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25.1 随机事件与概率
第二十五章 概率初步
25.1.2 概 率
视频中的游戏公平吗？为什么？
视频引入
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如图，转动指针，当指针停止时，指向的数字为 a.
思考：在同样条件下，随机事件发生的可能性有多大？能否用数值进行刻画呢？
问题：上述小游戏中，当指针停止后，指针指向的数字为 a，下列事件中，发生的可能性最大的是______；发生的可能性最小的是______.
① a＜8；② a 为奇数；③ a 能被 3 整除.
①
③
概率的定义及实际意义
活动1 从分别有数字 1，2，3，4，5 的五个纸团中随机抽取一个，这个纸团里的数字有 5 种可能，即 1，2，3，4，5. 如何用数值来表示每一个数字被抽到的可能性大小？
因为纸团看上去完全一样，又是随机抽取，所以每个数字被抽取的可能性大小相等，所以我们可以用 表示每一个数字被抽到的可能性大小.
合作探究
活动2 掷一枚骰子，向上一面的点数有 6 种可能，即1，2，3，4，5，6. 如何用数值来表示每一种点数出现的可能性大小？
因为骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所以每种点数出现的可能性大小相等. 我们用 表示每一种点数出现的可能性大小.
一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P (A).
概率的定义
例如：活动1 中“抽到 1”事件的概率：P (抽到 1) =
想一想： 活动1“抽到奇数”事件的概率是多少呢？
P(抽到奇数) =
例1 气象台预报“某市明天降水概率是 90%”．对此信息，下列说法正确的是 （ ）
A. 该市明天将有 90% 的地区降水
B. 该市明天将有 90% 的时间降水
C. 该市明天肯定下雨
D. 该市明天降水的可能性比较大
典例精析
方法总结：概率从数量上刻画了一个随机事件发生可能性的大小，概率大并不能说明事件一定发生，概率小并不能说明事件不会发生.
D
简单概率的计算（概率公式）
互动探究
试验1：抛掷一个质地均匀的骰子.
(1) 它落地时向上的点数有几种可能的结果？
(2) 各点数出现的可能性会相等吗？
(3) 试猜想：各点数出现的概率分别是多少？
6 种
相等
试验2：掷一枚硬币，落地后：
(1) 会出现几种可能的结果？
(2) 正面朝上与反面朝上的可能性会相等吗？
(3) 试猜想：正面朝上的可能性有多大呢？
开始
正面朝上
反面朝上
两种
相等
(1) 每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
(2) 每一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
具有的特点：
上述试验都具有什么样的特点？
具有上述特点的试验，我们可以用事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比，来表示事件发生的概率.
那么我们就称这个试验的结果是等可能的.
一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为：
归纳总结
特别地，
当 A 为必然事件时，P(A) = 1；
当 A 为不可能事件时，P(A) = 0.
0
1
事件发生的可能性越来越大
事件发生的可能性越来越小
不可能事件
必然事件
概率的值
事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0.
例2 任意掷一枚质地均匀骰子，观察向上一面的点数.
（1）掷出的点数大于 4 的概率是多少？
（2）掷出的点数是偶数的概率是多少？
解：任意掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果有 6 种：掷出的点数分别是 1，2，3，4，5，6，因为骰子是质地均匀的，所以每种结果出现的可能性相等.
典例精析
（2）掷出的点数是偶数的结果有 3 种：掷出的点
数分别是 2，4，6.
所以 P (掷出的点数是偶数) =
方法总结：概率的求法关键是找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目．二者的比值就是其发生的概率．
（1）掷出的点数大于 4 的结果只有 2 种：掷出的点数分别是 5，6.
所以 P (掷出的点数大于 4) =
练一练 袋中装有 3 个球，2 红 1 白，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中摸出 1 个球，摸到红球的概率是多少
解：摸出的球共有三种等可能的结果：红 1、
红 2、白，
3 个结果中有 2 个结果使事件 A（摸到红球）发生，
故摸到红球这个事件的概率为 ，即
简单概率的计算（几何概率）
例3 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种颜色.指针位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形).求下列事件的概率：
(1) 指针指向红色；
(2) 指针指向红色或黄色；
(3) 指针不指向红色.
解：一共有 7 种等可能的结果.
