是什么？
(2) x 取什么值时，y ＞ 0 ？
(3) x 取什么值时，y ＜ 0 ？
x
y
O
2
4
8
解：(1) x1 = 2，x2 = 4.
(2) x＜2 或 x＞4.
(3) 2＜x＜4.
7. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点，求 k 的取值范围．
解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1，是一次函数．
∵ 直线 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝3 符合题意.
当 k ≠ 3 时，函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1，是二次函数．
∵ 二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点，
∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0，
即 k≤4 且 k ≠ 3.
综上所述，k 的取值范围是 k≤4.
8. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 m，与篮框中心的水平距离为 7 m，当球出手后水平距离为 4 m时到达最大高度 4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 m．
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：(1) 由题意可知，A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中 B 是抛物线的顶点.
设抛物线解析式为 y＝a(x－4)2＋4，将点 A 的坐标代入，可得 a＝－ ，故 y＝－ (x－4)2＋4.
当 x＝7 时，
y＝－ (7－4)2＋4＝3，
∴ 点 C(7，3) 在该抛物线上．
∴ 此球一定能投中.
(2) 此时，如果对方队员乙在甲面前 1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 m，那么他能否获得成功？
解：将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3.
因为 3.1＞3，所以盖帽拦截能获得成功．
y＝－ (x－4)2＋4
Δ = b2-4ac
二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根
不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集
不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
O
y
x
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
x1，x2
没有实数根
x＜x1或x＞x2
x ≠ x1的一切实数
全体实数
x1＜x＜x2
无解
无解
x1 = x2 =