2026届高考数学培优第一讲
第一讲：解三角形与阿氏圆
1.【2025年2月武汉二调T17】 如图，与存在对顶角，，，且．
（1）证明：为中点；（2）若，求的长．
2.如图，已知为等边三角形，点为外的一点，，，，则的面积为____________.
3.（2025年3月宁波十校T7）在四边形中，已知，
若，则的长度为（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
4.（江西高考）在中，点是斜边的中点，点为的中点，则（ ）.
A．2 B．4 C．5 D．10
5.在中，内角，，的对边分别是，，，满足若，
则的面积的最大值是 ．
6.（多选题）在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A.C的方程为 B.在x轴上存在异于A,B的两个定点，，使得
C.当A,B,P三点不共线时,∠APO=∠BPO D.若点Q(0,6),则在C上存在点M,使得|MQ|=|MB|
7.（多选题）（2023年10月武汉市重点高中联考）在中，内角的对边分别为，
则下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则面积的最大值为
B. 若，则面积最大值为
C. 若角的内角平分线交于点，且，则面积的最大值为3
D. 若为的中点，且，则面积的最大值为
8.（2024年6月杭二高一下期末）已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.（2017年浙）已知中，，，点为延长线上一点，，
连结，则的面积是___________,__________.
10.已知，内角，，所对的边分别是，，，其中，角的角平分线交于点，若，则___________，的取值范围是___________________.
11.在中，，，，则( )
A． B． C． D．
12. （广东华附、深中高三上期末）在中，角的对边分别为，且
(1)求；(2)已知为的中点，于于，若求的面积.
13.（2024年温州二模）记的内角所对的边分别为，已知．
（1）求；（2）若，，求的面积．
14．（2023年温州二模）已知满足．
(1)试问：角是否可能为直角？请说明理由；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
15. （2022年温州一模）记锐角的内角的对边分别为，已知．
（1）求证：；（2）若，求的最大值．
16.记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求；（2）若，内切圆的面积为，求的面积．
17. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足，
且.
（1）求证：；（2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.
18.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；（2）当时，求的取值范围.
19.（2023·安徽马鞍山三模）记△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,a=4,
D是BC边上的一点.
(1)若CD=2DB,且AD平分∠BAC,求c;(2)若+=,求线段AD的长.
20.“费马问题”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos 2B+cos 2C-cos 2A=1.
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值.
12026届高考数学培优第一讲：解三角形与阿氏圆第一讲答案
1.（2025年2月武汉二调T17） 如图，与存在对顶角，，，且．
（1）证明：为中点；（2）若，求的长．
【小问1详解】设，，则，
.在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：.
由，所以.
化简得：.故为中点.
【小问2详解】如图：过点做，交与.则.
由（）.
∴，又，∴.∴.
∴，又，.
∴.
由
∴.又，
∴，∴.∴.
即.在中，根据正弦定理，可得：.
说明：解三角形也是平面几何问题，用几何法求解三角形是本，用正、余弦定理解三角形是常规方法，
是根，不一定是最高效、最好的方法. 武汉二调这道题平均得分不到4分，究其原因是缺少几何法优先的意识，哪怕第一问用余弦定理求出来了，第二问也会因用正弦定理不能快速找到的关系，
导致无法求出第二问，上述参考解析有点初中几何的意识，所以才能够简便直接的找到和的关系，
当然如果第一问按下面的两种几何法求解，第二问也会势如破竹，轻松求解.所以几何法才是求解三角形问题的优先方向，还有平面向量问题，平面解析几何，立体几何也是如此.（武汉二调T14，平均分是0分，用等体积法+几何思维求解才是正确之道,）
2.如图，已知为等边三角形，点为外的一点，，，，则的面积为____________.
解：由手拉手模型（或共点旋转思维）易知.
说明：此题若用正、余弦定理都会非常麻烦，用手拉手模型可以把条件集中到一个三角形中再用余弦定
理求出即可.在有等边三角形或等腰直角三角形时，共点旋转思维很有效.
3.（2025年3月宁波十校T7）在四边形中，已知，
若，则的长度为（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
解：（特值法）由四边形为平行四边形即可求出.
说明：①若四边形的四条边的平方和等于它的对角线的平方和，
则该四边形为平行四边形.
法一：（同一法）由中线长定理证明对角线与中点重合.
法二：由中线长定理有，再由，可知中点也为中点.
法三：，∴，∴.
∴四边形为平行四边形.
②中线长定理，斯库顿定理（角平分线长公式），张角定理，爪子定理，高中生都应该学会.
4.在中，内角，，的对边分别是，，，满足若，
则的面积的最大值是 ．
解：利用阿波罗尼斯圆的性质可很快求解.
说明：阿波罗尼斯圆性质：①圆心总在两个反演点的延长线上，且靠近距离小的那个反演点.
②半径；③.（用几何法证明性质③）
5．（多选）如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，
F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设，，因为是线段的中点，则有，
由，可得，设，
则由平面向量基本定理可得，解得，又，，三点共线，
故可设，设，由为中点可知，
，将代入可得，即，正确；
又，，，设，
则有，即，解得，，
故，正确；故选：CD．
6.（2012年江西）在中，点是斜边的中点，点为的中点，则（ ）.
A．2 B．4 C．5 D．10
法一：矩形大法；法二：中线长定理.
【高考解析】直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，
那么，故选D．说明：平面几何法彰显智慧.
7.（2013年重庆理）在平面上，，，.若，
则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：矩形大法
8．（2021年温州中学高一下期中）在等腰梯形中，已知，，，，动点，分别在线段和上，线段和相交于点，且，.
（1）当时，求的值.
（2）记，试求函数的解析式及其最小值.
解：（1）易知：，作交于，
∴，，∴.
（2），
，
，
∴，∴
9.（多选）（2022年6月温州高一下期末A卷T12）如图，已知，均为等边三角形，，，分别为，，的中点，为内一点（含边界），，下列说法正确的是（ ）
A.若，则为的重心
B.若，则的轨迹为一条线段
C.若，则的取值范围是
D.的最小值为
解：对A：∵
，∴为的重心.
对B：由等和线可知：若，则的轨迹为一条线段
对C：（坐标法）以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则，设，则，
∴，∴，
∴，，，
由有，，
， ，，
令，∴；∴，令， ，∴.
对D：由等和线可知：当位于时，最小，∵，
∴，∴.
法二：对C：过中点作交，，于，，
，其中，分别为的中点，易知，
∴，∴，∴，
∴，延长交于，作交于，易知：为边的三等分点 ，
且，∴，∴当时，由等和线可知：.
对D:在中，易知，，在中，∴，又∵，∴，∴.
另解：过点作交的延长线于点，设，易知：，
且，∴，又∵，∴，
∴.
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