第二十二章 二次函数小结与复习 课件(共33张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共33张PPT)
第二十二章 二次函数
小结与复习
一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　) 的函数，叫做二次函数．
y＝ax2＋bx＋c
a ≠ 0
[注意] (1)等号右边必须是整式；
(2)自变量的最高次数是 2；
(3)当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．
1. 二次函数的概念
二次函数 y = a(x h)2 + k y = ax2 + bx + c
开口 方向 对称轴
顶点坐标
最值 a＞0
a＜0
增减性 a＞0 a＜0 2. 二次函数的图象与性质：
a＞0 时开口向上
a＜0 时开口向下
x = h
(h，k)
y最小 = k
y最大 = k
在对称轴左边 x↗y↗，在对称轴右边 x↗y↘
在对称轴左边 x↗y↘，在对称轴右边 x↗y↗
y最小=
y最大=
3. 二次函数图象的平移
y＝ax2
左、右平移，自变量左加右减
上、下平移，常数项上加下减
y＝-ax2
写成一般形式
沿 x 轴翻折
4. 二次函数解析式的求法
（1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c ( a≠0 )
（2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k ( a≠0 )
（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) ( a≠0 )
5. 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y = ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0的实数根 一元二次方程
ax2＋bx＋c = 0 根的判别式 (b2 - 4ac)
有两个公共点
有两个不同的实数根
b2 - 4ac ＞ 0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2 - 4ac = 0
没有公共点
没有实数根
b2 - 4ac ＜ 0
6. 二次函数的应用
（1）二次函数的应用包括以下两个方面：
① 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
② 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
（2）一般步骤：① 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；② 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；③ 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；④ 检验结果的合理性，是否符合实际意义．
考点一 二次函数的概念、图象与性质
例1 已知 y = (m + 2)x| m | + 2 是关于 x 的二次函数，那么 m 的值为 (　　)
A． 2 B．2 C．±2 D．0
B
针对训练
1. 已知函数：① y = 2x 1；② y = 2x2 1；③ y = 3x3 2x2；④ y = 2x2 x 1；⑤ y = ax2 + bx + c. 其中二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
例2 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象下列叙述正确的是 ( )
A．顶点坐标为 (－3，2)
B．对称轴为 y＝3
C．当 x＞3时，y 随 x 的增大而增大
D．当 x＞3时，y 随 x 的增大而减小
C
2. 关于抛物线 y = x2 + 2x 3 的判断，下列说法正确的是 (　　)
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线 x = -1
C．抛物线对称轴左侧部分从左往右是下降的
D．抛物线顶点到 x 轴的距离是 2
针对训练
D
方法归纳：解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x - h)2＋k 的形式，得到其对称轴是直线 x＝h，顶点坐标为 (h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为 y＝k；也可以直接利用公式求解.
y
x
例3 二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　)
A．y1≤y2 B．y1＜y2
C．y1≤y2 D．y1＞y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大．∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
B
3. 已知点 ( 1，y1)，(1.5，y2)，(2，y3) 在函数 y = ax2 2ax + a 2 (a＞0) 的图象上，则将 y1、y2、y3 按由大到小的顺序排列是 (　　)
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
B
针对训练
解析：∵二次项系数为－1＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为
由题意知，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴抛物线的对称轴应在直线 x = 1 的左侧.
4. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( )
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
D
x
y
O
b
1
∴ b≤1. 如图所示.
例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
【解析】因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2.
B
5. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ）
A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位
B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位
C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
B
针对训练
例5 (1) 已知关于 x 的二次函数，当 x = －1 时，函数值为 10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.求这个二次函数的解析式.
待定系数法
解：设所求的解析式为 y＝ax2＋bx＋c， 由题意得
解得 a = 2，b = －3，c = 5.
∴ 所求的二次函数解析式为 y＝2x2－3x＋5.
(2) 已知关于 x 的二次函数，当 x = 2 或 4 时，y = 16，且函数的最大值为 2．求二次函数的解析式．
解：∵ 当 x = 2 或 4 时，y = 16，且函数的最大值为 2.
∴ 对称轴为直线 .
∴ 顶点为 (1，2).
设二次函数解析式为 y = a(x 1)2 + 2，
把 ( 2， 16) 代入得 16 = 9a + 2，解得 a = 2.
∴ y = 2(x 1)2 + 2.
∴ 二次函数解析式为 y = 2x2 + 4x.
