专项突破 2 与正方形有关的常考模型练模型同步练习 （含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

专项突破 2 与正方形有关的常考模型练模型
类型 1 正方形中的“十字模型”
模型解读
分别连接正方形两组对边上的任意两点，得到的两条线段满足：若垂直，则相等.
1.如图,正方形 ABCD 中,E 是 BC 上的一点,连接AE,过B点作 BG⊥AE,垂足为点 G,延长 BG交CD于点 F,连接AF.
(1)求证:BE=CF.
(2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF 的长.
类型 2 过正方形对角线交点的直角模型模型解读
在正方形ABCD中,O为对角线的交点,∠EOF=90°.若∠EOF 绕点 O 旋转,OE,OF 分别与 DA,AB 的延长线交于点 G,H,则△AGO≌△BHO,△OGH是等腰直角三角形， 正方形ABCD·
2.如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,正方形A'B'C'D'的顶点 A'与点O 重合,边A'B'交BC 于点 E,边A'D'交 CD 于点 F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若正方形ABCD 的边长为1，则两个正方形重叠部分的面积为 .
(3)在(2)的条件下,若正方形A'B'C'D'绕着点 O旋转，则EF 的长度何时最小 最小值是多少 请说明理由.
3.「2024湖北巴东期中」如图1,O 为正方形ABCD 对角线的交点,点E,F在正方形边BC,CD上,BE=CF,连接OE,OF,EF.
(1)求证:∠EOF=90°.
(2)如图2,若M 为 CD 的中点,N为 BC 的中点,MN 与 EF 交于点K,请探究点K是否平分EF,说明理由.
类型 3 正方形中的“半角模型”
模型解读
(1)如图1,在正方形ABCD 中,若∠EAF=45°,则①EF=BE+DF;②C△EFC=2AB;③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF;④MN =BM +DN .
(2)如图2,在正方形ABCD中,若∠EAF=45°,则 FA平分∠DFE,EF=DF-BE.
4.「2025陕西启迪中学月考」如图，在正方形ABCD中,若∠EAF=45°,点E在BC 上,点 F 在 CD上,则下列结论:①EF=BE+DF;②C△CEF=2AB;③∠AEF=∠AEB;④∠AFD=∠AFE.其中一定成立的是
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④
类型 4 正方形中的“角平分线+垂直”模型模型解读
在正方形 ABCD 中,点 E 在射线 CB 上,EF 交外角∠DCG的平分线(图1)或其所在直线(图2)于点 F，AE⊥EF,则有AE=EF.
5.如图1,四边形 ABCD 是正方形,E 是边 BC 的中点,∠AEF=90°,且EF 交正方形外角的平分线 CF于点 F,过点 F 作 FG⊥BC 于点 G,连接AC.易证: .(提示:取AB 的中点 N,连接EN)
(1)当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点 E在BC延长线上时，如图3.请直接写出AC，EC，FG 的数量关系，并对图2进行证明.
(2)已知正方形 ABCD 的面积是27,连接AF,当△ABE 中有一个内角为 30°时,AF 的长为
专项突破2 与正方形有关的常考模型
1 解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∵BG⊥AE,∴ ∠BGE=90°,∴ ∠AEB+∠EBG=90°,∵ ∠BAE = ∠EBG,.. △ABE ≌ △BCF (ASA),∴BE=CF.
(2)∵正方形的边长是5,.. AB=BC=CD=5,由(1)得BE=CF,∵BE=2,∴CF=2,∴DF=CD-CF=3,在 Rt△ADF中,
2.解析 (1) 证明:∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,OB=OC.
∵四边形A'B'C'D'为正方形,∴∠EOF=90°,
∵ ∠BOE = ∠BOC-∠EOC = 90°-∠EOC,∠COF =∠EOF-∠EOC=90°-∠EOC,∴∠BOE=∠COF,在△OBE 和△OCF中, △OBE≌△OCF(ASA).∴OE=OF.
