3.2 用频率估计概率同步练习 （含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

3.2 用频率估计概率
基础夯实
知识点 1 用频率估计概率
1.在做“抛一枚质地均匀的硬币”的试验中，下列结论正确的是 ( )
A.经过大量重复的抛硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B.抛10000次硬币与抛12 000 次硬币“正面向上”的频率相同
C.抛50 000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D.若抛2000 次硬币“正面向上”的频率是0.518,则“正面向下”的频率也为0.518
2.「2024江苏扬州中考」数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的试验后，整理的试验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率为 .(精确到0.01)
3.图形教材变式「2024江苏淮安中考」一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中.通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 个.
知识点 2 模拟试验估算事件的概率
4.在“抛一枚均匀硬币”的试验中，如果现在没有硬币，则选项的各个试验中不能代替的是 ( )
A.从一张“黑桃”和一张“红桃”两张扑克牌中抽一张，“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面”
B.从形状、大小完全相同，颜色为一橙一白的两个乒乓球中摸一个
C.扔一枚图钉
D.一个男生和一个女生，以抽签的方式随机抽取一人
5.课外活动时，王老师把自己的一串钥匙交给李强让他去取一本书，但李强不小心把王老师告诉他开办公桌的这把钥匙的特征忘记了.已知这串钥匙共有8把，请你用计算器模拟试验的方法估算他一次试开成功的概率.(只需写出用计算器模拟试验的方法)
能力提升
6.「2025甘肃张掖期末， ☆ù」近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中的一部分.小刚将二维码打印在面积为20 的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.65左右，据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ( )
A.0.35 B.0.65 C.7 D.13
7.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则选项中符合这一结果的试验最有可能是 ( )
A.袋中装有大小和质地都相同的3 个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
8.「2022辽宁鞍山中考，〔公〕一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1 个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验.根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出 m 的值为 .
摸球的总次数a 100 500 1 000 2 000 …
摸出红球的次数b 19 101 199 400 …
摸出红球的频率b/a 0.190 0.202 0.199 0.200 …
9.「2024贵州六盘水水城期中，」为了知道一块不规则的封闭图形(如图)的面积，小聪在封闭的图形内画了一个边长为1m 的正方形，在不远处向封闭图形内任意投掷石子，记录数据如表，则封闭图形的面积约为 m (精确到0.1 m ).
掷石子次数 50 100 150 200 300
石子落在正方形内(含边上)的次数 29 61 91 118 178
石子落在正方形内(含边上)的频率 0.580 0.610 0.607 0.590 0.593
素养提优
10.新疆观念 某水果公司以2 元/千克的成本购进10 000 千克柑橘，销售人员在销售过程中随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)柑橘损坏的概率估计值为 ，柑橘完好的概率估计值为 .
(2)估计这批柑橘完好的质量为 千克.
(3)如果公司希望销售这些柑橘能够获得25 000元的利润，那么在出售(已去掉损坏的柑橘)时，每千克柑橘大约定价为多少元比较合适
专项突破 5 概率的综合应用练题型
题型 1 概率与数、式的综合
1.如图，一个质地均匀的转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数(若指针正好指向分界线，则重新转一次)，转动转盘两次，则两次转动转盘指针指向的数的积为负数的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.盒子里放有分别写有整式2，π，x，x+1的四张卡片，先从中任意抽取一张卡片(不放回)，再从余下的卡片中任意抽取一张，把第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母，则组成分式的概率是 ( )
A B. C. D.
题型 2 概率与方程、不等式的综合
3.「2024四川成都蒲江中学期中」已知关于x 的一元二次方程 ，从1，2，3三个数中任取一个数作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该方程有实数根的概率是
4.从-2，-1，1，2这四个数中任取一个作为a的值，再从余下的三个数中任取一个数作为b的值，则不等式组 有整数解的概率是
题型 3 概率与函数的综合
5.如图，有A、B两个大小均匀的转盘，其中 A 转盘被均分成3份，B转盘被均分成4份，并在每一份内标上数.小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指向边界线时视为无效，重转)，若将 A 转盘指针指向的数作为一次函数y=kx+b中的k的值，将B转盘指针指向的数作为一次函数y= kx+b中的b的值.
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能的情况.
(2)求一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限的概率.
题型 4 概率与几何的综合
6.在3 张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD 是平行四边形；②四边形ABCD 的对角线相等；③四边形 ABCD 的对角线互相垂直.将这 3 张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中.
(1)搅匀后从中任意抽出1 支签，抽到条件③的概率是 .
(2)搅匀后先从中任意抽出1 支签(不放回)，再从余下的2 支签中任意抽出1 支签.四边形ABCD同时满足抽到的2 支签上的条件，求四边形ABCD一定是菱形的概率.
7.「2022广西玉林中考」问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①AB=AC;②DB=DC;③∠BAD=∠CAD.若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立
解决方案:探究△ABD 与△ACD 全等.
问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时,△ABD 与△ACD全等吗 (填“全等”或“不全等”),理由是 .
(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD 的概率.
题型 5 概率与统计图的综合
8.「2024四川资阳中考」我国古诗词源远流长.某校组织学生开展了以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题的古诗词知识竞赛活动.为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
(1)本次共抽取了 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图.
