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24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
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C
A
E
D
B
思考： 图中过球门 A、E 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
圆周角的定义
合作探究
问题2 ∠ABE 的顶点和边有哪些特点
∠ABE 的顶点在☉O 上，角的两边分别交☉O 于 A、E 两点.
顶点在圆心的角叫圆心角，如∠AOE.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
问题1 什么叫圆心角 指出图中的圆心角
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
顶点 A 不在圆上
顶点 A 不在圆上
边 AC 没有和圆相交
是
是
是
测量：如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.
圆周角定理及其推论
测量与猜测
猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半.
等于
圆心 O 在∠BAC 的内部
圆心 O 在
∠BAC 的一边上
圆心 O 在
∠BAC 的外部
推导与论证
圆心 O 在∠BAC 的一边上（特殊情形）
OA = OC
∠A = ∠C
∠BOC = ∠A + ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心 O 在∠BAC 的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
O
C
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心 O 在∠BAC 的外部
圆周角定理及其推论
要点归纳
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等. 理由如下：
∵
互动探究
问题2 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？
解：相等.
想一想：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？
D
A
B
O
C
E
F
圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识要点
A1
A2
A3
解：∵ AB 是直径，点 O 是圆心，
∴∠AOB = 180°.
∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角，
∴∠ACB = ∠AOB = 90°.
想一想
如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？
·
O
A
C
B
能不能直接运用圆周角定理解答？
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径.
知识要点
圆周角定理的推论2
例1 如图，分别求出图中∠x 的大小.
60°
x
30°
20°
x
解：(1)∵ 同弧所对圆周角相等，∴∠x = 60°.
A
D
B
E
C
(2) 连接 BF.
F
∵ 同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 30°.
∴∠x = ∠ABF +∠FBC = 50°.
例2 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P， ∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.
O
A
D
C
P
B
解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD
= 90°－60° = 30°.
∴∠BAD =∠DCB = 30°.
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°= 100°.
例3 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm.
∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长.
解：如图，连接 OD.
在 Rt△ABC 中，
D
C
B
A
O
∴∠ACB =∠ADB = 90°.
∵ AB 是直径，
∵ CD 平分∠ACB，
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则应考虑构造直角三角形来求解.
归纳
∴ AD = BD.
∴∠AOD =∠BOD.
∴∠ACD =∠BCD.
在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2，
D
C
B
A
O
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形
如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形.
探究性质
猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为：
∠A +∠C = 180°，
∠B +∠D = 180°.
想一想：
如何证明你的猜想呢？
∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α，
∴
同理，
证明猜想
归纳总结
性质：圆的内接四边形的对角互补.
连接 OB，OD．
α β
∴
1. 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°，
∠B = 80°，则∠C = ° ，∠D = °.
2. ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C =
1∶2∶3，则∠D = °.
70
100
90
练一练
例2 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，∴ AB 垂直平分 CD.
∴ AC＝AD.
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠FGD＝∠ADC.
1. 如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD 是 ( )
A．120° B．100°
C．80° D．60°
2. 已知△ABC 的三个顶点在⊙O 上，∠BAC = 50°，∠ABC = 47°，则∠AOB = °.
B
A
C
O
166
A
第1题图
第2题图
3. 如图，已知 BD 是 ⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD 于
点 E，若∠AOD = 60°，则∠DBC 的度数为 .
方法总结：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理及其推论.
30°
∴∠ACB = 2∠BAC.
证明：
4. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB =
2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
∠AOB = 2∠BOC，
∵
A
O
B
C
5. 船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A、B两点的一个圆形区域内，优弧 AB 上任一点 C 都是有触礁危险的临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船位于安全区域时，∠α 与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α 小于“危险角”.
拓展提升：如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的圆交 BC 于 D，交 AC 于 E.
(1) BD 与 CD 的大小有什么关系 为什么
A
B
C
D
E
∵ AB 是圆的直径，点 D 在圆上，
∴∠ADB = 90°.
∴ AD⊥BC.
又∵ AB = AC，
∴ △ABC 为等腰三角形. ∴ BD = CD.
(1) 解：BD = CD. 理由如下：连接 AD，如图.
O
(2) 求证： .
(2) 证明：在等腰△ABC 中，AD⊥BC，
∴∠BAD =∠CAD.
∴
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆内接四边形
圆内接四边形的对角互补
