第二十三章 旋转小结与复习 课件(共27张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共27张PPT)
第二十三章 旋 转
小结与复习
一、旋转的特征
1．旋转过程中，图形上______________________
按 旋转 ．
2．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是
_______，对应点到旋转中心的距离都______．
3．旋转前后对应线段、对应角分别_____，图形的大
小、形状_______．
每一点都绕旋转中心
同一旋转方向
同样大小的角度
旋转角
相等
相等
不变
1．中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转____，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
180°
二、中心对称
2. 中心对称的特征
中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过 ，并且被对称中心_______．
3. 中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
对称中心
平分
4．关于原点对称的点的坐标
两点关于原点对称时，它们的对应坐标互为 ，即点 P(x，y) 关于原点的对称点为 P′( ， )．
相反数
－x
－y
考点一 旋转的概念及性质
例1 (1)如图 a，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60°后得到△COD，若∠AOB = 15°，则∠AOD 的度数
是 ( )
A. 15° B. 60° C. 45° D. 75°
A
B
O
D
C
图 a
C
【解析】关键是找出旋转角∠BOD = 60°.
(2) 如图 b，4×4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，其旋转中心是( )
A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D
N1
M1
N
M
P1
D
P
A
B
图 b
C
B
【解析】作线段 NN1 与 PP1 的
垂直平分线，交点便是旋转中心.
1. 如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，将三角形 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到三角形 COD，则旋转过程中形成的
阴影部分的面积为
针对训练
_______．
例2 如图，正方形 ABCD 中，△ADE 经顺时针旋转后与△ABF 重合．
(1) 旋转中心是 ，旋转了 度；
(2) 如果 CF = 8，CE = 4，求 AC 的长．
点 A
90
解：∵△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°后与△ABF 重合，
∴ BF = DE，S△ABF = S△ADE.
而 CF = CB + BF = 8，
∴ BC + DE = 8.
∵ CE = CD－DE = BC－DE = 4，
∴ BC = 6.
2. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 15，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到△EBD，连接 DC 交 AB 于点 F，则△ACF 与△BDF的周长之和为_____.
55
解析：根据旋转的性质得到 BD = BC = 15，从而得到△BCD 为等边三角形，故 CD = 15；在 Rt△ACB 中，利用勾股定理得到 AB = 17，于是得到结论.
针对训练
(1) 画旋转后的图形，要善于抓住图形特点，作出特殊点的对应点；
(2) 旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向 (顺时针或逆时针)．
方法总结
考点二 旋转变换
例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE = BC，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90° 后得 CF，连接 EF．
（1）补充完成图形；
（2）若 EF∥CD，求证：∠BDC = 90°．
解析：(1) 根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋转角度，补全图形即可；
解：(1) 补全图形，如图所示.
F
(2) 由旋转的性质，得 DC = FC，∠DCF = 90°，
∴∠DCE +∠ECF = 90°.
∵∠ACB = 90°，
∴∠DCE +∠BCD = 90°. ∴∠ECF =∠BCD.
∴△BDC≌△EFC (SAS). ∴∠BDC =∠EFC.
∵ EF∥DC，
∴∠EFC +∠DCF = 180°. ∴∠EFC = 90°.
∴∠BDC = 90°.
F
(2) 由旋转的性质得∠DCF 为直角，由 EF 与 CD 平行，得到∠EFC 为直角，利用 SAS 得到△BDC 与△EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
针对训练
4.如图，在等腰 Rt△ABC 中，点 O 是 AB的中点，AC = 4，将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在 O 点处，将三角板绕点 O 旋转，始终保持三角板的直角边与 AC 相交，交点为 D，另一条直角边与 BC 相交，交点为 E，则等腰 Rt△ABC
的边被三角板覆盖部分的两条线段
CD 与 CE 的长度之和等于 .
A
B
C
D
E
O
4
例4 如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB 的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A、B 的坐标分别是 A(3，2) 、B(1，3).
x
y
O
A
B
(1) 将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°
后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；
(2) 画出△AOB 关于原点 O 对称的图
形△A2OB2，并写出点A2，B2 的坐标.
x
y
O
A
B
A1
B1
A2
B2
解析：(1) 因为旋转角 90°，故用直角三角板及圆规可快速确定对应点的位置；(2) 先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点的坐标，再依次连接得到所要画的图形.
易错提示：旋转作图不要搞错方向.
解：(1) 如图所示.
(2) 如图所示，
点 A2 的坐标为(－3，－2)，
B2 的坐标为(－1，－3).
5. 如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点(小正方形的顶点)上，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 得到△AB1C1. 请你作出△AB1C1.
解析：作∠CAC1＝90°，且 AC1＝AC，得到 C 的对应点 C1，由同样的方法得到其余各点的对应点．
解：如图所示.
针对训练
考点三 中心对称
例4 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称
图形的是(　　)
　　　A　　　　　 B　　　　　 C　　　　 　D
D
【解析】图A 、图B 都是轴对称图形，图C 是中心对称
图形，图D 既是中心对称图形也是轴对称图形.
中心对称图形和轴对称图形的主要区别在于一个是绕一点旋转，另一个是沿一条直线对折.这是易错点，也是辨别它们不同的关键.
方法总结
6.下列说法不正确的是（ ）
A. 任何一个具有对称中心的四边形都是平行四边形
B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
D. 正三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，且对称轴都不止一条.
B
针对训练
例6 如图，从前一个农民有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘.农民立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间池塘也平分.农民的两个儿子不知怎么做，你能想个办法吗？
解析 先找到平行四边形对角线的交点 A 和池塘的圆心 B，过 A、B 两点作一条直线可以了.
A
B
7. 轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分.请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分.
针对训练
（1） （2） （3）
解：如图所示.
例7 若点 A (2m－1，2n + 3) 与 B (2－m，2－n) 关于原点 O 对称，则 m =_____， n =_____．
－1
－5
解析：关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数，可以直接根据此性质列方程(组)求解.
8. 已知点 P (－1－2a，2a－4) 关于原点的对称点在第一象限，则整数 a 的值为 (　　)
A．1
B．0
C．0 或 1
D．0 或 1 或 2
针对训练
C
例8 如图所示的图案是一个轴对称图形(不考虑颜色)，直线 m 是它的一条对称轴. 已知图中圆的半径为 r，你能借助轴对称的方法求出
图中绿色部分的面积吗？
说说你的做法.
m
考点四 图形变换的简单应用
解：以直线 m 为对称轴，把 m 左边绿色部分对称到 m 的右边，那么左边绿色部分恰好填补了右边的白色部分，所以图中的绿色部分面积等于半个圆的面积，也就是 .
m
本章知识结构图
旋转及其性质
平移及其性质
轴对称及其性质
中心对称图形
中心对称
关于原点对称的点的坐标
图案设计