21.2.2公式法培优训练（含解析）人教版2025—2026年九年级上册

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21.2.2公式法培优训练人教版2025—2026年九年级上册
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
2．若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式总有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
7．已知关于x的方程有一个根，那么a的值为 ．
8．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
9．一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ．
10．若整数使得关于的一元一次不等式组有解，也使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的值的和是 ．
三、解答题
11．已知关于x的方程．
(1)若该方程的一个根为，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根．
12．解方程：
(1)；
(2)．
13．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
(2)此方程的两个实数根为、，且，求k的值．
14．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
15．已知方程的判别式的值为．
(1)求的值并求出方程的根．
(2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积．
16．已知一元二次方程．
(1)若方程的一个根为2，求的值．
(2)当时，求证：方程有两个实数根．
17．若a是关于x的一元二次方程的一个根
(1)求m的取值范围；
(2)若是关于x的一元二次方程的一个根；
①请用含a、b的式子表示n；
②若，且，求b的值．
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次不等式等知识点，解题的关键是掌握根的判式．
利用根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
又，
∴，
∴且，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．
根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根计算即可．
【详解】解：原方程移项得，
其中，，，
∴，
∵关于x的一元二次方程：没有实数根，
∴，即，
解得，
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与解的关系成为解题的关键．
分式有意义的条件是分母不为零．即分母恒不为零，则对应的二次方程无实根，再运用根的判别式列不等式求得m的取值范围即可．
【详解】解：∵分式总有意义，
∴分母为二次函数恒不为零，，
∴方程无实数根，
∴，解得．
故选A．
4．D
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况．计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解．
【详解】解：，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
6．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程，当方程有两个不相等实数根，则，列出不等式，即可求解．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根
解得且
故答案为：且
7．2或
【分析】本题主要考查了解分式方程，一元二次方程根的情况．原分式方程可转化为一元二次方程，若只有一个根，则，用含a的代数式表示，即可求出a．
【详解】解：方程两边都乘x得，，即，
∵方程有一个根，
∴①若方程有增根，则，此时，
②若整式方程有相等的根，则，即，解得．
故答案为：或．
8．
【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式的意义得到，所以，然后利用降次的方法和整体代入的方法进行计算．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得，
∴，，即，
∴
，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键．由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理即可得到直角三角形斜边的长．
【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得或，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握不等式组解法及一元二次方程根的判别式确定的取值范围．根据不等式组有解求出的取值范围，再根据关于的一元二次方程有实数根，得，且，求解即可得的取值范围，取满足条件的整数相加即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的一元一次不等式组有解，
，
解得：，
关于的一元二次方程有实数根，
，且，
解得：，且，
，且，
所有满足条件的整数为，，，，，
所有满足条件的整数的值的和是，
故答案为：．
三、解答题
11．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
（1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）解：将代入原方程可得：
，
解得：；
（2）解：∵一元二次方程中，，，，
∴，
∴不论m取何实数，该方程总有实数根．
12．(1)或
(2)或
【分析】（1）先将方程整理成一般形式，然后通过因式分解把方程转化为两个一次因式乘积为的形式，再根据“若，则或”求解．
（2）通过因式分解把方程转化为两个一次因式乘积为的形式，再根据“若，则或”求解．
本题主要考查了一元二次方程的因式分解法求解，熟练掌握因式分解的方法以及“若两个因式乘积为，则至少其中一个因式为”的原理是解题的关键．
【详解】（1）解：
∴ 或
（2）解：
∴ 或
13．(1)见解析
(2)的值为1或
【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程．
（1）分与两种情况进行分类讨论；
（2）先用表示出的值，再根据列方程求解即可得出的值．
【详解】（1）证明：当时，方程为，方程有实数根．
当时，方程为一元二次方程，，
∴一元二次方程有实数根，
∴无论为任何实数，方程总有实数根．
（2）解：∵方程的两个实数根为、，
∴，，
∴解方程得：，
解得：或．
∵此方程的两个实数根为、，且，
∴，
∴或，
∴或，
经检验均符合．
∴的值为1或．
14．(1)且
(2)10
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质；
（1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围；
（2）利用等腰三角形的性质，可得出，进而可得出，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出，的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论．
【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得：且，
∴m的取值范围为且；
（2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长，
∴，
∴，
解得：，
∴原方程为，
∴，
∵3，3，4可以组成三角形，
∴这个三角形的周长为．
15．(1)当时，方程的解为，，
当时，方程的解为，
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，三角形三边关系，勾股定理等知识，掌握一元二次方程相关知识是解题的关键．
（1）由方程的判别式的值为可列方程，可得的值，再由的值解出方程；
（2）由等腰三角形的腰是正数和三角形三边关系，确定腰长，根据勾股定理求得底边上的高，进而求得面积．
【详解】（1）解：方程的判别式的值为，
，
解得：，
当时，方程的解为，，
当时，方程的解为，；
（2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，
当时，方程的解为，，不符合题意，
等腰三角形的腰长是方程的解为，，
当腰为时，，不能构成三角形，
等腰三角形的腰长是，
设底边上的高为，由勾股定理得：
，
等腰三角形的面积为．
16．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
（1）把代入方程可得，然后代入求解即可；
（2）首先由得到，然后由判别式即可证明．
【详解】（1）把代入，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
17．(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，因式分解的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）由题意易得，然后求解即可；
（2）①先根据a是关于x的一元二次方程的一个根得出，再根据是关于x的一元二次方程的一个根，得出，然后把代入求出结果即可；
②根据，，得出，因式分解得出，根据，得出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可知：关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：；
（2）解：①∵a是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
解得：，
∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
把代入得：
，
∴
解得：；
②∵，，
∴，
整理得：，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
解得：．
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