1.2 矩形的性质与判定 同步练习 （3课时，含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.2 矩形的性质与判定
矩形的性质
基础夯实
知识点1 矩形的定义
1.如图，在四边形ABCD 中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 .
知识点 2 矩形边、角的性质
2.「2024陕西中考」如图,四边形ABCD 是矩形,点 E 和点 F 在边 BC上,且BE=CF.求证:AF=DE.
3.如图,在矩形ABCD中,点 M 在边 DC上,AM=AB,且 BN⊥AM,垂足为点 N.
(1)求证:AN=DM.
(2)若AD=3,AN=4,求矩形ABCD 的面积.
知识点 3 矩形对角线的性质
4.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点 O，则下列结论一定正确的是( )
A. AB=AD B. AC⊥BD
C. AC=BD D.∠ACB=∠ACD
5.「2024甘肃中考」如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
6.「2025四川成都实验中学月考」如图，在矩形ABCD 中，AB=6,BC=8.对角线AC,BD 相交于点 O.点 E,F分别是AO,AD的中点,连接EF,则△AEF 的周长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
7.「2025陕西蓝田期中」如图，已知矩形ABCD，过点C作CE∥BD交AB 的延长线于点 E.求证:AC=EC.
知识点4 直角三角形斜边上的中线的性质
8.「2025吉林长春期末」如图,∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,AD 与 BC 相交于点 F.若∠CED=56°,则∠DCE的度数是 ( )
A.56° B.62° C.63° D.72°
9.如图所示，矩形ABCD的对角线AC 和 BD 相交于点O，过点 O 的直线分别交AD、BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 .
10.如图,∠MEN=90°,矩形ABCD的顶点 B,C 分别是∠MEN 两边上的动点,已知BC=10,CD=5,则点D,E之间距离的最大值是 .
11.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由数学家刘徽创建的.“如果将一个几何图形任意切成多个小图形，那么几何图形的总面积等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC 与 BD交于点 O,点 E 为 BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为 F,G,则EF+EG= .
素养提优
12.阅读材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图(1)，任意∠ABC可被看作是矩形 BCAD 的对角线 BA 与边BC的夹角，以B 为端点的射线BF交CA 于点 E，交 DA 的延长线于点 F.若 EF=2AB,则射线 BF 是∠ABC的一条三等分线.
证明:如图(2),取EF的中点G,连接AG,∵四边形 BCAD 是矩形,∴∠DAC=90°,AD∥BC.在 Rt△AEF中,点G是EF的中点,.
任务一：上面证明过程中得出 的依据是 .
任务二：完成材料证明中的剩余部分.
任务三：如图(3)，在矩形ABCD 中，对角线AC的延长线与∠CBE 的平分线交于点 F,若 BF = AC,CF=4,请直接写出 BF 的长.
矩形的判定
基础夯实
知识点 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图,在 ABCD 中,E,F 为 BC 上两点,且 BE=CF,AF=DE.求证:四边形 ABCD 是矩形.
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
2.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD 为矩形的是 ( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C. AC=BD D. AC⊥BD
3.在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,OA=OC.
小壮说:“若OA=OB,则四边形ABCD 为矩形.”
小刚说:“若∠ABC=∠BCD,则四边形 ABCD 为矩形.”
小强说:“若∠1=2∠2,则四边形ABCD 为矩形.”请判断三人的说法是否正确并任选其一进行证明.
知识点 3有三个角是直角的四边形是矩形
4.如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是 ( )
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
5.「2025山东济南商河期中」如图,在 ABCD 中,CE⊥AB,AF⊥CD,垂足分别为 E,F,求证:四边形AECF是矩形.
能力提升：
6.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是 ( )
7.如图，在四边形ABCD中,连接AC,BD,点E,F,G,H分别为AD,BD,CB和AC的中点,顺次连接EF,FG,GH 和HE得到四边形EFGH.若AB⊥CD,AB=8,CD=12,则四边形EFGH 的面积等于 ( )
A.36 B.32 C.24 D.20
8.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12,BC=5,点 P 是边 AB 上任意一点,过点P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为点 D,E,连接DE，则 DE 的最小值是 ( )
A. B.
C. D.
9.如图，在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点 O,动点 E 以每秒1个单位长度的速度从点 A 出发沿AC 方向运动，点F 同时以每秒1 个单位长度的速度从点 C出发沿 CA 方向运动,若AC=12,BD=8,则经过 秒后,四边形 BEDF 是矩形.
10.如图,在△ABC中，O是边 AC上的一个动点，过点 O 作直线 MN∥BC,交∠ACB 的平分线于点E,交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点 F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若CE=12,CF=5,求 OC 的长.
