人教版（2019）高中数学选择性必修二 4.3等比数列前n项和公式 题型总结（含解析）

4.3等比数列前n项和公式题型总结
【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】
【例1】已知是等比数列的前n项和，，，则公比（ ）
A． B． C．3或 D．或
【变式1-1】在等比数列中，已知，，，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1-2】已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（ ）
A． B． C．2 D．5
【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】
【例2】在等比数列中，，求数列的通项公式．
【变式2-1】已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的通项公式.
(3)求数列的前项和
【变式2-2】设正项等比数列的前n项和为，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)设正项数列满足，其前n项和为，当取最小值时，求的值．
【变式2-3】记为正项等比数列的前项和，已知，，.
(1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，证明：.
【题型3 等比数列前n项和的性质】
【例3】设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（ ）
A．64 B．72 C．76 D．80
【变式3-1】正项等比数列的前项和为，，，则等于（　 　）
A．90 B．50
C．40 D．30
【变式3-2】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-3】已知为等比数列的前项和，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【题型4 求等比数列的前n项和】
【例4】记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（ ）
A． B．43 C． D．47
【变式4-2】已知}是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求的通项公式； (2)求数列前n项和．
【变式4-3】已知数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明是等比数列；
(3)设，求数列的前项和
【题型5 等比数列前n项和的最值问题】
【例5】记为等比数列的前n项和．已知，则数列（ ）
A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项
【变式5-1】已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．数列有最小项 D．数列有最大项
【变式5-2】数列的前项积为，，数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列的前项和为，求的最大值与最小值．
【变式5-3】已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．
(1)求数列，的通项公式；(2)求的最大值和最小值．
【题型6 等比数列的简单应用】
【例6】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（ ）
A．80里 B．86里 C．90里 D．96里
【变式6-1】明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（ ）
A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏
【变式6-2】现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式6-3】小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（ ）
A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断
【题型7 等比数列与不等式综合】
【例7】已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式7-1】已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知数列的首项，且．
(1)证明：数列是等比数列．(2)求满足的最大整数．
【变式7-3】已知数列，， ，，设数列的前n项和为．数列的前n项积为，若，，．
(1)求数列的通项公式；(2)证明：，．
【题型8 等差、等比数列的综合应用】
【例8】已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.
【变式8-1】已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.
【变式8-2】已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
【变式8-3】已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.
(1)求；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)求证：.
4.3等比数列前n项和公式题型总结答案
【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】
【例1】已知是等比数列的前n项和，，，则公比（ ）
A． B． C．3或 D．或
【解题思路】利用等比数列通项和前n项和的基本量运算列出方程，求解即得.
【解答过程】由，
因，代入得，，
即，解得，或.
故选：D.
【变式1-1】在等比数列中，已知，，，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】由及通项公式，列出方程组求解即可.
【解答过程】在等比数列中，，，，所以，
由，及通项公式，
可得，解得.
故选：B.
【变式1-2】已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据通项公式求公比，再由等比数列求和公式可得首项.
【解答过程】设等比数列的公比为，，
即，，
，．
故选：B．
【变式1-3】设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（ ）
A． B． C．2 D．5
【解题思路】根据等比数列的前项和公式求解即可.
【解答过程】由，，得，
则，
所以，所以.
故选：A.
【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】
【例2】在等比数列中，，求数列的通项公式．
【解题思路】由和联立解出首项和公比，通过等比数列的通项公式得到答案.
【解答过程】设等比数列的公比为，由题意得
，解得或，
所以或.
【变式2-1】已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的通项公式.
(3)求数列的前项和
【解题思路】（1）根据条件，建立方程组，即可求解；
（2）根据条件得到，从而有是以为首项，公差的等差数列，即可求解；
（3）根据条件，利用错位相减法，即可求解.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为，因为，所以，
则，解得，
所以数列的通项公式.
（2），即，所以，
所以是以为首项，公差的等差数列，
所以，得到.
（3），
所以①，
则②，
①②，得.
则.
【变式2-2】设正项等比数列的前n项和为，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)设正项数列满足，其前n项和为，当取最小值时，求的值．
【解题思路】（1）由已知结合等比数列的求和公式先求出，，然后结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）结合等比数列的求和公式及基本不等式即可求解．
【解答过程】（1）正项等比数列中，，，
所以，解得，（舍负），
故；
（2）正项数列满足，所以，
设，则，，
，当时，，
两式相除得，，
故，，，构成以为首项，以2为公比的等比数列，
，，，构成以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
即取最小值时，．
【变式2-3】记为正项等比数列的前项和，已知，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，证明：.
