22.3实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积 课件(共27张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共27张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
第1课时 几何图形的最大面积
情景引入
将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
(1) y = x2 4x 5；(配方法) (2) y = x2 3x + 4. (公式法)
解：(1) 开口方向：向上；对称轴：直线 x = 2；
顶点坐标：(2，-9)；最小值：-9.
(2) 开口方向：向下；对称轴：直线 x = ；
顶点坐标：( ， )；最大值： .
求二次函数的最大（或最小）值
引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h
(单位：m) 与小球的运动时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = 30t - 5t 2 (0≤t≤6)．
小球的运动时间是多少时，小球最高？
小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h = 30t - 5t2
合作探究
问题1 二次函数 的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
问题2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？
当 a＞0 时，有 ，此时 ；
当 a＜0 时，有 ，此时 .
问题3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.
故小球运动的时间是 3s 时， 小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t 5t 2(0≤t≤6)
试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题：
∵0≤3≤6，
例1 求下列函数的最大值与最小值：
x
O
y
解：
-3
1
（1）
∴ 当 时，有
当 时，有
典例精析
解：
O
x
y
1
-3
（2）
∴ 当 x = -3 时，有
∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小.
当 x = 1 时，有
方法归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：
1. 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴；
2. 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明 x 的取值范围；
3. 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系，根据二次函数的性质及图象，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值，然后根据 x 的值，求出函数的最值.
典例精析
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用 l 表示另一边？
问题3 面积 S 的函数关系式是什么？
矩形面积 = 长×宽
另一边长为 (30 l) m
S = (30 l)l = l2+30l
二次函数与几何图形面积的最值
问题4 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
解：根据题意得
S = l (30 - l)，
即 S = -l2 + 30l (0＜l＜30).
因此，当
时，有 S最大值 =
也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l/m
S/m2
O
变式 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
60 - 2x
x
x
(1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽
各为多少时，菜园的面积最大？最大
面积是多少？
分析：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为__________m.
矩形菜园的面积 S =______________________.
想一想 如何求得自变量 x 的取值范围？墙长 32 m 对此题有什么作用？
0＜60 2x≤32，即 14≤x＜30.
(60 2x)
x(60 2x)＝ 2x2＋60x
∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2.
解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 2x) m.
∴ S = x(60 2x) = 2x2＋60x.
∵ S = 2x2＋60x = 2(x 15)2 + 450，
设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
由题意得 0＜60 2x≤32，即 14≤x＜30.
根据题意，求出自变量的取值范围
写出二次函数解析式，并化为顶点式
结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值
(2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜
园的面积最大？最大面积是多少？
解：设垂直于墙的一边长为 x m，
由 (1) 知
S = 2x2＋60x = 2(x2 30x) = 2(x 15)2 + 450.
问题1 与(1)有什么区别？
试一试 在 (2) 中，求自变量的取值范围.
21≤ x＜30.
是否依然在 x = 15 时，S 取得最大值？
可利用的墙的长度不一样
问题2 当 21≤ x＜30 时，S 的值随 x 的增大如何变化？当 x 取何值时，S 取得最大值？
当 21≤ x＜30 时，S 随 x 的增大而减小，
故当 x = 21 时，S 取得最大值，
此时 S最大值 = 2×(21 15)2 + 450 = 378 (m2).
实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值.
注意
例3 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
x
解：设矩形窗框的宽为 x m，
则高为 m. 由于
这里应有 x＞0，故 0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是
即
配方得
所以，当 x = 1 时，函数取得最大值，y最大值 = 1.5.
这时
因此，所做矩形窗框的宽为 1 m、高为 1.5 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m2.
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式
求它的最大值或最小值；
3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，
然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的
范围求函数最值.
1. 二次函数 y = (x + 1)2 2 的最小值是（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
2. 二次函数 y = 2x2 4x + 3 (x≤ 2) 的最大值为____.
3
3. 已知直角三角形的两直角边之和为 8，则该三角形
的面积的最大值是______.
A
8
4. 某小区要在一块空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙 (墙长 25 m)，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住．设绿化带的边长 BC 为 x m，绿化带的面积为 y m2．
(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
解：∵ BC = x m，
∴ AB =
∴ y =
(2) 当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
∵ 0＜x≤25，
∴ 当 x = 20 时，绿化带的面积取得最大值，最大面积为 200 m2.
5. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m)，面积为 S (m2).
(1)写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值
范围；
解：由于矩形周长为 12 m，一边长为 x m，故另一边长为 (6 - x) m.
∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0＜x＜6.
解：S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9 (0＜x＜6).
∴当 x = 3，即矩形的一边长为 3 m 时，其面积最大，为 9 m2.
这时设计费最多，为 9×1000 = 9000（元）.
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
6. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动 (不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 以 4 cm/s 的速度移动 (不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s，四边形 APQC
的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
能力提升
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定