(3)连接AE，AF，当点O 在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形 请说明理由.
素养提优
11.新课新意识 新实践操作题某数学兴趣小组，准备将一张三角形纸片(如图)进行如下操作，并进行猜想和证明.
(1)用三角尺分别取AB,AC 的中点 D,E,连接DE,画AF⊥DE 于点 F,请按此要求作图.
(2)将(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形(无缝隙无重叠)，并用三角尺画出示意图.
(3)请判断(2)中所拼的四边形的形状，并说明理由.
矩形的性质与判定综合
基础夯实
知识点 矩形的性质与判定综合
1.「2024山西晋中寿阳月考」如图, ABCD 中,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,BF∥CE,CF∥BE.
(1)求证:四边形 BECF 是矩形.
(2)若∠ABC=60°,BC=6,求四边形BECF 的周长.
能力提升
2.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,且有一点 P 从B 点沿 BD 往D 点移动，若过P点作 AB 的垂线交 AB 于 E 点，过 P 几何画板演示点作AD 的垂线交AD 于 F 点，则EF长的最小值为( )
A1 B.4 C.5 D.7
3.「2024甘肃兰州中考, ☆☆」如图,在△ABC中,AB=AC,D 是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
(1)求证:四边形 ADCE 是矩形.
(2)若BC=4,CE=3,求 EF 的长.
4.「2025 浙江金华横店八校联考，能」在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E、F 是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 t秒，其中0≤t≤10.
(1)若 G,H 分别是 AD,BC 的中点,则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F 相遇时除外)
答: .(直接填空，不用说理)
(2)在(1)的条件下,若四边形 EGFH 为矩形,求t的值.
(3)在(1)的条件下,若 G 向 D 点运动,H 向 B 点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，则求四边形 EGFH 为菱形时t的值.
2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
基础夯实
I 答案 ∠A=90°(答案不唯一 )
解析 添加的条件可以是∠A=90°(答案不唯一).理由:∵AB∥DC,AD∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形,又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.
2.证明 ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AB=CD,∠B =∠C=90°,∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
在△ABF和△DCE中, .. △ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.
3 解析 (1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,∴∠BAN=∠AMD.∵ BN⊥AM,∴∠BNA=90°.
在△ABN和△MAD中,
.△ABN≌△MAD(AAS),∴AN=DM.
(2)∵ △ABN≌△MAD,∵ BN=AD=3.
在 Rt△ANB 中,
4. C ∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD,∠ADC=90°,AD= =AD,∠ACB=∠ACD 不一定成立,AC=BD 一定成立,故选 C.
5. C ··四边形ABCD为矩形,对角线AC,BD 相交于点O,AB=2,∴OA=OB=OC=OD,
··∠ABD=60°,..△OAB 为等边三角形,
.. OA=OB=AB=2,∴ OC=OA=2,∴AC=OA+OC=4,故选C.
6. D ··四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC=8,∠BAD=90°,OB=OD=OA=OC.
在 Rt△BAD中,∵ . OD=OA=OB=5,∵E、F 分别是 AO,AD 的中点, 的周长为9,故选 D.
7 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形,∴BD=AC,CD∥BE,又∵CE∥BD,∴四边形 DBEC是平行四边形,∴BD=EC,∴AC=CE.
8. B ∵∠ACB=∠ADB=90°,E 为 AB 的中点,∴△ACB和△ADB 均为直角三角形，且点 E 是公共斜边 AB 的中点，∴ EC = ED = AB, ∴ ∠DCE = ∠CDE,∵∠CED = 56°, ∠CED + ∠DCE + ∠CDE = 180°,∴∠DCE=62°,故选 B.
能力提升
9.答案 3
解析 ∵ 四边形ABCD 是矩形,
∴OA=OC,AD∥BC,∴ ∠AEO=∠CFO,∵ ∠AOE=∠COF,∴ △AOE≌△COF,则
10.答案
解析 如图,取 BC 的中点 F,连 M接EF、FD.∵∠MEN=90°,∴EF= 四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BCD = 90°,∴ FD = ∵EF+DF≥ED,..当D,E,F三点共线时,ED 取得最大值，∴ED的最大值=
11.解析 连接OE，
∵四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∵AB=5,BC=12,∴ AC=
故答案为
素养提优
12.解析 任务一：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
任务二:剩余部分如下:∵EF=2AB,∴AB=AG,∴∠ABG=∠AGB,∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F,· · AD∥BC,∴ ∠F = ∠CBF,∴ ∠ABG =2∠CBF,∴∠ABC=3∠CBF,∴射线 BF 是∠ABC 的一条三等分线.