【解题思路】（1）设等比数列的公比为，结合等比数列求和公式可得，即可得结果；
（2）由（1）得，，利用错位相减法可得，进而分析证明.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为，由可知，，
则，得，解得（负值舍去），
将代入，解得，
所以数列的通项公式为 .
（2）由（1）得，，
则，可得，
两式相减可得
，
可得.
因为，可知数列为递增数列，则；
综上可得.
【题型3 等比数列前n项和的性质】
【例3】设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（ ）
A．64 B．72 C．76 D．80
【解题思路】设是该等比数列的前项和，依题意可知成等比数列，由等比数列的性质求解即可.
【解答过程】设是该等比数列的前项和，依题意可知
则成等比数列，即成等比数列，
则解得
故选：D.
【变式3-1】正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　）
A．90 B．50
C．40 D．30
【解题思路】由，可得，由等比数列前n项和的性质可得，代入求解即可.
【解答过程】解：因为是正项等比数列的前项和，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
所以，
解得或(舍).
故选：B.
【变式3-2】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可．
【解答过程】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，
得到奇数项为，
偶数项为，整体代入得，
所以前项的和为，解得.
故选：B.
【变式3-3】已知为等比数列的前项和，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【解题思路】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解.
【解答过程】由题意知，为等比数列的前n项和，
则成等比数列，
由等比中项，得，
即，解得或（舍去）.
故选：C.
【题型4 求等比数列的前n项和】
【例4】记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【解答过程】设等比数列的公比为q，
则由，，得，
解得，
故，
故选：B.
【变式4-1】若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（ ）
A． B．43 C． D．47
【解题思路】证明两等比数列的和数列仍为等比数列，再由等比数列求和公式可得.
【解答过程】因为两个等比数列的公比相等，设为，
则，且，
故，故数列是以为首项，为公比的等比数列，
由，得
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的前7项和．
故选：B.
【变式4-2】已知}是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列前n项和．
【解题思路】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式；
（2）代入等比数列前项和公式，即可求解.
【解答过程】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为q，，，
所以，解得（舍去）或4，
所以数列是首项为2、公比为4的等比数列，．
（2）因为，
求和可得：．
【变式4-3】已知数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明是等比数列；
(3)设，求数列的前项和
【解题思路】（1）根据分段求出数列通项；
（2）应用等比数列定义证明即可；
（3）应用等差、等比求和公式分组求和即可.
【解答过程】（1）当时，，
当时，，
因此数列的通项公式为；
（2），
因为是常数，，
故是等比数列；
（3）是等比数列，首项是，公比是，
，
，
所以．
【题型5 等比数列前n项和的最值问题】
【例5】记为等比数列的前n项和．已知，则数列（ ）
A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项
【解题思路】求出公比，求出，然后分析的性质即可．
【解答过程】设公比为，则，，
，
当为偶数时，，对应函数为减函数，即，
当为奇数时，，对应函数为增函数，即，
所以有最大项为，最小项为．
故选：D．
【变式5-1】已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．数列有最小项 D．数列有最大项
【解题思路】由已知，分析等比数列的公比范围，进而可以判断的单调性，判断A，B；由，分，进行讨论，判断C，D．
【解答过程】设等比数列的公比为，则，
由可得，又，所以即，又，所以，即，
故等比数列首项，公比满足或，
当时，等比数列为正负项交替的摆动数列，故不单调；
当时，，等比数列单调递减，故A，B不正确；
又，且
所以当时，由于，
则，，
此时数列的最小项为，最大项为；
当时，有，
则数列为单调递增数列，有最小项，无最大项，故C正确，D不正确.
故选：C.
【变式5-2】数列的前项积为，，数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列的前项和为，求的最大值与最小值．
【解题思路】（1）由数列是公差为的等差数列求出，再由时，即可求解；
（2）数列是等比数列，根据前项和的单调性求最大值与最小值．
【解答过程】（1）数列是公差为的等差数列，
，，
，
时，，
又符合上式，
．
（2），数列是首项为，公比为的等比数列，
，
①当为奇数时，，
此时为单调递减数列，，
②当为偶数时，，
此时为单调递增数列，，
综上①②，的最小值为，最大值为.
【变式5-3】已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求的最大值和最小值．
【解题思路】（1）根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列公比求解作答.
（2）由（1）可得，再分为奇数与偶数时，结合的单调性求解即可.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，
设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，
所以数列，的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，
当时，，此时数列是递减的，恒有，此时；
当时，，此时数列是递增的，恒有，此时；
综上可得，的最大值为16，最小值为8.
