2.6 应用一元二次方程同步练习 （2课时，含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程的应用(一)
基础夯实：
知识点 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤及平均增长(降低)率问题
1.「2024四川内江中考」某市2021年年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是 ( )
A.0.64(1+x)=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69
2.「2025云南昭通期中改编」某平台销售的宣威火腿初始价格为 150 元/千克，经连续两次降价后价格为121.5元/千克，并且两次降价的百分率相同.
(1)求每次降价的百分率.
(2)如果第三次降价保持前两次降价的百分率，那么第三次降价后宣威火腿的价格是多少
知识点 2 数字问题
3.如图，在某月历表上用一个矩形圈出9个数(如6，7,8,13,14,15,20,21,22).若按图中方式圈出的9个数中，最大的数与最小的数的积为 192，则这9个数的和为 .
知识点 3 单、双循环问题
4.「2025云南昆明期中」某学校为选拔篮球运动员，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场.根据场地和时间等条件要安排45 场比赛，组织者应邀请多少个队参赛 设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为 ( )
C. x(x-1)=45
5.「2025江西南昌期中」要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式(每两个队之间赛两场)，计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛
知识点 4 分裂、传播问题
6.「2024湖北武汉新洲月考」某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为133.设主干长出x个支干，则下列方程正确的是 ( )
7.「2025广东深圳期中节选」为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务活动”.假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的 m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”，求出m的值.
能力提升：
8.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万，4月份游客人数为2.5万.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率.
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21 日已接待游客2.125万人，则5 月份后 10 天日均接待游客人数最多是多少万
素养提优
9.新某班共有48名同学，若每两名同学之间都通过且仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢 我们可以用下面的方式来解决问题.
用点A 、A 、A 、…、A 分别表示第 1名同学、第2名同学、第3名同学、……、第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图所示的模型表示：
(1)第四个图中y 的值为 ，第五个图中y的值为 .
(2)通过探索发现，通电话次数y 与该班级人数x之间的关系式为 ，当x=48时，对应的y= .
(3)若九年级一班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生
第2课时 一元二次方程的应用(二)
基础夯实
知识点 1 几何图形问题
1.「2025广东深圳月考」如图，矩形ABCD 是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB 的长为40 m，边 BC的长为25 m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200 m ，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度.设人行通道的宽度为 xm，则下列方程正确的是 ( )
A.(40-3x)(25-2x)=200
B.(40-4x)(25-2x)=600
D.40×25-80x-100x=600
知识点2 销售问题
2.根据教材变式「2024辽宁中考」某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65
日销售量y/件 … 55 45 35
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)该商品日销售额能否达到2 600元 如果能，求出每件商品的售价；如果不能，说明理由.
知识点 3 动点问题
3.图形教材变式 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC= 10 cm,BC=8cm.现有两个动点P,Q 分别从点A 和点B 同时出发,点 P 以 1 cm/s的速度沿 AB 向终点 B 移动,点 Q 以 2cm /s 的速度沿 BC 向终点 C 移动,其中一点到终点时，另一点也随之停止.连接PQ，经过多长时间 P，Q两点之间的距离为
能力提升
4.「2025河南汝州期中，☆☆」某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；售价在50元/千克的基础上每千克每涨1元，月销售量就减少10千克.
(1)当售价为 55 元/千克时，每月销售该水果 千克.
(2)当月利润为8 750元时，每千克水果的售价为多少元
(3)该水果的月利润能达到10 000元吗 请说明理由.
5.「2025山西大同期中, ☆」2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，如图所示的是定制的水杯包装盒的表面展开图，已知该包装盒的长为15 cm，设包装盒的高为x cm.
(1)若此包装盒的体积为 1 500 cm ,请列出关于x的方程，并求出x的值.
(2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的体积为1 560 cm 若存在,请求出相应的x的值;若不存在，请说明理由.
素养提优
6.如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点 P,Q 分别从点A,C同时出发,点 P 以3cm/s的速度向点B 移动,点 Q 以2cm /s的速度向点 D 移动,当 P 到达点 B时，两点停止运动.
(1)P，Q两点出发几秒时，四边形 PBCQ 的面积为33 cm
(2)P，Q两点出发几秒时，点P 和点 Q 的距离第一次是10 cm
见答案册D27
微专题围墙问题
例题 「2024辽宁沈阳大东期中」如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园ABCD(AB变式1 如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为 ( )
A.5m 或6m B.2.5m 或3m
C.5m D.3m
变式2 【“L”型】某农场要建一个饲养场(矩形ABCD)，两边靠现有墙(AD位置的墙最大可用长度为27米，AB 位置的墙最大可用长度为15 米)，另两边用木栅栏围成，中间也用木栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栅栏).建成后木栅栏的总长为45米.若饲养场的面积为180平方米，则饲养场(矩形ABCD)的一边AB的长为 米.
