22.1.2 二次函数y=ax?的图象和性质 教案（表格式） 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
22.1.2 二次函数 y = ax2 的图象和性质
教学内容 22.1.2 二次函数 y = ax2 的图象和性质 课时 1
核心素养目标 1.会用描点法画出形如y= ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2.通过观察二次函数y= ax2的图象特征和性质，发展运算能力和合情推理能力，能够探究实际生活中蕴含的数学规律； 3.在类比探究二次函数y= ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想
知识目标 1．会用描点法画出y＝ax2的图象，理解抛物线的概念． 2．掌握形如y＝ax2的二次函数图象和性质，并会应用．
教学重点 会用描点法画出y＝ax2的图象，理解抛物线的概念.
教学难点 掌握形如y＝ax2的二次函数图象和性质，并会应用
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？ 预设：图象和性质 追问1：你是怎么想到的？ 预设：类比一次函数 追问2：怎样研究二次函数的图象和性质？ 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 二、小组合作，探究概念和性质 知识点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 问题1：二次函数 y = ax + bx + c 定义中系数 a≠0，b、c 呢？ 预设：都可以为 0 . 问题2：怎么研究 y = ax (a≠0) 的图象和性质？ 合作探究 操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征. 探究1：从函数解析式研究图象和性质. (1) 自变量 x 的取值范围是什么？ (2) 函数值 y 的取值范围是什么？ (3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？ 可以猜测图象的对称性吗？ 预设： (1) 全体实数 (2) y≥0 (3) 相等. 如： x =±2 时， y = 4. 猜想：关于 y 轴对称. 如： (2，4) 与 (-2，4) 等. 探究2：用“描点法”法作图 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数. 列表表示几组对应值： 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y). 3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．(能用直线连接吗？) 提问：同学们展示下自己的结果，并交流下做法？ 师生活动：学生在坐标纸上画出图象，教师巡视，及时发现问题，并予以纠正、指导. 思考：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？ (可以从以下几个方面考虑) 你能描述图象的形状吗？ 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. 预设： 图象是轴对称图形 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴. 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？ 师生活动：播放几何画板动图 观察图象可以发现： 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. (4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？ 你是如何知道的？ 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为 (0，0). 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 师生活动：类比研究二次函数y=x2的方法，尝试从图象的开口方向、顶点、对称轴、增减性等分别描述两个函数的共同特征. 解：列表如下： 描点、连线，如图所示： 想一想 思考：(1) 函数 y = 2x2 的图象与函数 y = x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 师生活动：播放几何画板视频，观看其中的区别： 预设： 共同点：是开口向上，对称轴是 y 轴， 顶点是原点，也是抛物线的最低点； 不同点：是开口大小不同. 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？ 当 a＞0 时，a 越大，开口越小. 归纳总结 链接中考 1. (广州)已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 A(-2，y1)，B(1，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是 ( ) A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0 师生活动：学生独立思考并作答. 知识点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 合作探究 小组讨论，如何归纳总结出下表？ 师生活动：类比a> 0时的研究过程，学生经历画图、观察、归纳的过程, 完成当a<0时二次函数的图象性质探究，教师注意学生画图是否规范，观察角度是否准确，适时提醒. 想一想 (1) 在同一直角坐标系中，画出函数 观察图象，思考这些抛物线有什么相同点和不同点？ 共同点是开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点； 不同点是开口大小不同. (2) 当 a＜0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？ 当 a＜0 时，a 越小，抛物线的开口越小. 问题：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？ 观察图象可以发现： 观察图象可以发现： 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小. 顶点是抛物线的最高点，为 (0，0). 归纳总结 想一想 观察下列图象，抛物线 y = ax2 与 y = ax2 (a＞0) 的关系是什么？ 预设：二次项系数互为相反数时， 开口方向相反，开口大小相同，它们关于 x 轴对称. 例2 已知二次函数 y＝ax2. (1) 若 a = 2，点( 2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)； (2) 若 a＞0，点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)； (3) 若 a＜0，点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________. 分析：(1)将 x = -2，3 分别代入 y = 2x2，得出 y1，y2 的值，再比较大小. (2)根据 a＞0，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大得出结论. (3)画出草图，在图象上标出 y1，y2，y3，直观得出结论. 预设： (1) ＜ (2) ＜ (3) y1＞y2＞y3 三、当堂练习，巩固所学 如右图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 . 2. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点. 3. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0) 过点 ( 1，2)，则 (1) a 的值是 ； (2) 对称轴是 ，开口 ； (3) 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点，抛物线在 x 轴的 方（除顶点外）； (4) 若 A(x1 , y1)，B(x2 , y2) 在这条抛物线上，且 x1< x2<0， 则 y1 y2. 设计意图：通过此问题进行研究框架的搭建，虽然二次函数与一次函数研究 对象有差异，复杂程度有差异，但研究的思想方法都是从特殊到一般。复习回顾一次函数的研究内容和研究方法，帮助学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主类比研究二次函数的图象和性质进行铺垫. 设计意图：通过问题进行研究二次函数框架的搭建，体会二次函数研究的思想方法是从特殊到一般。 设计意图：先从函数解析式研究图象和性质，从而预估函数的图象性质，加深学生对解析式与图象之间联系的理解. 设计意图：教师引导学生用描点法画出二次函数的图象，经历从“数”到“形”的过程，尝试类比一次函数来探究特殊的二次函数y= x2的图象和性质，并以它为观察对象，了解抛物线的相关概念，体会数形结合和类比探究的数学思想. 设计意图：类比研究 y = x2 图形性质的方法研究的图形性质，让学生初步体会二次函数系数与函数性质的关系. 设计意图：用几何画板进行动态演示，所画抛物线准确，对比明显，结论易得，使学生感受深刻. 设计意图：让学生画完整的二次函数图象，然后用自己的语言进行描述图象 的性质，初步体验二次函数y=ax2的系数a对图象的影响. 设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系， 让学生理解知识点. 设计意图：巩固所学知识，加深对二次函数性质的理解. 设计意图：引导学生类比 研究a＞0 时二次函数的方法，归纳当a< 0时二次函数y= ax2的图象特征和性质. 设计意图：让学生画完整的二次函数图象，然后用自己的语言进行描述图象 的性质，体验二次函数y=ax2的系数a对图象的影响. 设计意图：体会这两个图象是关于中心对称. 设计意图：巩固所学知识，加深对二次函数增减性的理解. 设计意图：考查学生对二次函数图象的性质的掌握. 设计意图：考查学生求解二次函数的解析式和画图的能力.
板书设计 二次函数 y = ax2 的图象和性质
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 首先复习一次函数的图象与性质，熟悉从解析式法到图象法的初步转换，从图象的形状位置以及kb变化对图象的影响，逐步推广到二次函数的研究过程中，基本思路是先猜测然后再验证。类比画一次函数的图象的过程，我引导学生经历列表描点连线三个步骤，而后学生根据既定图象自主探究确定开口方向、对称轴、增减性等特点。通过对比两个bc为零，a同为正但不同的两个二二次函数，进一步探究系数a与开口大小的关系，及时总结特殊二次函数的图象与性质并形成表格，方便学生对比学习。为 了巩固学生对特殊二次函数图象与性质的理解，我设置跟踪练习，题目涉及面广，类型要尽量全面。遗憾的是，学生对在分布在对称轴两侧的点不能根据横坐标比较纵坐标的大小，主要原因是不能使用轴对称的性质。