【题型6 等比数列的简单应用】
【例6】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（ ）
A．80里 B．86里 C．90里 D．96里
【解题思路】由题意确定每天走的路程构成公比为的等比数列，即可求解
【解答过程】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
∴此人第二天走的路程为（里）．
故选：D.
【变式6-1】明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（ ）
A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏
【解题思路】根据等比数列的前和公式建立方程，解出即可.
【解答过程】设各层塔的灯盏数为，
数列是公比为的等比数列，
由题意可得，
解得，
故选：A.
【变式6-2】现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】由题意，归纳出截掉的长度和天数成等比数列，根据等比数列求解即可.
【解答过程】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列，
则该等比数列的前项和.
由，得，得.
故选：B.
【变式6-3】小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（ ）
A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断
【解题思路】由已知结合等差数列与等比数列的求和公式即可判断．
【解答过程】第一种可以领取报酬元；
第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列，
则第二种可以领取报酬元；
第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列，
则第三种可以领取报酬元，
因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬．
故选：C．
【题型7 等比数列与不等式综合】
【例7】已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】利用求出数列的公比，进而求出通项公式，求出数列的前项和，然后利用放缩法和恒成立问题的应用求出的最大值，最后得到结果．
【解答过程】设等比数列的公比为，由，得，
则，即，
因为，所以，解得，所以，
所以，
当为奇数时，，所以，
当为偶数时，，所以，所以.
故选：C.
【变式7-1】已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等比数列的基本量求得，从而可得公差，由等比数列得前项和公式得，分类讨论，结合数列的单调性即可得求得满足不等式时的取值范围.
【解答过程】因为等比数列，由可得，所以，
则公比，所以，
当为奇数时，恒成立，所以，
又数列为递增数列，所以，，则此时；
当为偶数时，恒成立，所以，
又数列为递增数列，，则此时；
综上，的取值范围是.
故选：D.
【变式7-2】已知数列的首项，且．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求满足的最大整数．
【解题思路】（1）利用构造法，结合等比数列的定义，即可证明；
（2）根据（1）的结果，结合等比数列前项和公式，即可求解不等式.
【解答过程】（1）证明：由，两边取倒数，并整理得，
则，因为，所以数列是等比数列．
（2）由（1）得，
则，
显然为单调递增数列，则满足条件的最大整数为99．
【变式7-3】已知数列，， ，，设数列的前n项和为．数列的前n项积为，若，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：，．
【解题思路】（1）根据分析可得，进而可得，结合与的关系可得，结合等比数列运算求解；
（2）根据积项可得，整理可得，即可证明.
【解答过程】（1）因为，则，
两式相减可得，即，
又因为，则，
整理可得，则，
两式相减可得，则，且，
可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
则，所以.
（2）由（1）可得，
因为，
若，则；
若，则；
综上所述：.
又因为
，
又因为，则，
所以.
【题型8 等差、等比数列的综合应用】
【例8】已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解题思路】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式；
（2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和．
【解答过程】（1）由题意，可得，
故，，
数列是公比为2的等比数列，且，
，
，．
（2）由题意及（1），可得，
则
．
【变式8-1】已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【解题思路】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
∵，，
∴，
∴.
∴.
设等比数列的公比为，
若选条件①，，
由，且，
得，
∴，解得.
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
若选条件②，，
令，得，
∴公比，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.
从而.
（2）因为，
所以，
两式相减，得，
即，
所以.
【变式8-2】已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
【解题思路】（1）利用等差数列基本量运算求得，再由的和式采用作差法求得并验证即得通项；
（2）由，列出数列的前8项，求出他们对应的数列中的相同项，确定为的前107项的和减去的前7项的和.
【解答过程】（1）设正项等差数列的公差为，
因为，，所以，解得：
所以.
数列满足
设，
当时，有，即，
当时，有，得
符合，所以
（2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256，
对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，
故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列
设数列的前项和为，所以
.
【变式8-3】已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.
(1)求；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)求证：.
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知条件求出和的通项，利用等比数列前项和公式求；
（2）为奇数和是偶数时，分别求的通项，利用分组求和求数列的前项和；
（3）利用放缩和等比数列前项和公式证明不等式.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，得，解得，
则，
由，，得，，
解得，则，
所以．
（2）当是奇数时，，
当是偶数时，，
则，
于是，
两式相减，得
，
所以，
，
所以.
（3）证明：由（1）知，，当且仅当时取等号，
则，
所以.