期末综合检测同步练习（含答案） 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

期末综合检测
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.「2024四川凉山州中考」若关于x的一元二次方程(a+ 的一个根是x=0，则a的值为( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.
2.「2025广东普宁期末」一个几何体的部分视图如图，则该几何体是 ( )
3.「2025河南省实验中学期末」在平面直角坐标系中，若点(-2,y ),(-1,y ),(2,y )都在反比例函数y= 的图象上，则 ( )
4.「2025山东济南章丘期末」数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是( )
A.白色 B.黄色 C.红色 D.黑色
5.「2025山西太原期末改编」关于一元二次方程 的根的情况，选项中说法正确的是 ( )
A.该方程一定有两个相等的实数根
B.该方程一定有两个不相等的实数根
C.该方程只有一个实数根
D.因为“▲”的值不确定，所以无法判断该方程有没有实数根
6.「2025河北衡水九中期中」如图,△ABC 中,∠B=60°,AB=6,AC=8.将△ABC 沿选项中的 DE剪开，剪下的阴影三角形与 B原三角形不相似的是( )
7.「2025河南郑州期中」如图，在平面直角坐标系中，过点 P(4，-3)分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数 的图象交于M、N两点，则四边形PMON的面积为 ( )
A.14 B.15 C.18 D.20
8.「2025山东济南历下期中」“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”(如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点)，汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观.若正方形外框的边长为8cm，则四个黄金分割点组成的正方形的边长为( )
C.(12-4 ) cm
9.「2025河南郑州外国语中学月考」如图，将边长为8 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 对折再展平，得到矩形ABEF 和矩形 CEFD,沿折痕剪开,再将矩形ABEF绕点 E 按顺时针方向旋转，使点 A 与点 D 重合，点F 的对应点为 F'，则图中阴影部分的周长为( )
A.9 B.10 C.16 D.20
10.「2025河南郑州外国语中学期中」某新款茶吧机开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系.当水温降至 20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是( )
A.水温从20℃加热到 100 ℃ ,需要4 min
B.水温下降过程中，y与 x 的函数关系式是 y
C.上午10 点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D.在一个循环周期内水温不低于40 ℃的时间为7 min
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.「2025陕西师大附中月考」如图，l ∥l ∥l ,DE=3,EF=4,AB=2,则BC的长为
12.有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有1，-1，2.把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下卡片的数为a；不放回，在剩余的卡片中再随机抽取一张，记下卡片的数为b，则方程 b=0有解的概率是 .
13.「2024四川眉山中考」已知方程 的两根分别为：x ,x ,则 的值为 .
14.「2025甘肃兰州十一中期中」用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭出这个几何体可能需要 个小立方体.
15.「2025陕西西安月考」如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的树AB 和一棵高6米的树CD，它们都与地面垂直.某一时刻，在太阳光照射下，树AB落在地面上的影子BF 的长为12米，落在小丽家墙上的影子EF的长为2米，另一棵树CD落在地面上的影子 DH 的长为4米，则落在小丽家墙上的影子GH 的长为 米.
16.「2025河南郑州期中」如图,在菱形ABCD 中,AB=3 ,BD = 12,点 M 为 AD 的中点,过点 M 作MN⊥BD,垂足为点N,点 P 为BC上一个动点,过点 P作 PQ∥CD 交 BD 于点 Q,点 O 为 BQ 的中点，连接 OM.当点 P 恰好为 BC 的三等分点时，△OMN的面积为
三、解答题(共72分)(答案含评分细则)
17.「2025四川成都外国语学校期中」(10分)解方程：
(1)2x -4x-5=0.(2)x(x-3)-(2x-6)=0.
18.「2025山东济南章丘期末」(10分)甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好.
(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 .
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好可以组成“文明”一词的概率.
19.(10分)如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，将△OAB 的各边放大到原来的2倍后得到△OA'B',其中A、B在图中格点上,点A、B的对应点分别为A'、B'.
(1)在第一象限内画出△OA'B'，并直接写出点A'、B'的坐标.
(2)若线段AB 上有一点 P(a,b),请直接写出点P在A'B'上的对应点 P'的坐标.
20.「2024四川广元中考」(10分)如图,已知矩形ABCD.
(1)尺规作图：作对角线AC 的垂直平分线，交CD于点 E，交AB 于点 F(不写作法，保留作图痕迹).
(2)连接AE、CF,求证:四边形AFCE 是菱形.
21.「2025陕西西安月考」(10分)某县进行街道改造，用移动围栏围一个矩形(ABCD)安全区域，两面靠墙(AD 位置的墙最大可用长度为27 米，AB 位置的墙最大可用长度为15米)，另两边用移动围栏围成，中间也用移动围栏隔开，分成两个安全场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1个1米宽的门(虚线部分).围成后移动围栏总共用了45米.
(1)若移动围栏围成的矩形(ABCD)的边 CD 的长为8米，则边 BC 的长为 米.
