21.1一元二次方程培优训练（含解析）人教版2025—2026年九年级上册

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21.1一元二次方程培优训练人教版2025—2026年九年级上册
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ）
A．0 B．2 C． D．或2
2．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（ ）
A．1， B．1， C．2， D．3，0
4．已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ）
A． B． C．2 D．1
5．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．0
二、填空题
6．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
7．关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是 ．
8．若关于x的方程的一个根是2，则m的值为 ．
9．若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ．
10．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
三、解答题
11．已知m是方程的根，求代数式的值．
12．已知关于的方程
(1)为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
13．已知关于x的方程．
(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数．
(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．
14．已知是关于的方程的一个根，
(1)求的值；
(2)求．
15．已知m是方程的一个根．
(1)的值为______．
(2)求的值．
16．请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值．
晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值．
(2)已知，求代数式的值；
(3)已知，求代数式的值．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果．
根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果．
【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0．
一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即．
解这个方程：，即
∴
又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得．
因此，．
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解．
【详解】解：∵当方程可化为．
∴方程必有一根为．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程的两根互为相反数，据此可得，求得m的值，继而可得答案．
【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数，
，
解得，
，
故选：C．
4．A
【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数．
本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键．
【详解】解：
，
∴一次项系数为 ，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
6．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义得，解之即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
7．或
【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论．
【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程，
∵关于x的方程的解是，
∴关于的方程的解是或，
∴或．
故答案为：或．
8．
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
将代入，解方程即可．
【详解】解：∵关于x的方程的一个根是2，
∴，
解得：，
故答案为：．
9．4
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由题意可得，，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为，
∴，，
解得，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
11．1
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解．根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：是方程的根，
，
，
．
12．(1)
(2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为
【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
（1）利用一元一次方程的定义判断即可；
（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．
【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
由题意得：，
．
当时此方程是一元一次方程；
（2）由题意得：，
．
当时，此方程是一元二次方程．
此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m.
13．(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为
(2)2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义．
（1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题；
（2）根据一元一次方程的定义求解即可．
【详解】（1）解：
移项、合并同类项，得，
∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为；
（2）解：若方程是一元一次方程，则，，
解得．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）代入到方程得到关于的方程，即可求解；
（2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可．
【详解】（1）解：代入到方程得，，
解得：；
（2）解：
，
代入，原式．
15．(1)
(2)．
【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键：
（1）把m代入方程，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值；
（2）把m代入方程，得到，两边同时除以即可得出结果．
【详解】（1）解：把m代入方程，得：，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）是方程的一个根，
，且．
将等式两边同时除以m，得
．
16．(1)
(2)8
(3)2028
【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键．
（1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果；
（2）先表示出，再展开，即可得到结果；
（3）先表示出，再展开，带入求值即可．
【详解】（1）解：，
，
，即．
；
（2）解：，
，
，即，
．
（3）解：，
，
，即，
．
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