22.1.4 第1课时 二次函数y=ax? bx c的图象和性质 教案（表格式）2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
22.1.4 二次函数 y = ax2 + bx + c 的
图象和性质
第 1 课时 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
教学内容 第 1 课时 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 课时 1
核心素养目标 1.能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式． 2.使学生掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3.向学生渗透事物总是不断运动变化和发展的观点，进一步培养学生数形结合的思想、动手操作能力和逻辑思维能力．
知识目标 1．掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标； 2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题．
教学重点 掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标
教学难点 掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 完成下列填空： 师生活动： 引导学生完成上表，对如何求二次函数一般式的顶点坐标、对称轴、最值提出疑问，从而引出本节要研究的课题． 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：将 y = ax2 + bx + c 化成 y = a(x h)2 + k 猜想：通过组合平移 y = ax (a≠0) 的图像能否得到y = ax + bx + c (a≠0) 的图像？ 回顾本章第一节问题 2，得到两年后的产量： y = 20(1 + x)2 = 20x2 + 40x + 20. 合作探究 填一填 (1) x2 12x + 36 = (x____)2； (2) x2 12x = (x____)2 ____. 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 提示：配方后的解析式通常称为顶点式. 我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x - h)2 + k？ 归纳总结 二次函数 y = ax2 + bx + c 的顶点式 练一练 1. 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式 y = a(x - h)2 + k 的形式，并指出其顶点坐标． (1) y = x2 - 2x + 1； (2) y = 2x2 - 4x + 6． 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 解：(1) y = x2 2x + 1 = (x 1)2， 顶点坐标为 (1，0). y = 2x2 4x + 6 = 2(x 1)2 + 4， 顶点坐标为 (1，4). 知识点2：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 我们已经知道二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来研究 的图象和性质？ 师生活动： (1)要求学生独立完成，教师巡视，对于有困难的学生及时指导；　 (2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评；　 (3)让学生分组总结配方的方法； (4)让学生思考配方后的函数对称轴和顶点坐标，并且思考它由 y = x 怎样平移得到的 (5)画出函数图象，思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？ 多媒体展示做的正确的学生的成果，然后找学生说明研究的思路． 探究1：从函数解析式研究图象和性质. (1) 你能说出 的开口方向，对称轴及顶点坐标吗？ (2) 抛物线 可以看作是由 怎样 平移得到的？ 预设： (1) 开口向上，对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3). (2) 平移方法1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到； 平移方法2：先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到. 探究2：用“描点法”法作图研究图象性质 解：先利用图形的对称性列表； 然后描点画图，得到图象 如右图. 问题 结合二次函数 的图象，说出其增减性. 当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. 归纳总结 知识点3：二次函数的图象与系数的关系 想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 一般研究哪几种性质？ 师提问：c 决定什么？ 合作探究 问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： 师生活动：小组讨论，每组找出一位同学展示自己所总结的结果． 链接中考 (浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1，下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c； ③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b； ④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0 的两根为x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5. 其中正确的结论的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　 C．3　　　D．4 师生活动：小组讨论，每组找出一位同学展示自己所总结的结果．对于有问题的，师生共同分析. 归纳总结 二次函数图象与 a、b、c 的关系 三、当堂练习，巩固所学 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中 x、y 的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ) 2. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)的图象如图所示，则下列结论： (1) a、b 同号； (2) 当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相等； (3) 4a + b = 0； (4) 当 y = -2 时，x 的值只能取 0. 其中正确的是 . 3. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13. (1) 当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ (2) 当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3) 将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 设计意图：回顾内容1，通过对这几个函数图象和性质的回顾，为后面学习y＝ax2＋bx＋c的性质作铺垫. 设计意图：通过复习完全平方公式，为后面用配方法推导y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标公式作知识准备． 设计意图： 从简单的二次函数入手，到一般式转化为顶点式，体现了从特殊到一般的研究思路，同时为学生提供了另一种解决问题的方法，公式法. 设计意图：加强学生对一般式转化为顶点式方法的运用. 设计意图：通过探究字母 a，b，c 对二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质所起的作用，加深对抛物线的认识. 结合图象的直观性，说出函数的性质体现数形结合的思想. 设计意图：通过中考题的探究加强学生对于图象和系数之间关系的理解. 设计意图：考查学生用配方法或公式法求顶点坐标及对称轴的掌握情况，通过练习加深对所学知识的理解.
板书设计 第1课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标的方法： （1）配方法： 一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝a(x－h)2＋k． （2）公式法： 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，有①图象的对称轴是直线x＝－； ②图象的顶点坐标是（－，）．
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 总结二次函数性质，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳，在教学过程中，注重为学生提供展示自己的机会，这样也利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.