江西省2026届高三上学期8月入学摸底考试数学试题(图片版,含答案和答题卡)

绝密 ★ 本科目考试启用前 试卷类型：A
江西省 2026 届高三年级入学摸底考试
数 学 试 题 2025.8.20
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
注意事项：
①答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
②回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，必须使用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
③考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1 2 x 2．已知集合 A {x | x 2 }，B {x | ln( x 8x 14) 0}，则 A B
A．{x | 4 x 5} B．{x | 3 x 4} C．{x | 3 x 4} D．{x | 2 x 4}
2．记 为等差数列{ }的前 n项和.若 3 = 30， 7 = 112，则 5 =
A．59 B．61 C．63 D．65
3.“ a sin 3”是“函数 f (x) cos(x ) ln(
a a 2
)为偶函数”的
2 4x 2
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若随机变量 X ~ (2, 2 )，且 P(X a) P(X b 1)，则 a 2 b2的最小值为
9
A． B 3 2． C．8 D．
2 2 22
5．已知圆台的上底面积，下底面积分别为 、4 ，体积为7 ，则该圆台的外接球表面积为
A．16 B． 20 C． 24 D． 28
x 2 y 26．已知椭圆 E : 1．E的上顶点为 A，左、右焦点分别为 F1 ,F2 ．直线 AF 与2 2 1 E的另a b
一个交点为 B，直线 2与 E的另一个交点为 C．若 2 ⊥ 2，且| 1| = 10，则△ 2的周长为
A．24 B．28 C．32 D．36
数学试题 第 1页（共 4页）
命题：乱打的草稿
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7．已知数列 an 满足 a1 8，且函数 f (x) an 1 sin( x) an x 2 an x 5 .当 x (0,1)时，函数 f (x)
恰有一个零点，则 a4
1 63 1 63
A． B． C． D．
16 16 16 16
1
8 2．已知 A、B为曲线 y x (0 x 4)上的两点，D、C 为曲线 y 2 x (0 x 4)上的两点.其中 A
4
点在 B点左侧，D点在C点左侧．则矩形 ABCD 的面积最大值为
A 16 3 B 16 2 4 3． ． C． D 4 2．
9 9 3 3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．若双曲线 C的焦距是虚轴长的 5 倍，则
A 5．C的离心率为 B．C的渐近线方程为2y x 0
2
4
C．C的渐近线夹角的正切值为 D．C的实轴长是虚轴长的 6 倍3
17
10．在直角△ABC中，AC AB且 sin B sinC ．若△ABC的内切圆半径为 2，且与线段 BC 相切
13
于点D，则
B
A． AC 5 B． tan tan C 13 C． D．
2 2 15 AD BC 0 AD
2 949

13
11．赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为“中华名果”．近年赣南脐橙受黄龙
病影响，脐橙产品合格率有所降低．现有 6个脐橙，其中有 3个不合格产品，每次从中抽取 1个且不放回，
设 X 为抽到第 2件合格品时的抽取次数，则
A． X 的取值为 2，3，4，5 B． X 4时，共有 108种抽取顺序
7
C．E(X ) D．D(X )
21

4 20
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知 z (3
2
3i)5，则 z 的实部为 ▲ ．
i
( , 5 13．已知 )，且 cos( )
1
sin 2 m, (m 0)，则 cos(2
2
) ．（用含 m
6 6 3 4 3
▲
的代数式表示）
14．在平面直角坐标系中，已知 A(0,8),B(0,16)．若抛物线 y 2 2px( p 0) 上有且仅有一点 H满足
HA 5 HB ，则 p ▲ ．
数学试题 第 2页（共 4页） 命题：乱打的草稿
{#{QQABSQCpwwAwkBYACB6bQ0WYCEgQkIIRJYoORUAWOARLiQFIFAA=}#}
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分 13 分)
2025年江西省城市足球联赛（即“赣超”）在江西各区市举行.为了研究观看“赣超”与经常参与足球
运动的关系，在城市社区随机调查了 1200人，得到如下的列联表：
观看“赣超” 不观看“赣超”
经常参与足球运动 679 21
不经常参与足球运动 121 379
(1) 求观看“赣超”者不经常参与足球运动的概率 p的估计值；
(2) 根据小概率值 0.001的独立性检验，分析观看“赣超”是否与经常参与足球运动有关.
2 n(ad bc)
2
. P(
2 k) 0.050 0.010 0.001
附：
(a b)(c d )(a c)(b d ) k 3.841 6.635 10.828
16．(本小题满分 15 分)

