必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷（常考题）（含解析和试卷分析）

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必修一第二章一元二次函数、方程和不等式
单元测试卷（常考题）
一、选择题(共8题；共40分)
1．若，则下列不等式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知 ，下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知 且 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设实数满足，则函数的最大值是（　　）
A． B． C． D．
5．若，且，则下列不等式恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
8．关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．对于实数 、 、 ，下列命题中正确的是（　　）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则 ，
10．已知，，，当且仅当时，则下列结论正确的是（　　）
A．取得最大值为 B．取得最小值为
C．取得最大值为 D．取得最小值为
11．已知关于的不等式解集为，则（　　）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
三、填空题(共3题；共15分)
12．设实数满足，函数的最小值为　 　.
13．比较大小： 　 　 （用“>”或“<”符号填空）．
14．关于 的一元二次方程 的两个实数根 、 满足 ，则实数 的取值范围是　 　.
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知．
（1）当，时，求的最小值；
（2）当，时，求的最小值．
16．已知p：实数x满足，．
（1）若，求实数x的取值范围；
（2）已知q：实数x满足．若存在实数a，使得p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
17．已知集合．集合，设集合．
（1）求I；
（2）当时，求函数的最小值．
18．已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围；
（2）若不等式 在区间 内恒成立，求实数 的取值范围.
19．设 ，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】由，得，即，A不符合题意；
则，则，即，B不符合题意；
则，，所以，C符合题意；
则，所以，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】由，可得，结合不等式的性质，判断选项即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，
D符合题意，ABC不符合题意.
故答案为：D.
【分析】要比较M和N的大小，只需作差，然后变形，判断符号即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】因为 ，由 可得 即
所以由 可得 ，充分性成立，
若 ， ，可得 ，即 ，所以必要性成立，
所以 且 ，则“ ”是“ ”的充要条件，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，可以证明充分性和必要性都成立。
4．【答案】D
【解析】【解答】因为，所以，
所以
当且仅当时，等号成立，
故答案为：D.
【分析】，利用基本不等式可求出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】由于，可知a与b同号，显然当，时，A，B中的不等式不成立，所以A，B不符合题意；
由，得，，所以，C不符合题意；
显然，，，，D符合题意.
故答案为：D
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各项即可判断.
6．【答案】D
【解析】【解答】由，得，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次不等式的解法结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】函数，则不等式等价于或者，
解得：，解得：或，于是得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：A
【分析】不等式等价于或者，求解可得不等式的解集.
8．【答案】B
【解析】【解答】由不等式 的解集为 可知方程 的根为
或 ，不等式的解集为 .
故答案为：B
【分析】先根据的解集为（-1，2），计算出a，b的值，然后把值代入所求的不等式中，计算出最后结果。
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】若 ，则由 得 ，A不符合题意；
若 ，则 ， 　 ，B符合题意；
若 ，则 ，∴ ，∴ ，C符合题意；
若 ，且 同号时，则有 ，因此由 得 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】由不等式的性质判断．
10．【答案】A,C
【解析】【解答】因为，，故，所以，当且仅当时，等号成立，
所以取得最大值为，A符合题意，显然B不符合题意；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以取得最大值为，C符合题意，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出结论正确的选项。
11．【答案】C,D
【解析】【解答】由已知可得，并且是方程的两根，
则由韦达定理可得：，解得，，所以A不符合题意；
B：不等式化简为，解得，所以不等式的解集为，所以B不符合题意；
C：，所以C符合题意，
D：化简为，解得，所以不等式的解集为，所以D符合题意，
故答案为：CD.
【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系及韦达定理，结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可求解.
12．【答案】
【解析】【解答】由题意，
所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用拼凑法结合基本不等式即可求解.
13．【答案】＞
【解析】【解答】解： ，
故 ，
故 ，
故答案为：＞
【分析】平方作差可得，进而可得其平方的大小，可得原式的大小。
14．【答案】 或 .
【解析】【解答】由题意知： ，
当 时，要使得关于 的一元二次方程 的两个实数根 、 满足 ，只需要 ，
解得： ，所以 ，
当 时，要使得关于 的一元二次方程 的两个实数根 、 满足 ，只需要 ，
解得： ，所以 ，
综上所述： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据一元二次方程和二次函数关系分别讨论k正负得到满足已知的条件从而求得k 的取值范围 。
15．【答案】（1）解：因为，，，则，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，故的最小值为.
（2）解：因为，，，则，，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，故的最小值为.
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式即可求出 的最小值；
（2）根据已知条件，结合基本不等式即可求出 的最小值．
16．【答案】（1）解：当时，原不等式可化为：，
解得：.
所以实数x的取值范围为.
（2）解：记集合，集合.
要使p是q的必要条件，只需，
所以，解得：.
即实数a的取值范围为.
【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解可得实数x的取值范围；
（2）记集合，集合，利用集合法列不等式组，求解可得实数a的取值范围．
17．【答案】（1）解：∵，，
∴或，
（2）解：当时，，
∴，
当且仅当，即取等号，
所以函数的最小值为7.
【解析】【分析】（1）化简集合，然后利用补集的定义及交集的定义运算即得；
（2）利用基本不等式即得.
18．【答案】（1）解：∵不等式 的解集为 ，
∴∴
（2）解：∵不等式 在 恒成立
∴∴∴
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解。
（2）由题列出关于端点的不等式方程组即可求解。
19．【答案】（1）证明：由
，
（当且仅当时 取等号）
故有
（2）解：
由 ，有
故当 时，
【解析】【分析】（1）利用基本不等式和不等式的可加性，以及完全平方式，即可得证.（2）利用完全平方式和不等式的可加性，以及基本不等式，即可证出.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (47.4%)
2 容易 (36.8%)
3 困难 (15.8%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 6.0(4.0%) 11
2 一元二次不等式及其解法 47.0(31.3%) 6,7,8,16,18
3 交、并、补集的混合运算 15.0(10.0%) 17
4 充要条件 5.0(3.3%) 3
5 利用不等式的性质比较数（式）的大小 15.0(10.0%) 1,2,13
6 集合关系中的参数取值问题 15.0(10.0%) 16
7 必要条件、充分条件与充要条件的判断 5.0(3.3%) 6
8 二次函数与一元二次不等式的对应关系 5.0(3.3%) 14
9 基本不等式 60.0(40.0%) 4,5,12,15,17,19
10 不等关系与不等式 33.0(22.0%) 3,7,9,19
11 基本不等式在最值问题中的应用 6.0(4.0%) 10
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