(2)若移动围栏围成的矩形(ABCD)的面积为180平方米，求边 CD的长.
22.(10 分)数学自由且严谨，对于同一个问题，往往可以通过不同的方法解决.例如，如果矩形的面积为4，周长为m，研究这个矩形的面积与周长之间的关系.【任务一】请分别从方程和函数的角度分析、解决问题：是否存在矩形，使周长 m=10 如果存在，请求出该矩形两邻边的长；如果不存在，请说明理由.
(1)从方程的角度.
(2)从函数的角度.设矩形的两邻边的长分别为x，y.从矩形的面积为4 得到 y与x的函数关系式为 从矩形的周长为10得到y与x的函数关系式及x的取值范围是 ，请在同一直角坐标系中将两个函数的图象补充完整，并通过函数图象解决问题.
【任务二】求矩形的周长 m 的取值范围.
23.」(12分)如图1,在矩形ABCD中,AD =nAB,点 M,P 分别在边AB,AD上(均不与端点重合),且AP=nAM,以AP和AM为邻边作矩形AMNP,连接AN,CN.
【问题发现】
如图2,当n=1时,BM 与 PD 的数量关系为 _____ ,CN 与 PD 的数量关系为______
【类比探究】
(2)如图3,当n=2时,矩形AMNP 绕点 A 顺时针旋转，连接 PD，则CN与 PD 之间的数量关系是否发生变化 若不变，请就图3 给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图3说明理由.
【拓展延伸】
(3)在(2)的条件下,已知AD=4,AP=2,当矩形AMNP 旋转至 C,N,M 三点共线时,请写出线段 CN的长，并说明理由.
1. A ∵关于x的一元二次方程( 的一个根是x=0,∴a -4=0.且a+2≠0,解得a=2,故选 A.
2. D由主视图和俯视图可知，几何体的上面部分为圆台，下面部分为圆柱，故选 D.
3. C∵k>0，∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
故选C.
4. A观察统计图可知，该球出现的频率稳定在0.20左右，
所以估计抽到该球的概率为0.20，∵抽到白球的概率为 抽到黄球的概率为 抽到红球的概率为 ∴该球的颜色最有可能是白色,故选 A.
5. B由题意可知
∴ 方程一定有两个不相等的实数根.故选 B.
6. C 选项 A,∵∠C=∠C,∠DEC=∠B=60°,∴ △DEC∽△ABC,故本选项不符合题意;选项 B,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,
∴△CDE∽△CBA,故本选项不符合题意;
选项 C，由图形可知， 但∠B 和∠A 不确定相等,∴ 不能判定△BDE 与△BAC 相似，故本选项符合题意；
选项D,∵∠A=∠A,∠EAB=AD∥C,∴△AED∽△ABC,故本选项不符合题意.故选 C.
7. B 如图:
根据题意可知， 四边形 OAPB 是矩形,∴ 四边形 PMON 的面积=矩形 OAPB 的面积+△OAM的面积+△OBN的面积 故选 B.
8 B如图，
由黄金分割的定义得
∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为(8 -16) cm,故选 B.
9. D 如图,设BD交EF于 G,EF'交 CD 于点H,
由题意知 BE=FD=4,∠B=∠F=90°,∵ ∠BGE=∠FGD,∴ △BGE≌△FGD(AAS),∴ BG=FG,EG=DG,设BG=FG=x,则DG=8-x,在 Rt△FDG中, 即( 解得x=3,∴DG=8-x=5,∵DG∥EH,GE∥DH,∴四边形 DGEH 为平行四边形,又∵EG=DG,∴ DGEH为菱形,∴阴影部分的周长为5×4=20,故选 D.
10. D ∵开机加热时每分钟上升20℃ ,∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为 故 A 选项正确，不符合题意.设水温下降过程中，y与x的函数关系式为 易知点(4，100)在反比例函数y=kx的图象上， 解得k=400，∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是 故 B选项正确，不符合题意.令y=20,则 ∴x=20,∴从开机加热到水温降至 20 ℃需要 20 min，即一个循环为20 min,可知水温y(℃)与通电时间x(min)的函数关系式为
上午10点到10:30共30分钟,30-20=10(min),当x=10时 即此时的水温为40 ℃.40 ℃>38 ℃，故C 选项正确，不符合题意.在加热过程中，水温为40℃时,20x+20=40,解得x=1,在降温过程中,水温为40 ℃时, 解得 x= 10,∵ 10-1=9(min)，∴在一个循环周期内水温不低于40 ℃的时间为9 min,故 D 选项错误,符合题意.故选 D.
11.答案
解析 解得 故答案为
12.答案
解析 画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，若方程 有解，则 结合树状图知，能使方程 有解的情况有3种，
∴方程 有解的概率为
13 答案
解析 ∵ 方程 的两根分别为x ,x ,∴x +
14.答案 7或8或9
解析 根据从正面看和从上面看得到的形状图可知这个几何体有两层.底层有5 个小立方体，顶层最少有2个、最多有4个，∴至少需要的小立方体的个数为5+2=7；至多需要的小立方体的个数为5+4=9.故答案为7或8或9.
