24.4 弧长和扇形面积第1课时 弧长和扇形面积 课件(共28张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(共28张PPT)
24.4 弧长和扇形面积
第二十四章 圆
第1课时 弧长和扇形面积
图片欣赏
如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
情境引入
图片来源：新浪体育
与弧长相关的计算
问题1 半径为 R 的圆，周长是多少？
O
R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别占圆周长的多少
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
合作探究
O
R
180°
(1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(4) 圆心角是 n° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
________.
________.
________.
________.
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.
知识要点
弧长公式
算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为
．
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 L (单位：mm，精确到 1 mm).
解：弧 AB 的长为
因此所要求的展直长度 L = 2×700 + 500π ≈ 2971 (mm).
答：管道的展直长度约为 2971 mm.
700 mm
700 mm
R = 900 mm
(
100°
A
C
B
D
O
一滑轮起重机装置 (如图)，滑轮的半径 R = 10 cm，当重物上升 15.7 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转多少度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π 取 3.14)
·
O
A
解：设半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的度数为 n°，则
解得 n ≈ 90°.
因此，滑轮旋转的角度约为 90°.
练一练
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
概念学习
与扇形面积相关的计算
判断：下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
练一练
合作探究
问题1 半径为 r 的圆,面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？具体是多少呢
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形
的面积
=
半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积
①公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
知识要点
●
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
问题3 扇形的面积与哪些因素有关？
大小不变时，对应的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
类比学习
例2 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm）.
O
r
60°
解：∵ n = 60，r = 10 cm，
∴ 该扇形的面积为
该扇形的周长为
1. 已知扇形的半径为 2 cm，其弧长为 cm，则这个扇形的面积 S = .
2. 已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S = .
练一练
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2).
(1)
O .
B
A
讨论：(1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
(2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，并延长 OD 交圆 O 于 C. 则线段 DC 的长为水面高.
(3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
S阴影 = S扇形 OAB - S△OAB
O.
B
A
D
(2)
C
∵ OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝OC - DC＝0.3.
∴ OD＝DC.
又 AD⊥OC，
∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线.
∴ AC＝AO＝OC.
从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
O.
B
A
C
D
解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC.
在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m，
∴ AD = m.
∴ AB = 2AD = m.
∴ 截面上有水部分的面积为
S = S扇形AOB - SΔOAB
O.
B
A
C
D
左图： S弓形 = S扇形 - S三角形
右图：S弓形 = S扇形 + S三角形
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
知识要点
弓形的面积公式
2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
1. 已知弧所对的圆周角为 90°，半径是 4，则弧长为 .
B
4π
3. 如图，∠ACB 是⊙O 的圆周角，若⊙O 的半径为 10，∠ACB = 45°，则扇形 AOB 的面积为（　　）
A．5 π B．12.5 π
C．20 π D．25 π
D
4.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是 2 cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
5.（例题变式题） 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2）.
O
A
B
D
C
E
解：
6. 如图，一个边长为 10 cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶点 C 按顺时针方向旋转到 △A'B'C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所经过的路程.
解：由图可知，由于∠A'CB' = 60°，则等边三角形木板绕点 C 按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' = 120°，这说明顶点 A 经过的路程长等于弧 AA' 的长.
∵ 等边三角形 ABC 的边长为 10 cm，
∴ 弧 AA' 所在圆的半径为 10 cm.
∴ 所求路程为 l弧AA'
A
B
A'
B'
C
弧长
计算公式：
扇形
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
割补法