(2)根据过正方形对角线交点的直角模型的结论知 详解如下：
△BOE≌△COF,∴ S△BOE =S△COF,∴ S△BOC+S△COF = 即 正方形 ABCD 的边长为1,∴正方形ABCD 的面积为1,∴
∴ 两个正方形重叠部分的面积为 ，故答案为
(3)当OE⊥BC时,EF的长度最小,最小为 理由如下：连接EF，
OE,∴要使EF最小,则OE最小,∵当OE⊥BC时,OE 的长度最小，∴此时EF 的长度最小.
当OE⊥BC时,
综上，当OE⊥BC时，EF 的长度最小，最小为
解析 (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴OB=OC,∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,在△OBE 和△OCF 中, ,
(SAS)
∴∠BOE = ∠COF,∴ ∠BOE + ∠EOC =∠COF+∠EOC,∴∠BOC=∠EOF,
∵∠BOC=90°,∴∠EOF=90°.
(2)点K平分EF.理由:过点E作 EQ⊥BC交直线 MN于点Q，
∵ M 为 CD 的中点,N 为 BC 的中点,∴ MN 是△BCD
的中位线,∴ MN∥BD,∴ ∠MNC = ∠DBC = 45°,
∠NMC = ∠BDC = 45°,∴ ∠ENQ = ∠MNC = 45°,
∵EQ⊥BC, ∴∠QEN=90°,∴ ∠EQN=∠ENQ=45°,
· EN = FM,.. EQ = FM, 在 △KEQ 和 △KFM 中,
∴ KE=KF,即点 K平分 EF.
4. A由正方形“半角模型”的结论知①②③④正确.详解:延长CB 至点 G,使得BG=DF,连接AG,过点A作AH⊥EF 于点H,
·四边形ABCD是正方形,∴AD=AB=BC=CD,∠D=∠ABE=∠ABG=∠BAD=90°,
..△ADF≌△ABG(SAS),∴AG=AF,∠2=∠3,
∴ ∠EAF=45°,∴ ∠1+∠2=∠BAD-∠EAF=45°.
..∠1+∠3=45°,即∠GAE=45°,∴ ∠GAE=∠FAE,
, AE=AE,∴△GAE≌△FAE(SAS),∴ EF=GE,
∵ GE=BG+BE,BG=DF,∴EF=BE+DF,∴①正确.
设正方形的边长为x,即AB=BC=CD=x,
. C△CEF=CE+EF+FC=x-BE+x-DF+BE+DF=2x,
∴②正确.
∵△GAE≌△FAE,∴∠AEF=∠AEB,..③正确;
∵ AH ⊥ EF,∴ ∠AHE = ∠ABE = 90°,∵ AE = AE,∠AEB=∠AEH,∴△AEB≌△AEH(AAS),∴AB=AH,··AD =AB, ∴AH = AD,∵ AF =AF,∴ Rt△AHF≌Rt△ADF(HL),∴∠AFD=∠AFE,∴④正确.
综上,正确的有①②③④,故选 A.
题图3中，结论： .对题图2中结论的证明过程如下:在AB上截取 BM=BE,连接EM,如图,
. 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠B=∠BCD=90°,AB=BC,∴∠DCG=90°,∠EAM+∠AEB=90°,∵ BM=BE,∴AB-BM=BC-BE,∠BME=∠BEM=45°,∴AM=EC,∠AME=135°,
∵CF平分∠DCG,∴∠FCG=45°,∴∠ECF=135°,
∴ ∠AME=∠ECF,∴ ∠AEF=90°,∴ ∠FEC+∠AEB=90°,∴ ∠EAM = ∠FEC, 在 △AEM 和 △EFC 中,
,∵EM= BE,CF= FG,∴BE=FG,
(2)当∠BAE=30°时,∵ 正方形的面积为27,∴AB=3 ,∠B=90°.在 Rt△ABE 中, BE ,∴BE=3,∴AE=2BE=6,在AB上截取 BM=BE,连接 EM(图略),由(1)知△AEM≌△EFC,∴AE=
当∠AEB=30°时,同理可得 AE= EF = 2AB =6 综上所述，AF 的长为6 或6