任务三：
详解:取AC的中点H,连接BH,过点C作CG⊥BF于点C
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,
··点 H 是 AC 的中点,∴AH=CH=BH,∴ ∠HAB =∠HBA,设∠HAB=∠HBA=x,∴∠BHF=2x,∵ BF= AC,∴ BH= BF,∴ ∠F=∠BHF =2x, . ∠CBE =90°,BF 平分 ∠CBE,∴ ∠FBE = ∠CBF = 45°,∵∠FBE=∠HAB+∠F,∴x+2x=45°,.. x= 15°,..∠F=30°,∵ CG⊥BF,CF=4,∴CG=2,∴ FG=2 ,∵∠CBF=45°,∴∠BCG=45°,∴CG=BG=2,∴BF=BG+FG=2+2
第2课时 矩形的判定
基础夯实
1.证明 . BE=CF,.. BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
. 四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=DC.
又∵ AF=DE,∴△ABF≌△DCE(SSS).∴∠B=∠C.
··四边形ABCD 是平行四边形，
.. AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.
..平行四边形ABCD 是矩形(矩形的定义).
2. D 选项A,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠A=90°时，平行四边形ABCD 是矩形，故选项 A 不符合题意;选项 B,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,..∠B+∠C=180°,当∠B=∠C 时,∠B=∠C=90°，此时 ABCD为矩形，故选项 B不符合题意；选项C,∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ 当AC=BD时,平行四边形ABCD 是矩形，故选项 C不符合题意；选项D,, 四边形ABCD 是平行四边形,∴ 当AC⊥BD时,平行四边形 ABCD 是菱形,∴ 选项 D 不能判定 ABCD为矩形，故选项 D 符合题意.故选 D.
3.解析 三人的说法都正确.
①选择小壮的说法证明，过程如下：
证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,又∵OA=OC,∴△AOD≌△COB,.. OD=OB= BD,又 ∴四边形 ABCD 为平行四边形.∵OA=OB,.. AC=BD,∴四边形ABCD 是矩形.
②选择小刚的说法证明，过程如下：
证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,又∵ OA=OC,..△AOD≌△COB,∴OD=OB,∴四边形ABCD为平行四边形,.. AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠ABC=∠BCD,∴2∠ABC=180°,..∠ABC=90°,∴四边形ABCD为矩形.
③选择小强的说法证明，过程如下：
证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,又∵OA=OC,∴△AOD≌△COB,.. OD=OB,∴四边形ABCD为平行四边形,∴ ∠1=∠2+∠OBC,∠1=2∠2,.∠2=∠OBC,∴OB=OC,.. OA=OD,.. OA+OC=OB+OD,即AC=BD,..四边形ABCD为矩形.
4. C选项A，测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；选项 B，测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；选项C，测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意；选项 D，测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意.故选 C.
5.证明 CE ⊥AB,AF⊥CD,.. ∠AEC = ∠AFC =∠AFD=90°,∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,.. ∠FAE = ∠AFD = 90°, ˙ ∠AEC = ∠AFC =∠FAE=90°,∴四边形AECF 是矩形.
能力提升
6. A 选项A,∴ AD=BC=4,AB=CD=3,∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项 A符合题意；选项B,∵ ∠A=∠B=∠D=90°,∴ 四边形ABCD 是矩形,故选项B不符合题意;选项 C,∵ ∠A=∠B=90°,∠A+∠B=180°,. AD∥BC,∵ AD=BC=4,∴四边形ABCD 是平行四边形,又∵∠A=90°,平行四边形ABCD为矩形,故选项 C不符合题意;选项 D,∵AB=CD=3,AD=BC=4,∴四边形 ABCD 是平行四边形,。 C 是直角三角形，且∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD 是矩形,故选项 D不符合题意.故选 A.
7 C ∵点E,F 分别为AD,BD的中点,∴ EF 是△ABD的中位线，
同理可得 EH∥CD,GH= AB=4,GH∥AB,∴EF∥GH,EF=GH,
·四边形 EFGH 为平行四边形，
, AB⊥CD,.. EF⊥EH,∴平行四边形 EFGH 为矩形,
∴ 四边形 EFGH 的面积为6×4=24,故选 C.
8. B 如图,连接CP,作CQ⊥AB于点 Q,
∵ ∠ACB=90°,AC=12,BC=5,
PE⊥BC,垂足分别为点 D,E,∴ ∠PDC =∠PEC=∠DCE=90°,∴ 四边形 PECD 是矩形,∴ CP =DE,.当CP 与CQ 重合时,CP 的长最小,此时 DE 的长最小,. ∴ DE 的最小值为6013,故选 B.
