24.1.3 弧、弦、圆心角 课件(共25张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共25张PPT)
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
情境引入
A
B
O
圆心角的定义
·
O
B
A
观察在⊙O 中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
定义：顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB .
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
练一练
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
弦
想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？
O
A
B
圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB.
圆心角 ∠AOB 所对的弧为 .
观察：1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
圆心角、弧、弦之间的关系
合作探究
重合，
圆是中心对称图形
.
O
A
B
180°
2. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
重合.圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
·
问题1 在⊙O 中，如果圆心角∠AOB =∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？
在同圆中探究
C
·
O
A
B
D
因为将圆绕圆心旋转任一角度都能
与自身重合，所以可将 ⊙O 绕圆心
旋转，使点 A 与点 C 重合.
由于∠AOB =∠COD，
因此，点 B 与点 D 重合.
从而 ，AB = CD.
问题2 如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB ＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？
在等圆中探究
O′
·
O
A
B
·
C
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB =∠CO′D，那么 ，弦 AB = 弦 CD.
归纳
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB = ∠COD
③ AB = CD
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
A
B
O
D
C
②
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
类比探究可得
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
关系结构图
温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
在同圆或等圆中
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
(2) 等弧所对的弦相等. （ ）
(1) 等弦所对的弧相等. （ ）
×
×
√
判断正误：
辨一辨
圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用
典例精析
解：
∵
·
A
O
B
C
D
E
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，
∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°.
∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
B
C
O
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
例2 如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ = ，
例3 如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条弦， .
求证：AB = CD.
.
C
A
B
D
O
证明：
变式1 如图，在⊙O 中，AD = BC．求证：DC = AB．
∴ DC = AB．
证明：∵ AD = BC，
变式2 如上图，在⊙O 中，DC = AB．求证：AD = BC.
证明：∵ DC = AB，
∴ AD = BC.
1. 如果两个圆心角相等，那么 ( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦和弧分别相等
D．以上说法都不对
2. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 °.
D
60
3. 如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦．
（1）如果 AB = CD，那么_________，__________ __；
（2）如果 ，那么_________， ；
（3）如果∠AOB =∠COD，
那么_________，________；
·
C
A
B
D
O
AB = CD
AB = CD
AB = CD
(
(
∠AOB =∠COD
∠AOB =∠COD
AB = CD
(
(
AB = CD
(
(
·
C
A
B
D
E
F
O
（4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那么 OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF.
理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∵ AB = CD，
∴ AE = CF.
∵ OA = OC，
∴ Rt△AOE≌Rt△COF (HL).
∴ OE = OF.
∴
4. 已知：如图，A、B、C、D 在⊙O 上，AB = CD．
求证：∠AOC =∠BOD．
∴∠AOB =∠COD.
∴∠AOB－∠BOC =∠COD－∠BOC，
即∠AOC =∠BOD．
证明：∵ AB = CD，
5. 如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，且 BD∥OC．求证： ．
证明：∵ OB = OD，
∴∠D =∠B.
∵ BD∥OC，
∴∠D =∠COD，∠AOC =∠B.
∴∠AOC =∠COD.
A
B
C
D
E
O
能力提升：
6. 如图，在☉O 中，∠COD = 2∠AOB，那么 = 2
成立吗？CD = 2AB 呢？如果成立，请说明理由；如
果不成立，那它们之间的关系又是什么？
解： = 2 成立，CD = 2AB 不成立.
理由如下：取 的中点 E，连接 OE，
CE，DE，那么∠AOB =∠COE =∠DOE.
所以 = = ， = 2 ，AB = CE = DE.
在△CDE 中，CE + DE > CD，故 CD ＜ 2AB.
弧、弦、圆心角的关系定理及推论
在同圆或等圆中
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
概念：顶点在圆心的角