如图，三棱锥 P ABC中， AC 61，AD 3，AB 5，PD DC ， AD AB 9
tan DAC 5
6 .
(1) 若 AC AB 18，证明：平面PAC 平面ABD；
(2) 若二面角 P AD B 3的正切值为 ，求三棱锥 P ABD的外接球表面积.
4
17．(本小题满分 15 分)
已知函数 f (x) x ln x x，g(x) cos x .
(1) 若曲线 y f (x)的切线 l过点M (0,m), (m 1)，求 l与坐标轴围成的三角形面积的最小值；
(2) (ⅰ) 求曲线 y g(x) 5 在（ ，f (5 ))处的切线方程；
6 6
(ⅱ) 设函数 h(x) f (x) sin x，判断 h(x)有几个极值点并说明理由.
（参考数据： ln 1.144, ln 2 0.693）
数学试题 第 3页（共 4页）
命题：乱打的草稿
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18．(本小题满分 17 分)
n 1 2k,n a
已知数列 an 3 ，其前 n
k
项和为 Sn .设数列bn ，其中 k .
bn 1 4k ,ak n ak 1
(1) 求b27，b85；
2S n
(2) 设Tn bi ，求Tn的值；
i 1
n2 8n 1 n
(3) 设 cn ( 1)，求使得 ci 2026成立的最大正整数 n的值. (其中符号 x 表示不超n 1 8Tn 1 i 1
过 x的最大整数)
19．(本小题满分 17 分)
2 2
已知 (2, 3)和 (4,0) C x y为椭圆 ： 2 2 1，(a b 0)上的两点.点M (mx ,m y )和 N (n ,n )也在椭a b x y
圆 C上.点 A在射线OM 上且满足 OM MA .线段 AN与椭圆 C交于异于 A，N两点的点 B.记△MNB
和△OMN的面积分别为 S1 ,S2，且 4S1 S2 0 .
(1) 用mx ,m y ,nx ,n y 表示点 B的坐标；
(2) (ⅰ) 求 S1 S2；
(ⅱ) 若M (2, 3)，求点N 的坐标.
数学试题 第 4页（共 4页）
命题：乱打的草稿
{#{QQABSQCpwwAwkBYACB6bQ0WYCEgQkIIRJYoORUAWOARLiQFIFAA=}#}
江西省 2026 届高三入学摸底考试
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
数 学 答 题 卡 15.（13 分） 16.（15 分）
姓 名：
条形码粘贴区
（切勿贴出虚线框）
考生号：
准 考 证 号 注 意 事 项
1.答题前，考生须认真核对条形码上的个人信息，然后
将本人姓名、考生号填写在相应位置。
0000000000
2.答选择题时，必须使用 2B铅笔将对应题目的答案标号
1111111111
2222222222 涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案。
3333333333 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔
4444444444
书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米的
5555555555
6666666666 黑色字迹签字笔描清楚。要求字体工整，笔迹清晰。严
7777777777 格按题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的
8888888888
答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效。
9999999999
4.保持答题卡清洁、完整。严禁折叠，严禁在答题卡上
正确填涂u 错误填涂 缺考标记 做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带。
单项选择题（须用 2B 铅笔填涂）
1ABCD 3ABCD 5ABCD 7ABCD
2ABCD 4ABCD 6ABCD 8ABCD
多项选择题（须用 2B 铅笔填涂）
9 ABCD
10 ABCD
11 ABCD
非选择题 （须用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔书写）
12. （5 分）
13. （5 分）
14. （5 分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
{#{QQABSQCpwwAwkBYACB6bQ0WYCEgQkIIRJYoORUAWOARLiQFIFAA=}#}
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
17.（15 分） 18.（17 分） 19.（17 分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
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数学试题参考答案及多维细目表
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D D A B B B A AC BD ABD
【命题说明】单项选择题中，第 6 题改编自 2022 年新高考全国 Ⅰ卷第 16 题，第 7 题改编
自 2024 年新高考全国 Ⅱ卷第 6 题，其余试题均为原创试题.
12. 【答案】 12
2
13. 【答案】 2 1m
14. 【答案】 32
【命题说明】多项选择题中，试题均为原创试题.
15 .【命题说明】本题为原创试题
【参考答案及评分标准】
解：（ 1）根据表格可知，观看“赣超”的 800 人中有 121 人不经常参与足球运
121
动，所以所求概率的估计值为 ·········································································· 3 分
800
（ 2）零假设为 H 0 ：观看“赣超”与经常参与足球运动无关 ···································4 分
根据题中表格得：
观看“赣超” 不观看“赣超” 合计
经常参与足球运动 679 21 700
不经常参与足球运
121 379 500
动
合计 800 400 1200
2 1200 （679 379 21 121）
2
代入公式得： 695.604 ·············································· 12 分
700 500 800 400
根据小概率值 0.001的独立性检验，可推断H 0 不成立，即观看“赣超”与经常参与
足球运动有关 ······································································································· 13 分
【评分注意事项】①未写零假设扣 1 分；
②列出正确公式但计算结果错误，一律扣 5 分 .
16.【命题说明】本题为原创试题
【参考答案及评分标准】