第1课时 一元二次方程的应用(一)
基础夯实
1. B 由某市2021年年底森林覆盖率为64%,2023 年年底森林覆盖率已达到69%可列方程为 0.69,故选 B.
2.解析 (1)设每次降价的百分率为x，由降价后价格为121.5元/千克，并且两次降价的百分率相同，
可列方程为
解得 (舍).
答：每次降价的百分率为 10%.
(2)∵保持前两次降价的百分率，
∴第三次降价后宣威火腿的价格是121.5×(1-10%)=109.35元/千克.
3 答案 144
解析 设圈出的9个数中最小的数为x，则其他的数分别为x+1,x+2,x+7,x+8,x+9,x+14,x+15,x+16,根据题意，得.x(x+16)=192,整理，得. 解得 (不合题意，舍去)，
∴x+(x+1)+(x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)+(x+14)+(x+15)+(x+16)=9x+72=144.
4. A利用比赛的总场数=参数队伍数×(参赛队伍数-1)÷2，可列出关于x 的一元二次方程为 故选 A.
5.解析 设应邀请x个球队参加比赛.
根据题意得x(x-1)=30,整理得: 解得 (不符合题意，舍去).
答：应邀请6个球队参加比赛.
6.8·某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，且主干长出x个支干，∴x个支干上一共长出x 个小分支.根据题意得 故选 B.
7解析 依题意得1+m+(1+m)m=121,整理得(1+ 解得 ((不合题意，舍去).答:m的值为10.
能力提升
8 解析 (1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x.由题意可得 解得 (不合题意，舍去).
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万，由题意可得2.125+10a≤2.5(1+25%),解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万.
素养提优
9.解析 (1)10;15.
当x=48时
故答案为 1 128.
(3)设该班共有 m名女生.依题意，得 化简，得 解得 (不合题意，舍去).
答：该班共有20名女生.
第2课时 一元二次方程的应用(二)
基础夯实
1. B∵人行通道的宽度为x m，∴每个展位的长为(25-2x)m,宽为 依题意得 200,即(40-4x)(25-2x)= 600.故选 B.
2解析 (1)设一次函数的关系式为y= kx+b(k≠0),
∴所求函数关系式为y=-x+100.
若销售额为2 600元，
则有
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2 600 元.
3解析 设经过t s时P，Q 两点之间的距离为4 em,.∠B=90°,AC=10 cm,BC=8cm,
由题意得，移动 ts时，BP=(6-t) cm,BQ=2t cm.
即(6- 解得t=2或t=0.4.
答:经过2 s 或 0.4 s时,P,Q 两点之间的距离为4 cm.
能力提升
4.解析 (1)500-10×(55-50)=450(千克).
故答案为450.
(2)设每千克水果售价为x元.
由题意得(x-40)[500-10(x-50)]=8750,解得
答：每千克水果的售价为65 元或75 元.
(3)该水果的月利润不能达到10000元.理由如下：
设每千克水果的售价为m元，由题意得(m-40)[500-
10(m-50)]=10000,整理得
∴△=-400<0,∴此方程没有实数根,
∴该水果的月利润不能达到10 000 元.
5.解析 (1)已知包装盒的高为x cm,长为15 cm,由题图得包装盒的宽为
∵此包装盒的体积为 1 500 cm ,
∴(20-x)×15x=1500,解得
∴x的值为10.
(2)不存在.理由如下：
依题意得((20-x)×15x=1560.
整理得
..此方程没有实数根，
∴不存在这样的x 的值，使得此包装盒的体积为1 560 cm 。
素养提优
6.解析 设运动时间为 ts，则PB=(16-3t) cm,CQ=2t cm.
(1)依题意，得 解得t=5.
答：P，Q两点出发 5 秒时，四边形PBCQ 的面积为33 cm .
(2)过点 Q 作 QM⊥AB于点 M,如图.易知 PM =|PB-CQ|=|16-5t| cm,QM=6cm,
当 PQ=10 cm 时,易知 PQ 与 AB 不垂直，此时 即 解得 (不合题
意，舍去).
答：P，Q两点出发 秒时，点P 和点 Q 的距离第一次是 10 cm.
微专题 围墙问题
例题 答案 15
解析 设AB 的长为x米,则 BC 的长为(54-2x)米,根据题意,得x(54-2x)=360,整理得 解得x =12,x =15.当x=12时,54-2x=54-2×12=30>28,不合题意,舍去;当x=15时,54-2x=54-2×15=24<28,符合题意，∴AB 的长为15米.
变式1 C 设 BC的长为xm,则AB 的长为 x)m，根据题意得 解得x=5或x=6>5.5(舍去),所以BC的长为5m ,故选 C.
变式2 答案 10
解析 设饲养场(矩形ABCD)的一边AB 的长为x米，则饲养场与AB 相邻的一边BC=(45+3)-3x=(48-3x)米,
根据题意,得x(48-3x)=180,解得
由题意得0<48-3x≤27,0..7≤x≤15,∴x=10.故答案为10.