22.3 实际问题与二次函数第2课时 商品利润最大问题 课件(共29张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共29张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
第2课时 商品利润最大问题
情境引入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商家，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
利用二次函数解决商品利润最大问题
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价为每件 40 元，则每星期的销售额是 元，销售利润是 元.
探究交流
18000
6000
数量关系
（1）销售额 = 单价×销售量；
（2）利润 = 销售额 - 总成本 = 单件利润×销售量；
（3）单件利润 = 售价 - 进价.
例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每件每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
典例精析
涨价销售
①设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空：
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
涨价销售
20
300
20 + x
300 - 10x
(20 + x)(300 - 10x)
所得利润 y = (20 + x)(300 - 10x)
= -10x2 + 100x + 6000.
6000
②自变量 x 的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤30.
③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
y = -10x2 + 100x + 6000 (0≤x≤30).
当 时，y = -10×52 +100×5+6000 = 6250.
即每件涨价 5 元时，利润最大，最大利润是 6250 元.
降价销售
①设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空：
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
降价销售
20
300
(20 x)
(300 + 20x)
(20 x)(300 + 20x)
所得利润 y = (20 x)(300 + 20x)
= 20x2 + 100x + 6000.
6000
综上可知，定价为 65 元时，才有最大利润是 6250 元.
②自变量 x 的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故 20 x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤20.
③降价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
当 时，
即每件降价 2.5 元时，利润最大，最大利润是 6125 元.
y = 20x2 + 100x + 6000 (0≤x≤20).
由 (1) (2) 的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗
变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45 元/件，每销售一件需缴纳平台推广费 5 元，该款小电器每天的销售量 y (件)与每件的销售价格 x (元)满足函数关系：y = 2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于 75 元/件且不得高于 90 元/件．
(1) 写出每天的销售利润 w (元) 与销售价格 x (元) 的函
数关系式；
解：由题意可得 w=(x 50)( 2x+180)= 2x2+280x 9000.
∴ 当 x = 75 时，有最大利润，最大利润为 750 元.
(2) 每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？最大是多少元？
解：w = 2x2 + 280x 9000 = 2(x 70)2 + 800.
∵ 销售价格不得低于 75 元/件且不得高于 90 元/件，
∴ 75≤x≤90.
根据题意，确定自变量的取值范围
注意：需根据函数的增减性确定自变量的函数最值，而非在顶点处取最值
知识要点
求解最大利润问题的一般步骤
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润 = 总售价 - 总成本”或“总利润 = 单件利润×销售量”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
练一练
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元出售，那么一个月内售出 180 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①设该商品的销售单价上涨 x 元，一个月内获取的总利润为 y 元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元）
正常销售
涨价销售
10
180
10 + x
180 - 10x
(10 + x)(180 - 10x)
1800
建立函数关系式 y = (10 + x)(180 - 10x)
= -10x2 + 80x + 1800.
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 180 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤18.
③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
y = -10x2 + 80x + 1800 = -10(x - 4)2 + 1960 (0≤x≤18).
当 x = 4，即每件涨价 4 元 (销售单价为 34 元) 时，有 y最大值 = 1960.
答：当销售单价为 34 元时，该店在一个月内能获得最
大利润 1960 元.
②自变量 x 的取值范围如何确定？
例2 某商店试销一种新商品，新商品的进价为 30 元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为 y 件，售价为 x 元/件，每月的总利润为 Q 元.
(1) 当售价在 40～50 元/件时，每月销售量都为 60 件，
则此时每月的总利润最多是多少元？
答：此时每月的总利润最多是1200元.
解：由题意知，当 40≤x≤50 时，
Q = 60(x 30)
∵ y = 60 > 0，Q 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x最大 = 50 时，Q最大 = 1200.
= 60x 1800.
(2) 当售价在 50～70 元/件时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价 x 是多少元/件时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？
解：当 50＜x≤70 时，
设 y 与 x 函数关系式为 y = kx + b，
∵线段过 (50，60) 和 (70，20).
50k + b = 60，
70k + b = 20.
∴
∴y = 2x + 160 (50＜x≤70).
解得
k = 2，
b = 160.
y/件
O
∴ Q = (x 30)y
= (x 30)( 2x + 160)
= 2x2 + 220x 4800
= 2(x 55)2 +1250 (50＜x≤70).
∵ a = 2＜0，图象开口向下，
∴ 当 x = 55 时，Q最大= 1250.