解：（ 1）证明： AD AB AD AB cos BAD 3 5 cos BAD 9 ，
3
解得： cos BAD ················································································································· 1 分
5
数学试题 参考答案 第 1 页 共 8 页
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在△ABD中，由余弦定理， BD2 AD2 AB2 2AD AB cos BAD
3
代入数据得： BD2 32 52 2 3 5 16，得:BD 4 ······························································2 分
5
AD2 BD2 25 AB2 ，由勾股定理逆定理得， AD BD ························································ 3 分
tan DAC 5 且 DAC (0，2 ) cos DAC 6 ··································································4 分
6 61

AD 6 AC AD AC cos DAC 3 61 18 ··································································5 分
61

又 AC AB 18
···················································· 6 分
AC AB AD AC AC (AB AD) AC DB 18 18 0

AC DB 即AC DB ············································································································7 分
又 AD AC A且AD,AC 平面PAC
BD 平面PAC ···················································································································8 分
BD 平面ABD
平面ABD 平面PAC ·········································································································· 9 分
（2）在△ADC中：由余弦定理：CD AD 2 AC 2 2AD AC cos DAC 34
ADC ADP 180
cos ADC cos ADP 0
AD2 CD2 AC 2 AD2 PD2 AP2
0 解得： AP 5 ·························································10 分
2AD CD 2AD PD
在平面ABD 内，过点A 作 AE AD
由（1）知：PA AD
平面PAD 平面BAD AD
二面角P AD B 的平面角为 PAE ···················································································· 11 分
则 tan PAE 3
4
数学试题 参考答案 第 2 页 共 8 页
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AP AD，BD 平面PAD，且PA cos PAE 4 BD
可将三棱锥放如长方体内，该长方体的长宽高分别为3，3，4（如图）
所以长方体的体对角线等于外接球的直径
2R PD 34 ·································································13 分
S 4 R 2 34 ·················································································································· 15 分
球
【评分注意事项】如考生使用坐标法，答案全对且证明了垂直关系，给满分 .
17.【命题说明】本题为原创试题
【参考答案及评分标准】
解：（1）设切线 l与曲线 y f (x) 相切于点 (x0 , x0 ln x0 x0 ) ， f (x) ln x
则 l 的方程为 y (x0 ln x0 x0 ) ln x0 (x x0 )
将M (0,m)代入得，m (x0 ln x0 x0 ) ln x0 (0 x0 ) 得：x0 m ···············································1 分
m
y ln( m)x m 令y 0，解得：x ············································································· 2 分
ln( m)
1 m m2
所求三角形面积S(m) m ，(m 1) ······················································· 3 分
2 ln( m) 2 ln( m)
S (m) m[2 ln( m) 1]
2[ln( m)]2
m ( ， e )时，S (m) 0，则S (m)单调递减；m ( e， 1)时，S (m) 0，则S (m)单调递增 ······ 4 分
S(m) S( e) e，即所求三角形面积最小值为e. ··································································· 5 分
2 (ⅰ) g (x) sin x g (5 ) 1 g(5 3（ ） ， ， )
6 2 6 2
5 5
则曲线y g(x)在( ，g( )) y 3 1 5 处的切线方程为 (x )
6 6 2 2 6
y 1 3 5 即 x . ·················································································································· 6 分
2 2 12
(ⅱ) h (x) ln x cos x，欲求h(x)有几个极值点，即求h (x) 有几个变号零点 令H (x) h (x)
① x (0,1] 1时， 1，sin x 1, 则H (x) 1 sin x 0, H (x)在(0,1]上单调递增
x x
数学试题 参考答案 第 3 页 共 8 页
{#{QQABSQCpwwAwkBYACB6bQ0WYCEgQkIIRJYoORUAWOARLiQFIFAA=}#}
x 0 时, H (x) . H (1) cos1 0
由零点存在定理: x1 (0,1), 使得H (x1) 0
x (0,1]时 , h(x)有一个极值点 ······························································································· 8 分
②x (1, 时, ln x 0, cos x 0, H (x) ln x cos x 0,此时H (x) 无零点 ······································ 9 分2
③x 1 3 5 ( ，e)时，下证：ln x x cos x
2 2 2 12