15.答案 3
解析 如图,过点 E 作 EM⊥AB 于 M,过点 G 作GN⊥CD于N,则MB=EF=2米,ND=GH,ME=BF=12米,NG=DH=4米.
所以AM=11-2=9(米),CN=6-GH,由平行投影可知 即 解得GH=3米.故答案为3.
16
解析 过点 A作AI⊥BD 于点I(如图1),
∵ BD=12,四边形ABCD 是菱形,
∴AI=3,∵MN⊥BD,AI⊥BD,∴MN∥AI,∴ △DMN∽△DAI,又∵点M 为AD的中点,
分两种情况：如图1，
当 时,∵
∵BD=12,∴BQ=8,
∵点O 为 BQ 的中点,∴
∴ON=OD-ND=8-3=5,
如图2，
当 时， ∴ BQ=4,∵ 点 O 为 BQ 的中点,. ∴OD=10,∴ON=OD-ND=7,∴S△OMN= ON.
综上可知，△OMN的面积为- 或
故答案为 或
17 解析 (x - 1)2 = (3分)
X1 = 1 + , x2 = 1 -. (5分)
(2)x(x-3)-(2x-6)=0,x(x-3)-2(x-3)=0,(x-3)(x-2)=0, (8分)
∴x-3=0或x-2=0,∴x =3,x =2. (10分)
18.解析 (1)由题意知，共有文、明、自、由四张卡片，∴ 抽取卡片上的文字是“文”的概率为\frac{1}{4} (3分)
(2)画树状图如图，
由树状图知，共有12 种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好可以组成“文明”一词的结果有2种， (8分)
∴ 两人抽取的卡片恰好可以组成“文明”一词的概率为 (10 分)
19.解析 (1)如图所示,△OA'B'即为所求.
A'(4,6)、B'(6,2). (7分)
(2)P'(2a,2b). (10分)
20.解析 (1)如图所示.
(5分)
证明:设EF与AC的交点为O,由(1)可知,直线EF是线段 AC 的垂直平分线,∴ EA=EC,FA=FC,∠COE=∠AOF=90°,OA=OC,又∵ 四边形ABCD 是
矩形,∴CD∥AB,∴∠ECO=∠FAO, (7分)
在△COE 和△AOF 中, . △COE≌△AOF(ASA),∴EC=FA,∴ EA=EC=FA=FC,
∴四边形AFCE 是菱形 (10分)
21 解析 (1)当 CD=8 米时,BC=45+3×1-3×8=24(米),故答案为24 (3分)
(2)设边 CD 的长为x 米,则 BC 的长为(45+3-3x)米,依题意得x(45+3-3x)= 180,
整理得 解得 (6分)
当x=6时,45+3-3x=45+3-3×6=30>27,不符合题意，舍去；
当x=10时,45+3-3x=45+3-3×10=18<27,符合题意.(8分)
答:边 CD的长为10米 (10分)
22 解析 【任务一】(1)存在矩形,使周长m=10.
理由：设矩形的长为t，则宽为 ∴t(5-t)=4,解得t=1(舍去)或t=4,∴5-t=5-4=1,∴矩形的长为4，宽为1 (3分)
(2)∵矩形的周长为10,∴2(x+y)=10,∴y=-x+5,∴x的取值范围是0同一直角坐标系中，将两个函数的图象补充完整如下：
(6分)
由图象可知，矩形的长为4，宽为1时，矩形面积为4. (7分)
【任务二】设矩形两邻边的长分别为x,y,∴y=4x,
∴矩形的周长m的取值范围是 m≥8. (10分)
23解析 (1)当n=1时,AD=AB,AP=AM,
∴AD-AP=AB-AM,∴PD=BM,
∵四边形 ABCD 和四边形AMNP 都是矩形,且AD=AB,AP=AM,
∴ 四边形ABCD 和四边形AMNP 都是正方形,
∴AD=CD,AP=NP,∠D=∠APN=90°,
∵ ∠DAC=∠DCA=45°,∠PAN=∠PNA=45°,
∴∠DAC=∠DAN,
∴A、N、C三点在同一条直线上，
故答案为BM=PD;CN= PD. (2分)
(2)CN与 PD 之间的数量关系发生变化， (4分)
理由:在题图1中,当n=2时,AD=2AB,AP=2AM, 在题图3中，连接AC，如图①，
∵矩形 AMNP 绕点 A 顺时针旋转,
∴∠NAC=∠PAD,∴△ANC∽△APD
(3)线段 CN的长为 或 (9分)
理由：如图②，当点 N在线段 CM 上时，连接AC，
∵AD=4,AD=2AB,∴AB=CD=2,
∵AP=2,AP=2AM,∴AM=1,
如图③,当点 M 在线段 CN上时,连接AC,同理可求 综上所述，线段 CN的长为、 或 (12分)