9.答案 2或10
解析 设运动的时间为t秒，
··四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,
∴OE=OF=6-t或OE=OF=t-6,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，易知当EF=BD时,四边形BEDF 是矩形,
∴OE=OD,∴6-t=4或t-6=4,∴t=2或t=10,
∵ .经过2秒或10秒后,四边形 BEDF 是矩形,故答案为2或10.
10.解析 (1) 证明: ∵ CE 平 分∠ACB, . . ∠ACE=∠ECB,
∵MN∥BC,. ∠ECB=∠OEC,..∠ACE=∠OEC,
.. OE=OC.同理可得OC=OF,∴OE=OF.
(2)∵CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD,
∵ ∠ACB+∠ACD=180°,
180°=90°,
即OC的长为6.5.
(3)当O在AC 的中点处时,四边形AECF 是矩形.
理由：
当O为AC中点时,OA=OC,
由(1)可知,OC=OE=OF,∴OA=OC=OE=OF,∴四边形 AECF为平行四边形,AC=EF,
·平行四边形AECF 为矩形.
素养提优
11.解析 (1)如图①.
如图②.
(3)矩形.理由如下：如图，·∠MDB+∠BDE= 180°,∠DEC+∠NEC=180°,
∴点 M、D、E、N 在同一条直线上,∵ D、E分别是AB、AC 的中点,∴ DE为△ABC的中位线,.. 易知MD+EN=DE,∴MN=MD+DE+EN=2DE=BC,
∴四边形 MBCN为平行四边形，
由题意可得△MDB≌△FDA,△AFE≌△CNE,
∴∠N=∠AFE,∵AF⊥DE,∴ ∠AFE=90°,∴∠N=90°,∴ 四边形 MBCN 为矩形.
第3 课时 矩形的性质与判定综合
基础夯实
1.解析 (1)证明:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四边形 BECF是平行四边形，
· · BE 平分∠ABC, CE 平分 ∠BCD,· ∠EBC =
·四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,∠ABC+∠BCD=180°, ..∠BEC=90°,∴ 平行四边形 BECF 是矩形.
(2)∵BE平分∠ABC,∠ABC=60°,∴ ∠EBC=30°,由(1)可知,∠BEC=90°,∴CE= BC=3,∴BE=
∵四边形BECF是矩形,∴CF=BE=3 ,BF=CE=3,
∴四边形 BECF 的周长=2(BE+CE)= 2BE+2CE=
能力提升
2. B 如图,连接AP、EF,
··PE⊥AB,PF⊥AD,..∠AEP=∠AFP=90°.
··四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°.
..四边形AEPF 为矩形.∴AP=EF.: 要求 EF 长的最小值就是求 AP长的最小值.
∵ 点 P 从 B 点沿 BD 往 D 点移动,∵ 当AP⊥BD 时,AP 长取最小值.
在 Rt△BAD中,∴ ∠BAD=90°,AB=6,AD=8,
当AP⊥BD 时, EF 长的最小值为
3.解析 (1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°,∵ CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90°,∴AE⊥AD,∴∠EAD=90°,∵ ∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,∴ 四边形 ADCE 是矩形.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,D 是 BC 的中点,BC=4, 由(1)可知四边形ADCE 是矩形,∴AE=CD=2,∠AEC=90°.在 Rt△AEC中,AE=2,CE=3，由勾股定理得.
解析 (1)四边形 EGFH 是平行四边形
详解:由题意得AE=CF=t,∵ 四边形 ABCD 是矩形,. AD∥BC,AD=BC,∴∠GAE=∠HCF,∵G,H分别是AD,BC的中点,∴ ..△AEG≌△CFH(SAS),∴EG=FH,∠AEG=∠CFH,..∠FEG=∠EFH,∴EG∥HF,..四边形EGFH是平行四边形.
(2)如图1,连接GH,
由(1)得AG=BH,AG∥BH,∠B=90°,∴四边形ABHG是矩形,∴GH=AB=6.当四边形 EGFH是矩形时,EF=GH=6,∵AE=CF=t,∴EF=10-2t=6或EF=t+t-10=2t-10=6,∴t=2或t=8.
综上,四边形EGFH为矩形时,t=2或t=8.
(3)如图2,M和N分别是AD和BC的中点,连接AH,CG,GH,AC与GH交于O,
··四边形 EGFH 为菱形,∴ GH⊥EF,OG=OH,OE=OF,∴ OA =OC,AG=AH,∴ 四边形 AGCH 为菱形,∴AG=CG.设AG=CG=x,则DG=8-x,由勾股定理可得 即 解得 即 当 时，四边形EGFH 为菱形.