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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
第二十四章 圆
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想一想
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
. B
.
A
.
.
点和圆的位置关系
合作探究
点和圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？
点 P 在⊙O 内
点 P 在⊙O 上
点 P 在⊙O 外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1. ⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分
别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与 ⊙O 的
位置关系是点 A 在 ，点 B 在 ，点 C 在 .
圆内
圆上
圆外
2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP
= ，则点 P 在 ( )
A. 大圆内 B. 小圆内
C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外
O
D
练一练
点和圆的位置关系
r
P
d
P
r
d
O
P
r
d
O
R
r
P
O
d
点 P 在⊙O 内
d＜r
点 P 在⊙O 上
d = r
点 P 在⊙O 外
d＞r
点 P 在圆环内
r≤d≤R
数形结合：
位置关系
数量关系
知识要点
O
例1 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB = 3，AD = 4.
（1）以 A 为圆心，4 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与
⊙A 的位置关系如何？
解：∵ AB = 3 ＜ 4，
∴ 点 B 在⊙A 内．
∵ AD = 4，
∴ 点 D 在 ⊙A 上．
∵ ＞ 4，
∴ 点 C 在 ⊙A 外.
解：由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外，
∴ 3＜r＜5.
(2) 若以点 A 为圆心作⊙A，使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A 的半径 r 的取值范围？(直接写出答案)
3
4
·
问题1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作多少个圆？
合作探究
·
·
·
·
以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到点 A 的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
三角形的外接圆及外心
A
…
问题2 如何过两点 A、B 作一个圆？过两点可以作多少个圆？
·
·
·
·
A
B
作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点 A 的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
…
问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
D
E
G
F
经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上.
经过 A，B，C 三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点 O 的位置.
经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上.
●
O
A
B
C
有且只有一个
位置关系
不在同一直线上的三个点确定一个 圆.
归纳总结
D
E
G
F
●
O
A
B
C
试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C三点的圆.
A
B
C
O
1. 外接圆
⊙O 叫做△ABC 的________，
△ABC 叫做⊙O 的____________.
2. 三角形的外心：
定义：
外接圆
内接三角形
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：
三角形三边垂直平分线的交点.
概念学习
A
B
C
O
到三角形三个顶点的距离相等.
性质：
●
判一判：
下列说法是否正确？
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3) 经过三点一定可以确定一个圆( )
(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
×
×
√
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于斜边的中点处；
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为 A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学应该建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？
A
C
试一试：
B
●
●
●
●
解：学校应该建在 AB 和 AC 垂直平分线的交点上.
例2 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC = 24 cm，O 到 BC 的距离是 5 cm，求△ABC 的外接圆的半径．
解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D.
D
则 OD = 5 cm，
在 Rt△OBD 中，
即△ABC 的外接圆的半径为 13 cm.
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如何证明这个结论？
反证法
观察与思考
A
B
C
l
如图，假设经过直线 l 上的三点 A、B、C 可以作圆，设这个圆的圆心为 P，那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1 上，又在线段 BC 的垂直平分线 l2 上.
这样，经过点 P 便有两条直线 l1，l2 同时垂直于直线 l，这与“过一点有且只有
一条直线与已知直线垂直”这一
基本事实相矛盾．
所以过同一条直线上的三点
不能作圆．
l1
l2
A
B
C
P
l
反证法的定义
要点归纳
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所做假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤
①反设：假设命题的结论不成立(或其反面成立)；
②推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
③结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结
论成立.
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角≤60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设 ，
则 .
∴ ，
即 .
这与 矛盾，故假设不成立．
∴ ．
△ABC中没有一个内角小于或等于 60°
∠A > 60°，∠B > 60°，∠C > 60°
∠A +∠B +∠C > 180°
三角形的内角和为 180°
△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°
∠A +∠B +∠C > 60° + 60° + 60° = 180°
2. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( )
M
R
Q
A
B
C
P
A. 点 P B. 点 Q
C. 点 R D. 点 M
B
1.⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)，
则点 P 与⊙O 的位置关系为 ( )
A. 点 P 在⊙O 内 B. 点 P 在⊙O 上
C. 点 P 在⊙O 外 D. 点 P 在⊙O 上或⊙O 外
B
4. 已知在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则它的外接圆半径为 .
5
5. 如图，△ABC 内接于⊙O，若∠OAB = 20°，则∠C 的度数是_____.
70°
3. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 长为半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A .
上
外
上
6. 判断：
（1）经过三点一定可以作圆 （ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 （ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
√
×
×
×
7. 请将如图所示的破损的圆盘复原.
A
B
C
O
方法：
1.在圆弧上任取三点 A、B、C；
2.作线段 AB、BC 的垂直平分线，
其交点 O 即为圆心；
3.以点 O 为圆心，OA 长为半径
作圆.
则⊙O 即为所求.
8. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm，
BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径.
C
B
A
O
解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC.
故点 O 是△ABC 的外心.
∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，
∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm.
即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm.
能力拓展：一个 8 米×12 米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为 5 米，你准备安装几个 怎样安装 请说明理由.
点和圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d位置关系数量化
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理：不在同一直线上的三个点可确定一个圆
一个三角形的
外接圆是唯一的
注意：过同一直线上的三个点不能作圆
点 P 在圆环内
r≤d≤R
R
r
P
O
d