(2)若该校共有2 000 人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为 B 等级的学生人数.
(3)学校在竞赛成绩为 A 等级的甲、乙、丙、丁这4名学生中，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表的方法求出甲、乙两人中恰好有 1人被选中的概率.
6概率的实际应用
小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩.在网上购票时，系统已将两人分配到同一车厢同一排(下图是高铁座位示意图).用列表法求小亮和爸爸分配的座位挨在一起(过道两侧也可认为是座位挨在一起)的概率.
2 用频率估计概率
基础夯实
1.由于频率具有不确定性，故B、C选项结论错误；若抛2 000 次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为0.482，故D 选项结论错误.故选 A.
2.答案 0.53
解析 由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，..根据试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率为0.53.故答案为0.53.
3.答案 12
解析 由题意可得,袋中约有红球8÷0.4-8=20-8=12(个),故答案为12.
4. C在“抛一枚均匀硬币”的试验中，出现正面和反面的可能性相同，因此所选的替代物的试验结果只能有两种，且出现的可能性相同，因此“图钉”不能代替“硬币”.故选 C.
5解析 把8把钥匙编号,依次为1,2,3,4,5,6,7,8.假设开办公桌的钥匙的编号为1.
利用计算器在1~8之间产生一个随机数，如果这个随机数是1，就会试开成功，否则不会成功.
第一步：利用计算器在1~8之间产生随机数.
第二步：将数据填入统计表中，
多次重复第一步、第二步的操作.
第三步：根据频率估计一次试开成功的概率.
能力提升
6. D经过大量重复试验，发现点落入黑色阴影部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色阴影部分的面积为20×0.65=13.故选 D.
7. D选项A，袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为 不符合题意；选项 B，掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为 ，不符合题意；选项C，先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为 ，不符合题意；选项D，先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为 ，符合题意.故选D.
8.答案 20
解析 ∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.200左右，∴估计摸出红球的概率为0.200， 解得m=20.经检验，m=20是原方程的解，且符合题意，故答案为20.
9 答案 1.7
解析 根据统计表，可得石子落在正方形内的概率约为0.593，设封闭图形的面积为xm ，则有
解得x≈1.7.∴封闭图形的面积约为1.7m ,故答案为1.7.
素养提优
10.解析 (1)根据所给的统计图可得，柑橘损坏的概率估计值为0.1，柑橘完好的概率估计值为1-0.1=0.9.
(2)根据(1)可得，这批柑橘完好的质量约为10 000×0.9=9000(千克).
(3)设每千克柑橘定价为x元比较合适，根据题意得9 000x=25 000+2×10 000,解得x=5.答 每千克柑橘大约定价为5 元比较合适.
专项突破5 概率的综合应用
1. A 列表如下:
第一次 积的符号 第二次 1 2 3 -1
1 正 正 正 负
2 正 正 正 负
3 正 正 正 负
-1 负 负 负 正
一共有16种等可能的结果，两次转出的数的积为负数的结果有6种，故两次转出的数的积为负数的概率为 故选 A.
2. A画树状图如下：
由树状图可知，共有12 种等可能的结果，其中组成分式的结果有6种，
所以组成分式的概率是 故选A.
3.答案
解析 画树状图如下：
共有6种等可能的结果，满足 的结果有3种:b=2,c=1;b=3,c=1;b=3,c=2,所以能使该一元二次方程有实数根的概率为
4 答案13
解析 画树状图如图所示，
共12种等可能的情况，
使不等式组 有整数解的情况有a=-2,b=1;a=-2,b=2;a=-1,b=1;a=-1,b=2四种∴不等式组 有整数解的概率是 .故答案为
5.解析 (1)列表如下:
k b -1 -2 3
-1 (-1,-1) (-2,-1) (3,-1)
-2 (-1,-2) (-2,-2) (3,-2)
3 (-1,3) (-2,3) (3,3)
4 (-1,4) (-2,4) (3,4)
共有12种等可能的情况.
(2)当一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限时,k<0,b>0,满足条件的情况有4种,
所以P(一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限
6.解析 (1)
(2)画树状图如图：
共有6种等可能的结果，其中四边形 ABCD 一定是菱形的结果有①③,③①,共2种,
∴ 四边形ABCD 一定是菱形的概率为
7.解析 (1)在△ABD 和△ACD中,
∴ △ABD≌△ACD(SSS).
故答案为全等；三边分别相等的两个三角形全等.
(2)画树状图如下：
共有六种等可能的情况，符合条件的有①②，①③，②①,③①四种,则
8 解析(1)80÷20%=400(人),本次共抽取了400 名学生的竞赛成绩，∴成绩为D 等级的学生人数为400-120-160-80=40,
补全条形统计图如下：
(人).
答：估计竞赛成绩为 B 等级的学生人数为 800.
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中的结果有8种，
∴ 甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为
9.解析 列表如下：
A B C D F
A A,B A,C A,D A,F
B. B,A B,C B,D B,F
C C,A C,B C,D C,F
D D,A D,B D,C D,F
F F,A F,B F,C F,D
共有20种等可能的结果，其中小亮和爸爸的座位挨在一起的结果有8种，故小亮和爸爸分配的座位挨在一起的概率是