21.2.1配方法培优训练（含解析）人教版2025—2026年九年级上册

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21.2.1配方法培优训练人教版2025—2026年九年级上册
一、选择题
1．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程的根为b，则的值为（ ）
A．5 B． C．4或 D．5或
3．已知一元二次方程可配成，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
4．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
5．式子中、满足条件，取时，式子取得最小值．且，则满足条件的所有整数的积为（ ）
A．0 B．36 C． D．4
二、填空题
6．若关于的一元二次方程可配成的形式， ．
7．二次三项式的最小值等于 ．
8．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ．
9．已知方程，则 ．
10．若多项式．那么的最小值是 ．
三、解答题
11．用配方法解方程：
(1)．
(2)；
12．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
因为，所以当时，的最小值是
所以
所以当时，的值最小，最小值是
所以的最小值是
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当______时，有最小值是______；
(2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值；
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长．
13．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________；
(2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
(3)已知实数x、y满足，求的最值．
14．阅读材料：
利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：求代数式的最小值．
原式
，
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数．
15．【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)利用作差法比较与1的大小；
(2)比较 与大小；
(3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小．
16．【阅读材料】分解因式：．
解：原式
．
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点．
(1)用“配方法”分解因式．
(2)用“配方法”求代数式的最小值．
(3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长；
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题考查解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，并能灵活运用是解决此题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：，
移项：将常数项移到方程右边，得到，
配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：，
化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：，
因此，配方后的方程为选项B．
故选：B．
2．D
【分析】将代入方程中，得，再求解关于的方程即可．
本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：将代入方程中，
得，
∴，
∴，
解得或．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴，，
解得，
∴．
故选：D．
4．B
【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可．
本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故，
又与是“同族二次方程”．
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，取得最小值，且为2020，
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了配方法的应用及不等式的性质，正确的配方是本题解题的关键，将已知的式子展开后配方，从而求得的表达式，然后用a表示出b，代入的表达式，再根据的取值求解的取值范围，从而得到a的整数解，即可解答．
【详解】解：
；
∵取时，式子取得最小值，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴满足条件的整数为，
∴满足条件的所有整数的积为．
故选：D．
二、填空题
6．25
【分析】本题主要考查了配方法的应用．先利用配方法得到，再确定、的值，然后计算的值．
【详解】解：，
整理得，
配方得，即，
所以，，
所以．
故答案为：25．
7．3
【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法将二次三项式化为，即可求解．
【详解】解：
，
，
的最小值为0，
的最小值为3，即二次三项式的最小值为3，
故答案为：3．
8．18
【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案．
【详解】解：，
，
解得，
三角形的两边长分别为4和6，
第三边的长，
即第三边的长，
第三边的长是一元二次方程的一个根，
第三边为8，
则三角形的周长为，
故答案为：18．
9．4
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握整体的思想是解题的关键．把看做一个整体，利用直接开平方的方法解方程得到或，再根据偶次方的非负性得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
10．
【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把原式转化为，进而根据完全平方式是非负数即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键．
【详解】解：
，
当且时，的最小值，最小值为，
故答案为：．
三、解答题
11．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
∴，．
（2）解：，
，
配方得，
∴
∴
∴，
∴，．
12．(1)，
(2)大，最值为
(3)
【分析】（）根据题例解答方法解答即可；
（）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解；
（）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可；
本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵对于任意实数都有，
∴当时，的最小值是，
∴，
当时，有最小值是，
故答案为：；；
（2）解：
，
∵对于任意实数都有，
，
，
当时，多项式有最大值，最大值为，
故答案为：大；
（3）解：，
，
，
∴，，
，，
，
的周长．
13．(1)
(2)，理由见解析
(3)最大值为
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）把拆成两个整数的平方即可；
（2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（3）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）由题意得：；
（2）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为．
14．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键．
（1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案；
（2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
，
的最小值是3；
（2）解：
，
，，
，
无论取任何实数时，多项式的值总为正数．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）计算，结合，比较大小鄂大即可；
（2）作差，，分类计算解答即可；
（3）根据，，
两式相减，得，整理得，，比较解答即可．
本题考查了实数的作差法比较大小，实数的非负性，熟练掌握作差法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴当时即时，，
此时；
当时即时，，
此时；
当时即时，，
此时．
（3）解：∵，，
两式相减，得，
整理得，，
∵
∴，
∴，
∴．
16．(1)
(2)4
(3)等腰三角形的底边长为1
【分析】（1）根据“配方法”，将变形为，后用完全平方公式，平方差公式分解因式即可．
（2）用“配方法”构造完全平方式，利用非负性求代数式的最小值即可．
（3）先将转化为，求得a、b，后分类求等腰三角形的底边长．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
的最小值是4．
（3）∵，
∴，
∴，，
∴，，
①当三边为2，2，1时，能构成三角形，
∴底边长为1；
②当三边为2，1，1时，不能构成三角形，
综上可知：等腰三角形的底边长为1．
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