顶点式
针对训练
6. 如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过 A ( 1，0)、
B (3，0) 两点，与 y 轴交于点 C(0， 3)．
(1) 求二次函数的解析式；
解：设二次函数解析式为 y = a(x + 1)(x 3)，
将点(0， 3)代入，得
3 = a(0 + 1)(0 3).
解得 a = 1.
∴二次函数的解析式为 y = (x + 1)(x 3) = x2 2x 3.
交点式
x
y
O
C
A
B
(2) 点 Q 为抛物线上一点，若 S△QAB = 8，求出此时点 Q 的坐标．
解：设 Q (x，y)，
则 S△QAB = AB | y | = 2| y | = 8.
∴ y = ±4．
解得
则 Q 的坐标为
② 当 y = -4 时，即 x2 2x 3 = 4.
解得 x3 = x4 = 1.
则 Q 点的坐标为(1， 4).
① 当 y = 4 时，
即 x2 2x 3 = 4.
点 Q 的坐标为
或(1， 4).
x
y
O
C
A
B
综上所述，
例6 已知二次函数 y = x2 2mx + m2 1(m为常数).
求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点.
考点二 二次函数与一元二次方程
解析：函数的图象与 x 轴总有两个公共点，即方程 x2 2mx + m2 1 = 0 有两个不相等的实数根，根据根的判别式求解即可.
证明：( 2m)2 4(m2 1) = 4＞0，
故不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点.
7. 二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则方程 ax2 + bx + c 2 = 0 的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．以上都不正确
针对训练
B
x
y
O
3
考点三 二次函数的应用
B 离地面 O 点的距离是 1 m，球落地点 A 到 O 点的距离是 4 m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
例7 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛
物线 的一部分（如图），其中出球点
A
针对训练
8. 如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为 (　 )
C
方法归纳：解决此类题目需运用建模思想，建立合适的平面直角坐标系，抽象出函数模型，解决相关问题.
例8 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45.
(1) 求一次函数的解析式；
解：根据题意，得
故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120.
解得 k = -1，b = 120.
(2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
解：W = (x-60) (-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900，
∵抛物线的开口向下，
∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大.
而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87.
∴当 x = 87 时，W 有最大值，
此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891.
9.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来 3 个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；
针对训练
解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为 y = ax2 + bx，由图象的点的含义，得
故所求一次函数的解析式为 y = x2 + 14x.
解得 a = 1，b = 14.
(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析.
(2) y = x2 +14x = (x 7)2 + 49.
即当 x = 7 时，利润最大，y = 49.
(3) 没有利润，即 y = x2 +14x = 0.
解得 x1 = 0(舍去)，或 x2 = 14，
而这时利润为滑坡状态，所以第 15 个月，公司亏损.
例9　如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中 15＜x＜30.作 DE⊥AB 于点 E，将 △ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 F 处，DF 交 BC 于点 G.
(1)用含有 x 的代数式表示 BF 的长；
解：(1)由题意，得
EF = AE = DE = BC = x，AB = 30.
∴BF = 2x - 30.
(2)设四边形 DEBG 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式；
(3)当 x 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值．
(2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°，
∴∠BGF =∠F = 45°，BG = BF = 2x - 30.
所以 S△DEF - S△GBF = DE2 - BF2 = x2 - (2x - 30)2
= x2 + 60x - 450.
(3)S = x2 + 60x - 450 = (x - 20)2 + 150.
∵a = ＜0，15＜20＜30，
∴当 x = 20 时，S 有最大值，最大值为 150.
10.张大伯准备用 40 m 长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用自家房屋一面长 25 m 的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.
(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
25 m
针对训练
解：(1)由题意得羊圈的长为 25 m，
宽为(40 - 25)÷2 = 7.5 (m).
故羊圈的面积为 25×7.5 = 187.5 ( m2 )
(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.
(2)设羊圈与墙垂直的一边为 x m，则与墙相对的一边长为(40 - 2x)m，羊圈的面积 S = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x
= -2(x -10)2 + 200(7.5≤x＜20).
∵7.5≤10＜20，所以当 x = 10 时，
S 有最大值，此时 S = 200.
故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为 10 m，而与墙相对的一边长为(40-2x) m = 20 m.
25 m
实际问题
归纳
抽象
二次函数
y = ax2 + bx + c
实际问题的答案
利用二次函数的图象和性质求解
图象
目标
性质