(1) 指向红色有 3 种结果，
P(指向红色) =_____；
(2) 指向红色或黄色一共有 5 种
等可能的结果，P(指向红或黄) =_____；
(3) 不指向红色有 4 种等可能的结果，
P(不指向红色) = ______.
在与图形有关的概率问题中，概率的大小往往与面积有关，若一个试验所有可能发生的区域面积为 S，所求事件 A 发生的区域面积为 S'，则
归纳总结
例4 如图,是计算机中“扫雷”游戏的画面. 在一个有 9×9 的方格的正方形雷区中,随机埋藏着 10 颗地雷,每个方格内最多只能藏1颗地雷. 小王在游戏开始时随机地点击一个方格,点击后出现如图所示的情况. 我们把与标号 3 的方格相邻的方格记为 A 区域(画线部分),A区域外的部分记为 B 区域. 数字 3 表示在 A 区域有 3 颗地雷. 下一步应该点击 A 区域还是 B 区域？
A
B
分析 下一步应该怎样走取决于点击哪部分遇到地雷的概率小，只要分别计算点击两区域内的任一方格遇到地雷的概率，再进行比较就可以了.
解：A 区域的方格总共有 8 个，标号 3 表示在这8 个方格中有 3 个方格各藏有 1 颗地雷. 因此，点击 A 区域的任一方格，遇到地雷的概率是 ；
B 区域方格数为 9×9－9 = 72. 其中有地雷的方格数为 10－3 = 7. 因此，点击 B 区域的任一方格，遇到地雷的概率是 .
由于 ＞ ，即点击 A 区域遇到地雷的可能性大于点击 B 区域遇到地雷的可能性，因此第二步应该点击 B 区域.
1. 下列说法：① 必然事件的概率为 1；② 可能性是 1% 的事件在一次试验中一定不会发生；③ 任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，正面向上的一定是 5 次；④ 如果某种游戏活动的中奖率为 40%，那么参加这种活动 10 次必有 4 次中奖；⑤“概率为 0.0001 的事件”是不可能事件；⑥ 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 0.5. 其中正确的有_____个．
1
2. 从一副扑克牌（除去大、小王）中任抽一张，则
P（抽到红心）= ；
P（抽到黑桃）= ；
P（抽到红心 3）= ；
P（抽到 5 ）= .
3. 一只小狗自由自在地在如图所示的某个正方形场地跑动，然后随意停在图中阴影部分的概率
是 ．
解析：图上共有 16 个方格，阴影方格为 7 个，故小狗最终停在阴影部分的概率是 .
4. 一个桶里有 60 个弹珠——一些是红色的，一些是
蓝色的，一些是白色的. 拿出红色弹珠的概率是
35%，拿出蓝色弹珠的概率是 25%. 桶里每种颜色
的弹珠各有多少？
解：拿出白色弹珠的概率是 1 - 35% - 25% = 40%，
蓝色弹珠有 60×25% = 15 (个)，
红色弹珠有 60×35% = 21 (个)，
白色弹珠有 60×40% = 24 (个)．
5. 有 7 张纸签，分别标有数字 1，1，2，2，3，4，5，从中随机地抽出一张.求：
(1) 抽出标有数字 3 的纸签的概率；
(2) 抽出标有数字 1 的纸签的概率；
(3) 抽出标有数字为奇数的纸签的概率.
解：(1) P(数字 3) =
(2) P(数字 1) =
(3) P(数字为奇数) =
6.（1）如图是一条线段，AB 的长为 10 cm，MN 的长为 2 cm，假设可以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段 MN 上的概率；
解：由于 AB 的长为 10 cm，MN 的长为 2 cm，
故随意在这条线段上取一个点，
那么这个点取在线段 MN 上的概率为 .
A
B
M
N
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为 20 cm，小圆的直径为 10 cm，一只小鸟自由自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内(阴影部分)的概率.
解：因为大圆的面积为
小圆的面积为
所以小鸟停在小圆内 (阴影部分) 的概率是
概率
定义
简单概率的计算
概率公式
几何概率
事件 A 包含其中的 m 种结果
一次试验有 n 种等可能的结果
所求事件A发生的区域面积为 S'
一次试验所有可能发生的区域面积为 S
