21.2.4一元二次方程的根与系数的关系培优训练（含解析）人教版2025—2026年九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系培优训练人教版2025—2026年九年级上册
一、选择题
1．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（　　）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．2
3．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
4．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（ ）
A． B．7 C．或7 D．或7
6．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
8．设是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（ ）
A．2025 B．2023 C． D．
二、填空题
9．已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
10．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ．
11．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ．
12．已知，且有，则的值等于 ．
13．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ．
三、解答题
14．已知一元二次方程．
(1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根．
(2)当时，请判别方程根的情况．
15．已知关于的一元二次方程的两个根是和．
(1)当时，求的值；
(2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值．
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值．
18．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ；
(3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ；
(4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ．
19．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
(2)已知方程是“邻根方程”，求m的值．
(3)若方程是“邻根方程”，求证：．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,如果一元二次方程的两根为，，则+．由题意得，，而，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，而，
∴，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据根与系数的关系得到，，即可求出的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是，
∴，，
∴，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键．
根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解．
利用方程根的定义及根与系数的关系，通过降次化简表达式即可得出答案．
【详解】∵是方程的根，
，
，
，
又∵、是方程的两个实根，
，
．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．
由根与系数的关系可用表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于的方程，即可求得的值．由方程根的情况，根据判别式可求得符合要求的；
【详解】解：∵方程的两个实数根分别为和，
，
，
，
或，
∵关于的一元二次方程有两个实数根，
，
当时，，不符合要求，
，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，
∴或，
当时，则，
当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，
∴，，，
解得：，
∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上：，
故选：C
7．A
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．由题意可求出，，即说明m和n可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，．
∵为互不相等的实数，
∴m和n可以看作方程的两个根，
∴，
∴．
故选A．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的性质（方程的根满足方程）以及代数式的降次与变形，解题的关键是利用方程根的定义将高次幂的项转化为低次幂的项，再结合已知条件进行计算．
由是方程的根，可得，进而推出高次幂的降次公式；利用该公式将转化为含的式子，代入已知值计算．
【详解】∵是方程的两个实根，
．
由此可得，对于任意有：
，
同理，．
．
∵已知
∴代入上式得：
．
故选：D．
二、填空题
9．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两个实数根为，，则，是解本题的关键．直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
则，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了整体代换求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系；掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
由一元二次方程的解及一元二次方程根与系数的关系得，，，可得，代入求解即可．
【详解】解：a，b是方程两个不相等的实数根，
，，，
，
，
故答案为：．
11．1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
，
∴，
∴，
故答案为：1．
12．/
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答．
【详解】解：当时，不成立，故，
两边同除以后，可得，
∵，即，
可以看作是的两根，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出，，从而得出，由此规律计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
三、解答题
14．(1)，方程的另一个根为
(2)方程有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键．
（）把，代入方程可求出的值，利用根和系数的关系可求出方程的另一个根；
（）求出的值即可判断求解；
【详解】（1）解：把，代入方程，得，
解得，
设方程的另一个根为，
由根和系数的关系得，，
∴，
即方程的另一个根为；
（2）解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可；
（2）由，可得出无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，原方程为，
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，
∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
∵，
∴．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；能熟练利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系进行求解是解题的关键．
（1）由根的判别式得，即可求解；
（2）由根与系数的关系得，，代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程两实数根分别为，，
∴，
，
∵，
∴，
，
解得：（舍去）或，
∵，
∴．
17．(1)此方程总有两个实数根，见解析
(2)0
(3)0
【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．
（1）由根的判别式即可知；
（2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案；
（3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得．
【详解】（1）解：此方程总有两个实数根．
理由：，
不论为何值，，
此方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个根为，
则，．
此方程的两个实数根都是整数，
的值为，
符合条件的整数的值的和为0．
（3）解：是方程的两个实数根，
，，
，，
以上两式相加，可得，
即．
18．(1)，
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可；
（4）根据方程有两个不相等的实数根得到，求出，然后利用根与系数的关系得到，，然后代入求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
（4）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得
∵关于的一元二次方程
∴，
∵
∴
∴
解得
综上所述，．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形计算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
19．(1)③
(2)或
(3)见解析
【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可；
（2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可；
（3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可．
【详解】（1）解：，解得：，
∴，故①不是“邻根方程”；
，解得：；
∴，故②不是“邻根方程”；
，解得：，
∴；故③是“邻根方程”；
故答案为：③
（2）解：方程的两根为，
方程是“邻根方程”，
，即，
或；
（3）证明：设，是方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
方程是“邻根方程”，
，，
，
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)