4.6 利用相似三角形测高 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册（含答案）

4.6 利用相似三角形测高
基础夯实
知识点 1 利用阳光下的影子测量高度
1.「2025安徽毫州利辛期中」小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物 OB 的影长OC为16米,OA 的影长OD 为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O、C、D、F、G五点在同一直线上,A、B、O 三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高 EF 为1.8米,求旗杆的高AB.
知识点 2 利用标杆测量高度
2.学习了相似三角形相关知识后，小明和小亮想利用“标杆”测量大楼的高度.如图，小明站立在地面点F处，小亮在点 B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、楼顶端C 在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上).已知小明的身高 EF=1.5米, “标杆” AB=2.5米,BD=23米,FB=2米.
(1)求大楼 CD 的高度为多少米(CD 垂直于地面BD).
(2)小明站在原来的位置，小亮通过移动“标杆”AB，用同样的方法测得楼 CD 上点 G 的高度GD=11.5米，那么相对于第一次测量，“标杆”AB 应该向大楼方向移动多少米
知识点3 利用镜子的反射测量高度
3.跨物质反射「2024山东青岛实验初级中学期末」【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r 等于入射角 i.
【问题解决】如图2，小亮在 P 处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计)，他站在 C 处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平面镜的距离 CP 为4 米.已知平面镜到塔底部中心的距离 PB 为247.5 米,小亮眼睛到地面的距离 DC 为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB 均垂直于 CB.请你计算塔的高度AB.
4.四分仪是一种十分古老的测量仪器.图1 是古代测量员用四分仪测量一方井的深度的示意图，将四分仪置于方井上的边沿上，通过窥衡杆测望井底点 F，窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H.图2中，四分仪为正方形ABCD，方井为矩形 BEFG.若测量员从四分仪中读得AB 为 1，BH 为0.5,实地测得 BE 为2.5,则井深BG 为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5.「2025河南郑州四中月考，杆AB，它的一部分影子(BC)落在水平地面上，另一部分影子(CD)落在墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m，地面上的影长为2.8m，同时测得一根高为2m 的竹竿OM 的影长 ON=1.4m,则旗杆的高度是 ( )
A.4.5m B.104.7 m C.5.2m D.5.7 m
6.新项目探究题「2024河南邓州期中，餰」下面是小明进行数学学科项目学习时，填写活动报告的部分内容.项目主题：测量河流的宽度.
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板，…….各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度.
项目成果：下表是小明进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度AB
测量示意图
测量数据 BC=1.6m,BD=10m,DE=2.0m
请你参与这个项目学习，并完成下列任务：
(1)任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB.
(2)任务二：请你写出这个方案中求河流宽度时用到的数学知识： (写出一条即可).
(3)任务三：请你设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明.
素养提优
7.新述示题如 图，广场上有两盏高度相同的路灯A、C，相距20m，晚上身高为1.8m的张明站在两个路灯之间的 E处，此时ED为张明在路灯A 照射下的影子，GE为张明在路灯 C照射下的影子，已知DG=5m，求路灯的高度.
6 利用相似三角形测高
基础夯实
1.解析 ∵AD∥EG,.. ∠ADO=∠EGF,又∵ ∠AOD=∠EFG=90°,∴△AOD∽△EFG,∴△0=FODFC,
∵ EF=1.8米,FG=2.4米,OD=20米,∴
∴AO=15米,同理得△BOC∽△AOD, 即 ∴BO=12米,
∴AB=AO-BO=15-12=3(米),
∴旗杆的高AB是3米.
2.解析 (1)如图,过点 E作 EH⊥CD 于点 H,交AB 于点J,则四边形 EFBJ,四边形 EFDH都是矩形,
∴ EF=BJ=DH=1.5 米,BF=EJ=2 米,DB=JH=23米,∴EH=EJ+JH=25米,∵AB=2.5米,∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(米),
∵AJ∥CH,∴△EAJ∽△ECH,
米，
.. CD=CH+DH=12.5+1.5=14(米).
∴ 大楼CD 的高度为14 米.
(2)如图,过点 E作 ET⊥CD 于点 T,交AB 于点 R.
∵AR∥CT,∴△AER∽△GET,∴AR=ERT,
由(1)可知AR=1米,TD=1.5米,ET=25米, 米，
·2.5-2=0.5(米),
∴“标杆”AB 应该向大楼方向移动0.5米.
3解析 由光的反射定律可得∠CPD=∠BPA,
∵DC,AB均垂直于 CB,∴∠DCP=∠ABP=90°,
∴△DCP∽△ABP,∴DC∶AB=PC∶PB,
∴1.6:AB=4:247.5,∴AB=99米.
答：塔的高度AB是99米.
能力提升
4. A ··四边形ABCD 是正方形,∴∠ABC=90°,∵BE=2.5,BH=0.5,∴HE=BE-BH=2.5-0.5=2,∵四边形BEFG是矩形,∴ BG=EF,∠BEF =90°,∴ ∠ABH=∠FEH=90°,∵∠AHB=∠EHF,∴△ABH∽△FEH, 即
∴EF=4,∴BG=EF=4,故选 A.
5. C 如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,
由题意可知，BE=CD=1.2m ,BC=DE=2.8 m,OO∥O=AEBB,∵ OM=2m,ON=1.4m,
解得AB=5.2m,
∴旗杆的高度是5.2m，故选C.
6.解析 (1)由题意知,BC∥DE,∴△ABC∽△ADE.
又BC=1.6m,BD=10m,DE=2.0m,
解得AB=40 m.
答:河流的宽度 AB 为40 m.
(2)相似三角形的对应边成比例(答案不唯一，合理即可).
(3)(答案不唯一，合理即可)如图，在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面B的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达C处，在C处直立一竹竿，然后继续向东行走到D处，使得CD=BC，再沿着与河岸垂直的方向行走，当走到与A、C共线的位置时停下，位置记为E，这时DE的长等于河流的宽度.
素养提优
7解析 …AB⊥BD,EF⊥BD,∴∠ABD=∠FED,
∵∠ADB=∠FDE,∴△ABD∽△FED,∴ABF=BDDE,
设AB=CD= xm,DE= ym,
同理:△CDG∽△FEG,∴OD=PCG,
解得：y=4,
经检验，y=4是方程的解，
由 得 解得x=9.
答：路灯的高度为9 m.