2.1 认识一元二次方程 同步练习（2课时,含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
基础夯实
知识点 1 一元二次方程的概念
1.下列各方程①x +1=0;②ax +bx + c = 0; ③x + = 3; ⑤(x-1)(x+1)=(x+2)(x-2)+2x-5.其中一元二次方程的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若关于x 的方程( mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( )
A. m≠-1 B. m=-1 C.m≥-1 D. m≠0
知识点 2 一元二次方程的一般形式
3.判断下列方程是不是一元二次方程.如果是，分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)x(x+2)=0. (2)x(4x+3)=(2x-1) .
知识点 3 由实际问题列出一元二次方程
4.「2025江苏睢宁期中」为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”的优惠，且“折上折”中每次打折的折扣数相同，已知一件原价 700元的服装，优惠后实际一件仅需448元.设“折上折”每次的折扣数为x，则可列方程为 ( )
A.700(1-2x)=448
能力提升
5.关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ( )
A.2 B.±2 C.0 D.-2
6.新教学文化「2025河南漯河实验中学月考，会」我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有关“勾股”的问题：今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从(通“纵”)之不出二尺，邪(门的对角线长)之适出，问户高几何(问题为节选) 其大意是：今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等，问门高是多少 若设门高为x尺，则可列关于x的方程为 .
7.「2022浙江衢州中考, ☆☆」将一个容积为360 cm 的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中x满足的一元二次方程为 (不必化简).
一元二次方程的解及其估算
基础夯实
知识点 1 一元二次方程的解及其应用
1.易错题「2025湖北黄石大冶月考」如果关于x的一元二次方程( 有一个解是0，那么m的值是 ( )
A.3 B.-3 C.±3 D.0或-3
知识点 2 探索一元二次方程的近似解
2.「2025山东潍坊期中」探索关于 x 的一元二次方程 的一个解的过程如下表：
x -2 -1 0 1 2
-3.5 -2.5 -0.5 2.5 6.5
可以看出该方程的一个解应介于相邻整数 m 和n(mA.-1,0 B.-2,-1 C.0,1 D.1,2
3.根据教材做式做“一块矩形铁片，面积为1 m ，长比宽多3m，求该铁片的长.”小华在做这道题时，是这样考虑的：设铁片的长为 xm，则列出的方程为x(x-3)=1.小华列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是她的探索过程.
第一步：
x 1 2 3 4
-3 -3
所以 第二步：
x 3.1 3.2 3.3 3.4
-0.69 -0.36
所以 (1)请你帮小华完成她未完成的部分.
(2)通过以上探索，可知该矩形铁片的长的整数部分为 ，十分位上的数为 .
能力提升
4.已知m是方程 x-1=0的一个根，则代数式
A.2 023 B.2 024 C.2022 D.2 020
5.若关于x的方程. bx+c=0的根是 则方程( 4)+c=0的根是
6.若m 是方程 2x-1=0的根,则
素养提优
7.某大学为改善校园环境，计划在一块长 80m，宽60m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m .四周为宽度相等的人行走道，如图，若设人行走道的宽为x m.
(1)请列出相应的方程.
(2)x的值可能小于0吗 写出你的理由.
(3)x的值可能大于40 吗 可能大于30吗 写出你的理由.
(4)你知道人行走道的宽是多少吗 写出你的求解过程.
1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
基础夯实
1. B ①x +1=0,符合一元二次方程的定义; c=0,当a=0时, 不是一元二次方程； 是分式方程； 符合一元二次方程的定义;⑤(x-1)(x+1)=(x+2)(x-2)+2x-5,整理得2x-8=0，是一元一次方程.
综上所述，有2个一元二次方程.故选 B.
2. A . 关于x的方程( 是一元二次方程,∴m+1≠0,即m≠-1,故选 A.
3.解析 (1)x(x+2)=0,整理得 是一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为0.
(2)x(4x+3)=(2x-1) ,整理得7x-1=0，不是一元二次方程.
是分式方程，不是一元二次方程.
整理得 是一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-1.
4. D根据优惠后的实际价格=原价 可列出关于x的一元二次方程 故选 D.
能力提升
整理得( 0.∵关于x的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，
且m-2≠0,解得m=-2.
故选 D.
6.答案 (
解析 ∵门高为x尺，∴竿的长度为(x+2)尺，门宽为(x-2)尺.根据题意得
7 答案 15x(10-x)=360
解析 由题意知该包装盒是一个长方体，长方体的高为15 cm,长为(20-2x)÷2=(10-x) cm,宽为x cm,则列出关于x 的一元二次方程为15x(10-x)=360.
第2 课时 一元二次方程的解及其估算基础夯实
1. B 把x=0代入( 得 .. m=±3,当m=3时,原方程二次项系数m-3=0,故舍去,∴m=-3,故选 B.
易错警示 容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件.
2. C ∵x=0时, 时， 2.5>0,∴当x在0和1之间取某一值时, ∴关于x的一元二次方程 的一个解的范围为03.解析(1)-1;3;3;4;-0.01;0.36;3.3;3.4.
(2)3;3.
能力提升
4 D 由题意可知 2 020.故选 D.
5.答案
解析 设t=x-4,则方程( 变为
∵方程 的根是 或t=-3,∴x-4=2或x-4=-3,
∴x=6或x=1,∴方程( 的根是
6.答案6
解析 【解法一】∵m是方程 的根，
即
【解法二】∵m是方程 的根，
易知
素养提优
7.解析 (1)依题意,得(80-2x)(60-2x)=3 500,整理得
(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数.
(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时,60-2x<0,这是不符合实际的,当然x更不可能大于40.
(4)人行走道的宽为5m，求解过程如下：
x 2 3 4 5 6 7
189 124 61 0 -59 -116
显然,当x=5时, 所以人行走道的宽为5m .