2.2 用配方法求解一元二次方程同步练习（含答案） 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法解简单的一元二次方程
基础夯实
知识点 1 用直接开平方法解一元二次方程
1.「2025山西运城实验中学期中」关于y的一元二次方程 的解是 ( )
A. y=2
2.关于x的方程 无实数根，那么m满足的条件是 ( )
A. m>2 B. m<2 C. m>1 D. m<1
3.解方程：
(1)「2025江苏靖江期中」
(2)「2025江苏靖江期中」
(3)「2024江西萍乡期末」
知识点2用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程
4.「2024山东东营中考」用配方法解一元二次方程 2x-2023=0,将它转化为( 的形式，则a 的值为 ( )
A.-2024 B.2 024 C.-1 D.1
5.填上适当的数，使下列等式成立：
6.「2024山西晋中寿阳月考」下面是王磊同学用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：
， 第一步
x2 + 4 x + 4 = 1 + 4 , 第二步
(x + 4)2 = 5 , 第三步
x + 4 = ± , 第四步
X1= - 4 +, x2 = - 4 -. 第五步
任务一：
①以上解题过程中，第二步的依据是 ;
②第 步开始出现错误.
任 务 二：该方 程 正 确 的 根 为 `
7.用配方法解下列方程：
(1)「2025甘肃兰州期中
8. 配方后得到方程 则 c的值为 ( )
A.-3 B.0 C.3 D.9
9.如图所示的是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为 ( )
10.定义新运算：对于任意实数m，n，都有 等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算.例如：(-3) 2= 若x 4=20,则x的值是
11.如图，公园原有一块长18 m，宽6m 的矩形空地，后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开.如果各区域鲜花面积和为85 m ，求所铺设的石子路的宽度.
12.阅读下列解一元二次方程的方法，并解决问题：
解方程:x(x-2)=3.
解:原方程变形得[(x-1)+1][(x-1)-1]=3,
两边开平方，得x-1=±2，解得
我们称这种解法为“和差数法”.
应用：用“和差数法”解方程((x+1)(x+5)=12.
素养提优
13.形如 的方程，求正数解的一种几何方法：如图①，先构造一个面积为x 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 x的矩形，再将图形补全为一个大正方形，易知大正方形的面积为 则大正方形的边长为8，故该方程的正数解为 小明按此方法解关于x的方程 时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为 .
用配方法解较复杂的一元二次方程
基础夯实
知识点用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程
1.「2024山东青岛五十三中月考」用配方法解下列方程，配方错误的是 ( )
化为(
化为
化为
化为
2.「2025江苏连云港灌南月考」某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤.如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，这位同学是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.「2025宁夏银川六中月考」下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：
二次项系数化为1，得x2 + 4 x - 3 = 0 . 第一步
移项，得.x2 + 4 x = 3 . 第二步
配方，得 ,即(x+4) =19. 第三步
由此，可得.x + 4 = ± . 第四步
所以x1 = - 4 , x2 = - - 4 . 第五步
完成下列任务：
(1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 (填“消元”或“降次”)；“配方法”所依据的数学公式是 (填“完全平方公式”或“平方差公式”).
(2)“第二步”变形的数学依据是
(3)小明同学解题过程中，从第 步开始出 现 错 误，请直 接 写 出 正 确 的 结 果：
4.用配方法解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)(x-3)(2x+1)=-5.
5. bx+a=0得 则b的值为 ( )
A.-6 B.-3 C.6 D.3
6.若 2y+8x+3(x、y为实数),求 W的最小值.
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7.新运算能力 已知： 求下列各式的值.
微专题利用配方法求二次三项式的最值
例题 「2025 贵州贵阳期中改编」阅读材料：
数学课上，老师在求代数式 的最小值时，利用公式 对式子作如下变形：
因为 所以
当x=2时， 因此( 有最小值1,即 的最小值为1.
解决问题：
(1)代数式 的最小值为 .
(2)代数式 的最大值为 .
变式1「2024河南商水期中」已知代数式 可以利用配方法变形为 进而可知 的最小值是 5.类似地，代数式 的最小值是
变式2 当x取何值时，代数式 有最大值或最小值 并求出最大值或最小值.
2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法解简单的一元二次方程
基础夯实
1. 故选 B.
2 C 当1-m<0时,方程无解,故m>1.故选C.
3.解析
(3)由原方程,得3x-1=±2×(2x+3),则3x-1=4x+6或3x-1=-4x-6,整理,得x=-7或7x=-5,
即(x-1) =2024,∴a=-1,b=20 故选D.
5.答案 (1)4 (2)36;6
6.答案 等式的基本性质1；三；
解析 任务一；①第二步在 的等号两边同时加4，依据是等式的基本性质1.
②第三步应为( 故从第三步开始出现错误.任务二：
7.解析
即
即
能力提升
8. C 方程 移项得 配方得 即 ∴2c=-c+9,解得c=3,故选 C.
9C 由题意得 整理得 直接开平方得x-1=2或x-1=-2,解得 故选 C.
10.答案 ±2
解析 4,解得x=±2,故答案为±2.
11.解析 设所铺设的石子路的宽度为 xm，则种植鲜花的部分可合成长为(18-x)m,宽为(6-x)m的矩形,根据题意得(18-x)(6-x)=85,
整理得
解得 3(不符合题意，舍去).
答：所铺设的石子路的宽度为 1m .
12.解析 原方程变形得[(x+3)-2][(x+3)+2]=12, 两边开平方,得x+3=±4,解得
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13.答案
解析 根据题意知，构造题图②的方法：先构造一个面积为x 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 x的矩形，再将图形补全为一个大正方形，则大正方形的面积为 则该方程的正数解为
第2 课时 用配方法解较复杂的
一元二次方程
基础夯实
1. C . 移项得 配方得 1=99+1,即( 此选项配方正确，不符合题意； 移项得 则 配方得 即 此选项配方正确，不符合题意；( 移项得 配方得 即 此选项配方错误，符合题意； 移项得 则 配方得 即 此选项配方正确，不符合题意.故选 C.
所以 所以这位同学是乙，故选B.
3.解析 (1)降次；完全平方公式.
(2)等式的基本性质1.
二次项系数化为1，得
移项，得
配方，得 即
由此，可得 所以
故从第三步开始出现错误，正确结果为
4.解析
即
(4)原方程可化为
即
能力提升
则 ∴ b=6,故选 C.
6 解析 ··x,y为实数, ..W≥-2,∴W的最小值为-2.
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7.解析
所以
(2)由 得
所以
微专题 利用配方法求二次三项式的最值例题 答案 (1)3 (2)10
解析
当x=-3时，
因此 有最小值3，即代数式 的最小值为3.故答案为3.
由于 所以 当x=1时, 则 的最大值为10.
变式1 答案
解析 所以代数式 的最小值是
变式2 解析 当x=3时,
故当x=3时, 有最大值，最大值为16.