24.3 正多边形和圆 课件(共27张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共27张PPT)
24.3 正多边形和圆
第二十四章 圆
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
图片引入
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？
菱形是正多边形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；
菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.
注意
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
正多边形的对称性
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
归纳
互动探究
问题1 怎样把一个圆进行四等分？
问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？
A
B
C
D
·
O
正多边形的有关概念及性质
①
③ ∠A ∠E.
把⊙O 进行 5 等分，依次连接各等分点得到五边形ABCDE.
(1) 填空：
探究归纳
·
A
O
E
D
C
B
3
＝
(2) 这个五边形 ABCDE 是正五边形吗？简单说说理由.
归纳：像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆.
②
3
O
A
B
C
D
问题3 以正方形为例，根据对称性，你能得出什么结论？
E
F
G
H
结论一：正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.
证明：∵ EF 是边 AB、CD 的垂直平分线，∴ OA = OB，OD = OC.
∵ GH 是边 AD、BC 的垂直平分线，
∴ OA = OD，OB = OC.
∴ OA = OB = OC = OD.
∴ 正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：∵ AC、CA 分别是∠DAB 及∠DCB 的平分线，BD、DB 分别是∠ABC 及∠ADC 的平分线，
∴ OE = OH = OF = OG.
∴ 正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的内切圆.
结论二：正方形 ABCD 有一个以
点 O 为圆心的内切圆.
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且圆心相同.
想一想
O
A
B
C
D
E
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心
外接圆的半径叫做正多边形的半径
内切圆的半径叫做正多边形的边心距
知识要点
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于
正多边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
正多边形的外角 = 中心角
完成下面的表格：
练一练
如图，已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF：
① 它的中心角等于 度；
② OC BC(填＞、＜或＝）；
③ △OBC 是 三角形；
④ 圆内接正六边形的面积是 △OBC 面积
的 倍.
⑤ 圆内接正 n 边形面积公式：___________________.
C
B
D
O
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
探究归纳
S正多边形 =
例1 如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，则∠ADE 的
度数是 （ ）
A．60° B．45° C．36° D．30°
·
A
B
C
D
E
O
C
典例精析
解析：由五边形 ABCDE 是正五边形且内接于⊙O，可求出弧 AE 所对的圆心角的度数等于 360°÷5 = 72°，再根据圆周角定理可得到∠ADE 的度数.
变式题 如图，圆内接正五边形 ABCDE 中，对角线 AD 和 CE 相交于点 P，则∠APE 的度数是（　　）
A．36° B．60°
C．72° D．108°
解析：由例 1 易得∠ADE = ∠CED = 36°，根据三角形的外角性质，得
∠APE = ∠ADE + ∠CED = 72°.
C
P
·
A
B
C
D
E
O
例2 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ).
抽象成
C
D
O
E
F
A
B
4 m
利用勾股定理，可得边心距
亭子地基的面积
4 m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：连接 OB，过点 O 作 OM⊥BC 于 M.
在 Rt△OMB 中，OB = 4，MB =
亭子地基的周长 l = 6×4 = 24 (m)，
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
练一练
正多边形的边数 边长 半径 边心距 周长 面积
3 2
4 2
6 2
1. 一个正多边形绕它的中心旋转 45° 后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
C
2. 如图，⊙O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 为 ⊙O上除 C、D 外任意一点，则∠CPD 的度数为（　　）
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
B
提示：分类讨论，点 P 可能在优弧上，也有可能在劣弧上.
4. 若正多边形的边心距与半径的比为
1∶2，则这个正多边形的边数是 .
3
3. 如图，已知⊙O 的内接正方形的边长为 4，则⊙O 的半径是（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 4
C
6. 要用圆形铁片截出边长为 4 cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要_____cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
5. 如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则其中心角为 度 (不取近似值).
_______
7. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．
(1) 求∠FAB 的度数；
(2) 求证：OG = OH．
(1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠FAB = .
(2) 证明：连接 OA、OB.
∵ OA = OB，
∴∠OAB =∠OBA.
∵∠FAB =∠CBA，
∴∠OAG =∠OBH.
∴△AOG≌△BOH (SAS).
∴ OG = OH．
又∵ AG = BH，
拓广探索：如图，M，N 分别是☉O 内接正多边形的边AB，BC 上的点，且 BM = CN.
(1) 图①中∠MON = °，图②中∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2) 试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
图①
A
B
C
D
M
N
O
图②
A
B
C
D
E
M
N
O
图③
正多边形的性质
正多边形的对称性
正多边形的有关计算
添加辅助线的方法：连半径，作边心距
圆内接正 n 边形
圆外切正 n 边形
任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，且这两个圆是同心圆
正多边形都是轴对称图形
正多边形和圆的关系
偶数边的正多边形同时也是中心对称图形，中心就是对称中心
中心角、内角、外角、半径、边长、边心距的计算