∴ 当售价在 50～70 元/件时，售价 x 是 55 元时，获利
最大，最大利润是 1250 元.
y/件
O
解：∵ 当 40≤x≤50 时， Q最大 = 1200＜1218，
当 50≤x≤70 时， Q最大 = 1250＞1218，
∴ 售价 x 应在 50～70 元/件之间.
∴ 令 2(x 55)2 +1250 = 1218. 解得 x1=51，x2=59.
当 x1 = 51 时，y1 = 2x + 160 = 2×51 + 160 = 58 (件)；
(3) 若 4 月份该商品销售后的总利润为 1218 元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
∴ 此时，该商品售价为 51 元/件或 59 元/件，
当月的销售量分别为 58 件或 42 件.
当 x2= 59 时，y2 = 2x + 160 = 2×59 + 160 = 42 (件).
由例2 可知：
若 40≤x≤50，则当 x = 50 时，Q最大 = 1200，
若 50＜x≤70，则当 x = 55 时，Q最大 = 1250.∵1200＜1250，
∴ 售价 x 是 55 元/件时，获利最大，最大利润是 1250 元.
变式1 若该商品售价在 40～70 元/件之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润 Q 元与售价 x 元/件的函数解析式；并说明，当该商品售价 x 是多少元/件时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？
解：Q 与 x 的函数解析式为
60x 1800 （40≤x≤50 ），
2(x 55)2 + 1250（50＜x≤70）.
Q =
变式2 若该商店销售该商品所获利润不低于 1218 元，试确定该商品的售价 x 的取值范围；
① 当 40≤x≤50 时，
∵ Q最大= 1200＜1218，
∴ 此情况不存在.
解：Q 与 x 的函数解析式为
60x 1800 （40≤x≤50 ），
2(x 55)2 + 1250 （50＜x≤70）.
Q =
②当 50＜x≤70 时，Q最大 = 1250>1218，
令 Q = 1218，得
2(x 55)2 +1250=1218.
解得 x1 = 51，x2 = 59.
由 Q = 2(x 55)2 + 1250 的
图象和性质可知：
当 51≤ x ≤59 时，Q≥1218.
∴若该商品所获利润不低于1218元，
则售价 x 的取值范围为 51≤x≤59.
x/元
Q/元
O
55
1250
1218
59
51
变式3 在变式2 的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于 1620 元，则售价 x 为多少元/件时，利润最大？最大利润是多少元？
解：由题意得
51≤x≤59，
30( 2x +160)≥1620.
解得 51≤x≤53.
又∵a = 2＜0，
∴当 51≤x≤53 时 ，
Q 随 x 的增大而增大.
∴当 x = 53 时，Q最大 = 1242.
∴此时售价 x 应定为 53 元/件，
利润最大，最大利润是 1242 元.
x/元
Q/元
O
55
53
51
1242
1.某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可卖出 (600－20x) 件，为使利润最大，则每件售价应定为 元.
25
2. 进价为 80 元/件的某衬衣定价为 100 元/件时，每月可卖出 2000 件；每件价格每上涨 1 元，销售量便减少 5 件，那么每月售出该衬衣的总件数 y (件) 与衬衣售价 x (元/件) 之间的函数关系式为 ，每月利润 w (元) 与衬衣售价 x (元/件) 之间的函数关系式为
(以上关系式只列式不化简).
y = 2000 - 5(x - 100)
w =[2000 - 5(x - 100)](x - 80)
3. 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次. 第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元. 产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件. 如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
解：设生产 x 档次的产品时，每天所获得的利润为 w 元，
则
w = [12 + 2(x－1)][80－4(x－1)]
= (10 + 2x)(84－4x)
= －8x2 + 128x + 840
= －8(x－8)2 + 1352.
因为 x ≤ 9，故当 x = 8 时，w 有最大值，且 w最大 = 1352.
答：该工艺师生产第 8 档次产品，可使利润最大，最大利润为 1352 元.
4. 某种商品每天的销售利润 y (元)与销售单价 x (元)之间满足关系：y = ax2 + bx - 75. 其图象如图.
(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由题中条件可求 y = -x2 + 20x - 75
∵-1 < 0，对称轴 x = 10，
∴当 x = 10 时，y 值最大，最大值为 25.
即销售单价定为 10 元时，销售利润最
大，为 25 元.
7
x/元
y/元
5
16
O
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？
解：由对称性知 y = 16 时，x = 7 或 13.
故销售单价在 7≤x≤13 时，利润不低于 16 元.
最大利润问题
建立函数关系式
总利润 = 单件利润×销售量或总销量 = 总售价-总成本
确定自变量的取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出