22.3 实际问题与二次函数第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 课件(共33张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共33张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
情境引入
生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等．
如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
(1) y = ax2
(2) y = ax2 + k
(3) y = a(x h)2 + k
或 y = ax2 + bx
x
y
O
x
y
O
x
y
O
图(1)
图(2)
图(3)
问题引入
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
利用二次函数解决抛物线形实物问题
这是什么样的函数呢？
你能想出办法来求吗？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
建立函数模型
合作探究
问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图．
y
x
O
问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线的位置呢？
由于顶点坐标是 (0，0)，因此这个二次函数的形式为
y
x
O
x
O
y
-2
2
1
-2
-1
-4
A
问题3 如何确定 a 的值是多少？
因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
已知水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 m，因此点 A (2，-2) 在抛物线上，由此得出
解得
这条抛物线表示的二次函数为
y =
x
O
y
2
4
2
1
2
1
B
问题 4 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3.
令 解得
即水面下降 1 m 时，水面宽度增加了
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
我们来比较下面这些建系的方法
谁最合适？为什么？
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
将其代入
抛物线 y＝ x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
典例精析
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y＝ x2 + 2x + c 表示．
(1)请写出该抛物线的函数解析式；
解：根据题意，得 C (0，4).
∴ 抛物线解析式为 y＝ x2 + 2x + 4.
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
∴这辆货车能安全通过.
解：抛物线解析式为 y＝ x2 + 2x + 4
(x﹣6)2 + 10，
∴ 对称轴为 x＝6.
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
当 x＝2 或 x＝10 时，y＝ ＞6，
6
2
10
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
解：令 y＝8，则
(x﹣6)2 + 10＝8，
，x2＝6﹣2
解得 x1＝6 + 2
则 x1﹣x2＝4
所以两排灯的水平距离最小是 4 m.
8
变式 如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的隧道，OM 宽度为 16 米，其顶点 P 到 OM 的距离为 8 米．
(1) 请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；
设 y＝a(x﹣8)2 + 8，
x
y
解：如图，以 O 为原点建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为 (8，8).
将点 (0，0) 代入上式，得 0＝64a + 8，
解得
故函数的解析式为 (0≤x≤16).
(2) 隧道下的公路是双向行车道 (正中间是一条宽 1 米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽 3.5 米、高5.8 米的特种车辆？请通过计算说明．
即允许的最大高度为 6 米，
解：由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧与边沿处的距离 x＝7.5 3.5＝4.
当 x＝4 时，y＝6，
而 5.8＜6，故该车辆能通行. 但是车顶与隧道间距很小，需小心行驶.
x
y
8
16
4
7.5
利用二次函数解决抛物线形运动轨迹问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度 y (m)与喷出水流离喷嘴的水平距离 x (m) 之间满足
(1) 喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
(2) 喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
解：
(1) 当 x = 2 时，有 y最大 = 2，故水流的最大高度是 2 m.
(2) 令 y = 0，即
解得 x1 = 0，x2 = 4.
即喷嘴喷出水流的最远距离为 4 m．
变式 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意，得 A 点坐标的为 (0，1.25)，
顶点 B 的坐标为 (1，2.25).
数学化
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0).
设右边抛物线的解析式为 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入点 A 的坐标，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25.
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
解：建立平面直角坐标系如图.
则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)，
篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5).
以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a = －0.2，
k = 3.5.
设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = ax2 + k. 而点 A，B 在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的解析式为 y =－0.2x2 + 3.5.
当 x = －2.5 时，y = 2.25 .
故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m.
2.25a + k = 3.05，
k = 3.5.
x
y
O
1. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h (m) 可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t (s) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地.
4
2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度
y (米)关于水平距离 x (米)的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面
的距离为 米.
x
y
O
2
3. 某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5 m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( )
A.50 m B.100 m
C.160 m D.200 m
C
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax2.
∵ 该抛物线过点 (10， 4)，
∴ 4 = 100a，故 a = 0.04.
∴ y = 0.04x2.
4. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
O
A
B
y
x
20 m
h
5. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为 15 m时，达到飞行的最高点 C 处，此时的竖直高度为 45 m，他落地时的水平距离 (即 OA 的长) 为 60 m，求这名运动员起跳时的竖直高度 (即 OB 的长)．
解：设抛物线的解析式为 y＝a(x h)2 + k，
根据题意得抛物线的顶点坐标为(15，45)，
∴ y＝a(x 15)2 + 45.
∴ 0＝a(60 15)2 + 45.
∴ 这名运动员起跳时的竖直高度为 40 米．
解得 a＝ .
∴ 解析式为 y＝ (x 15)2 + 45.
令 x＝0 得 y＝ ×(0 15)2 + 45＝40，
∴ 点 B 的坐标为 (0，40).
∵ 抛物线与 x 轴交于点 A (60，0)，
能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为 0.5 m.
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，
故可设其对应的函数解析式为 y = ax2 + 0.5.
又抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得
81.5 = a 4502 + 0.5. 解得
故所求函数解析式为
(1) 若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数解析式；
y
x
O
-450
450
81.5
(2) 计算距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长.
解：当 x = 450－100 = 350 时，得
当 x = 450－50 = 400 时，得
即距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长分别为 49.5 m、64.5 m.
y
x
O
-450
450
81.5
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
抛物线形运动轨迹问题
（抛物线形实物与轨迹问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键