(x) 1 3 5
1
令 x 2 2 12
cos x ，则 (x) sin x
2
x 5 ( ， )时， (x) 0 (x) x (5 ，故 单调递减； ，e)时， (x) 0 ，故 (x) 单调递增
2 6 6
(x) (5 ) 0 ················································································································· 11 分
6

令 (x) ln x 1 x
3 5 2 x
，则 (x)
2 2 12 2 x
x ，2 时， (x) 0， (x)单调递增；x 2,e 时， (x) 0， (x) 单调递减
2
(x) min (
)， (e) e 3 5 1 0 ········································································· 13 分
2 2 2 12
ln x 1 3 5 x cos x
2 2 12

x ，e ，H (x) ln x cos x 0恒成立，此时H (x)无零点 ··············································· 14 分
2
④x e, )时，ln x 1，cos x 1 (两者不同时取得等号）
x e， ，H (x) ln x cos x 0恒成立，此时H (x)无零点 ················································· 15 分
综上可得，h(x)有1个极值点
【评分注意事项】①函数求导后未说明单调性直接得到极值，一处扣 1 分；
②画图像直接判断极值点个数，未进行证明的一律不给分；
③如有其他正确解法，亦可酌情给分 .
数学试题 参考答案 第 4 页 共 8 页
{#{QQABSQCpwwAwkBYACB6bQ0WYCEgQkIIRJYoORUAWOARLiQFIFAA=}#}
18.【命题说明】本题改编自 2024 年天津卷第 19 题
【参考答案及评分标准】
解：（1） 27 33 a4 ·············································································································· 1 分
b27 2 4 8 ··························································································································2 分
34 85 35 即a5 85 a6 ····································································································3 分
b85 2 5 4 5 85 81 90 ································································································ 4 分
2 S 1 3
n 3n 1
（ ） n ·············································································································5 分1 3 2
3n 1
则Tn bi
i 1
当3k 1 i 3k 1(k )时，bi bi 1 4k，b k 1 2k ·····································································6 分3
可知数列 bi 是以2k为首项，以4k为公差，项数为2 3 k 1的等差数列 ··········································· 7 分
3k 1 2 3k 1 2k 2k 4k 2 3k 1 1 b i 8k 9k 1 ······································································8 分
i 3k 1 2
8k 9k 1 1 8k 1 9
k 8k 9 9k 1 ························································································9 分8
n 1 n
Tn 8k 1 9k k 1
1 8n 1 9
8k 9 9 ··································································· 11 分
k 1 8 8
【若考生使用错位相减法且最终结果正确，同样得此步的 4 分；若结果有误但作差过程无误，得 1 分】
2 2 2 2 2 n
（3 c n 1 1 n n n 1 n 3） n n n 1 n 1 ························ 12 分n 1 3 (n 1)3n n 1 (n 1)3n n 1 (n 1)3n
n2n 1 0 3
n
下证当 时，
(n 1)3n
1
n2 3n
①显然 n 0恒成立 ·······································································································13 分(n 1)3
② n2 3n (n 1)3n n n 3n
3n 2 1 n C0 1n 20 C1 1n 1 21 C2n n n 1n 2 22 ... Cn 0 nn 1 2 1 2 n n ································14 分
n2 3n (n 1)3n n n 3n 0
0 n
2 3n
1
(n 1)3n
数学试题 参考答案 第 5 页 共 8 页
{#{QQABSQCpwwAwkBYACB6bQ0WYCEgQkIIRJYoORUAWOARLiQFIFAA=}#}
故 cn n 1 ···························································································································15 分
n
ci 1 2 3 ... (n 1 1) n(n 1) ···················································································16 分
i 1 2
1
n(n 1) 2026，满足不等式的最大正整数n 64 ································································· 17 分
2
19.【命题说明】本题为原创试题
【参考答案及评分标准】
解：（1）由点A在射线OM上且满足OM MA 得，M为线段OA 的中点
S 1 1 2 S△AMN 4S1 S2 S△AMN ，即4 NB h NA h2 2
NA
4 ·································································································································1 分
NB
1 1 1 OB ON NB ON NA 3 ON OA ON OA ON ···················································2 分4 4 4 4

