湖南省怀化市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（含答案）

湖南省怀化市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．或0
4．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（ ）
A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4
6．已知向量，满足，，且，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
8．已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．与向量同向的单位向量是
10．某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于至之间，将成绩数据按照分组，作出频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．
B．估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于分的有人
C．估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是
D．估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为
11．如图，两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（ ）

A．
B．的最小值是
C．三棱锥与三棱锥的体积相等
D．若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为 .
13．已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为 .
14．已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”.
（1）求事件的概率；
（2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由.
16．在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点，F为棱的动点，连接、、.
（1）证明：；
（2）线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；
（3）平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围.
17．设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，恒有，那么称在上是凹函数；如果恒有，那么称在上是凸函数.若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反.已知.
（1）已知，求过点A且与曲线相切的直线方程；
（2）判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明；
（3）证明：.
18．已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是.
（1）求曲线的方程；
（2）直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由；
（3）证明：三角形是钝角三角形.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）记数列的前项和为，证明：.
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】AD
10．【答案】ABC
11．【答案】BCD
12．【答案】/0.6
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）
（2）事件与事件相互独立.
16．【答案】（1）见详解
（2）存在，且
（3）
【详解】（1）连接、，由题意可得四边形、四边形都是边长为的正方形，
则，又为棱的中点，则，
又，故；
（2）取中点，连接，，过点作于点，连接、，
由为正三角形，则，又底面，
平面，故，
又，、平面，
故平面，又、平面，故、，
又，，、平面，
故平面，又平面，故，
故即为二面角的平面角，则，
又正三棱柱的棱长均为2，则，则，故，
由，故，
则，
即有，
则，故存在，且.
（3）设直线与的延长线分别交于点，则平面，
又平面，则有平面平面，，
即A，G，M三点共线，由为棱的中点，则，，
设，，
则，，设的面积为，则，
又，于是，，
令，，函数在上单调递减，
则，，即，
所以.
【知识点】利用导数解决新定义问题
17．【答案】（1）
（2）凹函数，见详解
（3）见详解
【详解】（1），令切点，
则过点的切线方程，
因为切线过点，则，解得，
所以切线方程为.
（2）是凹函数.证明如下：
令，则
不妨令，则，
记，
则
因为，所以，则，所以在单调递减，
则，
所以，
从而，所以是凹函数.
（3）证明：由题意，因为是凹函数，且是它的切线，则，
记，则，
即.所以.
【知识点】定点定值定直线问题、直线与双曲线的位置关系
18．【答案】（1）（或）
（2）是，定点
（3）见详解
【详解】（1）设，由题意得且，
，整理得
因此曲线的方程为：（或）
（2）由题意得，又，
设，
若直线的斜率不存在，则
解得，此时直线过，
若直线的斜率存在，设，
与双曲线联立得，
依题意且
由韦达定理得，.
整理得，
此时恒成立，过
综上所述，直线过定点.
（3）由（2）知，
①当时，，均在的右支，
如图2，此时
故为钝角.
②当时，，在的两支，
如图1，不妨设在的右支
记，此时
故为锐角，因此为钝角
综上所述，三角形为钝角三角形
图1 图2
【知识点】利用导数研究函数的单调性与单调区间、数列与不等式的综合、数列求和方法之错位相减法、数列的递推公式、数列通项求法之累加法
19．【答案】（1）见详解
（2）（i）见详解；（ii）见详解
【详解】（1）由知，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由得；由得，
所以在上单调递增，上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，上单调递减.
（2）（i）当时，，由得，
由（1）知，在上单调递增，上单调递减.所以，
即，又，，
，，，
下面证明：，即，，
只需证明，
设，
则，
所以在上单调递增，所以，
又，所以，
即，所以.
综上，；
（ii）由（i）知，
当，又，
当时，，
又，
即.
所以，设，则，
，
即，
，
故.（当时，不等式右边等号成立）
第 page number 页，共 number of pages 页
第 page number 页，共 number of pages 页