2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程
基础夯实
知识点 1 用因式分解法解一元二次方程
1.「2025广西防城港期中」方程(x-1)(x+3)=0的根是( )
2.「2024贵州中考」一元二次方程 的解是( )
3.「2025天津南开期中」已知一元二次方程的解为 则这个方程可以为 ( )
A.(x-3)(x+4)=0 B.(x+3)(x-4)=0
C.(x+3)(x+4)=0 D.(x-3)(x-4)=0
4.若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数,则x的值为 ( )
A.1或3 B.-1或-3 C.1或-1 D.3或-3
5.「2025河北任丘期中」下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
答案解：
方程两边同时除以(x+3),得2(x+3)=x. … 第一步
去括号,得2x+6=x. 第二步
移项、合并同类项，得x=-6. 第三步
任务一：以上解方程的过程，从第 步开始出现错误，错误的原因是 .
任务二：请你写出正确的解答过程.
见答案册D22
6.用因式分解法解方程：
(2)「2025河南平顶山期中」7x(5x+2)=6(5x+2).
(3)「2025河南内乡期中
(4)「2025黑龙江海伦期中」
知识点2 灵活选择方法解一元二次方程
7.解下列方程：①3x -27=0;②x -3x-1=0;③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x-1) =3x-1.:最适当的解法是( )
A.依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B.依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C.①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法
D.①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
8.用合适的方法解下列方程：
能力提升
9.一元二次方程的两个根恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 ( )
A.10 B.10或8 C.9 D.8
10.若实数m、n满足 则 的值为( )
A.2 B.6 C.6或-2 D.6或2
11.如图,E 为矩形 ABCD 对角线AC上的一点,AE=AB=3,AD=4,则方程: 6x-16=0的正数解是 ( )
A.线段AE 的长 B.线段BE 的长
C.线段 CE 的长 D.线段AC的长
12. 这就是说，对于二次三项式 若能找到两个数a,b,使 就有 ab=(x+a)(x+b).这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项系数”，即a，b的乘积等于常数项，a，b的和为一次项系数，利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程.
素养提优
13.新课标运算能力 对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※
例如:∵4>1,∴4※1=4×1-1 =3.
(1)计算:2※(-1)= ,(-1)※2=
(2)若x 和x 是方程 的两个根，且 ,求x ※x 的值.
(3)若x※2与3※x的值相等,求x的值.
14.阅读材料，并完成相应的任务.
答案解含绝对值的方程：
解：分两种情况：
当x≥0时，原方程可化为 解得x=6或x=-1(舍去).
当x<0时，原方程可化为 解得x=-6或x=1(舍去).
综上所述，原方程的解是
任务：请参照上述方法解方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
基础夯实
1. C . (x-1)(x+3)=0,∴x-1=0或:x+3=0,∴x =1, 故选 C.
2. B x -2x=0,x(x-2)=0,则x=0或x-2=0,解得x;= 故选B.
3. A.方程的解为
..方程可以为(x+4)(x-3)=0,故选A.
4. A ∵代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数,
∴x(x-1)+3(1-x)=0,即(x-3)(x-1)=0,
∴x-3=0或x-1=0,解得x=3或x=1.故选A.
5.解析 任务一：从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以一个值可能为0的代数式(x+3).
任务二：移项得
∴(x+3)[2(x+3)-x]=0,则(x+3)(x+6)=0,
6解析 (1)y -2y-35=0,(y-7)(y+5)=0,∴y-7=0或y+5=0.
解得
(2)原方程整理得7x(5x+2)-6(5x+2)=0,
∴(7x-6)(5x+2)=0,
∴7x-6=0或5x+2=0,解得
(3)x -1=3(x+1),(x+1)(x-1)-3(x+1)=0,
∴[(5x-2)+3(x+3)][(5x-2)-3(x+3)]=0,
∴(8x+7)(2x-11)=0,解得
没有一次项，适合用直接开平方法； ，一次项系数为奇数，适合用公式法；③(x+2)(x+4)=x+2,方程两边都有因式(x+2),适合用因式分解法；( 方程两边都有因式(3x-1)，适合用因式分解法.故选D.
方法解读选用合适的方法解一元二次方程
若方程易化为 的形式，则选用直接开平方法；若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则选用配方法；若将方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则选用因式分解法；若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则选用公式法.
8.解析 17
(2)整理得 则a=2,b=-7,c=3,
即3(x+1)=2x-5或:3(x+1)=-(2x-5),
即
能力提升
9. A x -6x+8=0,(x-4)(x-2)=0,所以x-4=0或x-2=0,解得 因为：2，2，4无法作为三角形的三边长，所以这个等腰三角形的腰长为4，底边长为2，所以这个三角形的周长为4+4+2=10.故选 A.
易错提示 解出方程的解后要考虑是否满足三角形三边关系，
10 B 设 则原方程可化为 (y-6)(y+2)=0,解得y =6,y =-2,
因为 所以 的值为6.故选B.
11. Cx +6x-16=0,(x-2)(x+8)=0,∴x-2=0或x+8=0,解得x=2 或x=-8.∵ 四边形 ABCD 是矩形,AE=AB=3,.. BC=AD =4,∠ABC =90°,.. AC =√AB +BC =5,∴ CE=AC-AE=5-3=2.∴方程 6x-16=0的正数解是线段 CE 的长.故选 C.
12解析 (1)∵x -3x-4=0,∴(x-4)(x+1)=0,
.. x-4=0或
(2)∵x +4x-5=0,∴(x+5)(x-1)=0,
∴x+5=0或
素养提优
13 解析 (1)由题意知2※(-1)=2×(-1)-(-1) =-2-1=-3.
(-1)※2 故答案为-3;6.
(2)解方程 得x=-1或x=7.因为 所以 所以x ※ ※
(3)由题意知x※2=3※x.当x<2 时,有 x ，整理得 解得 (舍去).
当2≤x≤3时,有 整理得 解得 (舍去).
当x>3时,有 整理得 解得： l(舍去),x =4.
综上所述，x的值为1或 或4.
14.解析 分两种情况：
当x≥0时，原方程可化为 解得x=2或x=-1(舍去).
当x<0时，原方程可化为 解得x=-2或x=1(舍去).
综上所述，原方程的解是