又 OA 2OM 2 mx，m y 2mx，2m y ， ON nx，n y
B 2mx 3nx
2m
y
3ny
， ········································································································ 3 分
4 4
22 ( 3)2
2 2 1 a 4
（2）由题意知 : a b 解得： ································································ 4 分2 2
4 0 1 b 2 3


a2 b2
x2 y2 2m 3n 2m 3n
椭圆 C 的方程： 1 ，将B x x y y ， 代入得16 12 4 4
2
2mx 3n
2
x 2my 3ny

4

4

1
16 12
m 2 m 2y n 2 n
2
y m n myny
整理得， 4 x 9
x x x
12 16 1 ·······························5 分
16 12 16 12 16 12
m 2x m
2
y 1
又 点M 16 12，N均在C上，即 ，代入2 1 式得，
n 2x n

y 1
16 12
mxnx myny 1 2 ·································································································· 6 分
16 12 4
数学试题 参考答案 第 6 页 共 8 页
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m 2 m 2y
x 1
M N 16 12点 ， 均在C上，即 ，两式相乘得，
n 2x n
2
y 1 16 12
m 2 m 2 n 2 n 2
2
m n m n
2
m n n m

x y x y 1 x x y y x y x y 整理得， 1 ······································7 分
16 12 16 12 16 12 16 12
将 2 式代入得，mxny nxmy 6 5 ····························································································8 分
2
S 1 OM ON sin MON 1
OM ON
2 m
2 m 2 n 2 n 2 1 ······································· 9 分
2 2 x y x y 2 2OM ON
m 2 m 2 n 2 n 2 21 2 2 2 2 x y x y mxnx myny mx my nx ny ·········································· 10 分2 m 2 m 2 n 2 2x y x ny
1
mxny nxmy 3 5 ···········································································································11 分2
S S 1 5 5 15 51 2 S2 S2 S2 3 5 ·············································································· 12 分4 4 4 4
m n myny 1
（3）由（2）知 x x ，将m 2，m 3代入得，
16 12 4 x y
2nx 3 n y 1 16 12 4
则 ··············································································································· 13 分
n 2 2 x ny
1 16 12
1 3 5 1 3 5
nx1
2
nx2 2
解得 或 ···················································································· 17 分 3 5 1
n n
3 5 3
y2
y1 4 4

N 1 3 5
3 5 1 综上可得， 1 ， 和 N 1 3 5 3 5 3 2 4 2 , 2 4
【以上均为笔者解法，如有其他解法亦可酌情给分】
数学试题 参考答案 第 7 页 共 8 页
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多 维 细 目 表
学科素养 预估难度
题题分
必备知识 数逻数直数数
型号值 学辑学观学据易 中 难
抽推建想运分
象理模象算析
选择题 1 5 集合的运算 √ √ √
选择题 2 5 等差数列求和 √ √ √
选择题 3 5 偶函数的性质 √ √ √
选择题 4 5 正态分布 √ √ √
选择题 5 5 圆台，外接球 √ √ √ √
选择题 6 5 椭圆，解三角形 √ √ √ √
选择题 7 5 数列通项 √ √
选择题 8 5 导数的应用 √ √ √
选择题 9 6 双曲线的性质 √ √
选择题 10 6 解三角形 √ √ √
选择题 11 6 离散型随机变量的均值与方差 √ √ √ √
填空题 12 5 复数与二项式定理 √ √ √
填空题 13 5 三角恒等变换 √ √ √
填空题 14 5 抛物线的性质 √ √ √ √
解答题 15 13 独立性检验 √ √ √ √
解答题 16 15 面与面的关系，球的表面积 √ √ √ √
解答题 17 15 导数，零点个数 √ √ √ √
解答题 18 17 数列求和，不等式 √ √ √ √
解答题 19 17 椭圆，面积计算 √ √ √
拟定：乱打的草稿
数学试题 参考答案 第 8 页 共 8 页
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