4.2角同步练习（含解析）北师大版数学七年级上册

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4.2角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，则图中与互余的角有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若一个角的补角为，则这个角的余角为（ ）
A． B． C． D．
3．的余角为，则它的补角为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
4．如图，点A，B，O分别表示一个景点．经测量，景点B在景点O的北偏东方向，则景点A相对于景点O的方向是（ ）
A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏东方向
5．用放大2倍的放大镜看的角，看到的角的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
6．如图，钟表上八时整时，时针与分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向右转航行到B处，再向左转继续航行，此时的航行方向为（　　）
A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏东
8．如图，点O在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．如图所示，下列说法中正确的是（　　）
A．就是 B．可以用表示
C．和是同一个角 D．和是不同的两个角
10．如图，直线，相交于点O，下面是推导对顶角相等的过程：因为，，所以，其推理依据是（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
11．【真实问题情境】如图，有一个灯塔，测得灯塔在海岛的南偏西方向上，在海岛的南偏西方向上，则灯塔的位置可能是（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
12．如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起，其中和是直角．若，则的度数 ．

14．填空题．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） = ．
15．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，正确的有 ．（多选）
A.① B.② C.③ D. ④
16．将两个三角尺按图所示的位置摆放，已知，则 ．

17．小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，小明到家时时针和分针夹角的度数是 ．

三、解答题
18．如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．

(1)与互余的角是___________，互补的角是___________；
(2)若，求的度数．
19．钟面上的数学
基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常
[简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知：
（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °：
[初步研究]
（2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻：
①当时， ；
②当时， ；
（3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ．
[深入思考]
（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）．
①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ；
②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．如图，已知内部有三条射线，平分平分．

（1）若，则_______________；
（2）若，则_______________；
（3）若，你能猜想出与的关系吗？请说明理由．
【拓展提问1】若射线在的外部如图所示位置，且平分平分，则上述（3）中的结论还成立吗？请说明理由．

方法指导如图，当射线在的内部或外部，平分平分时，总有．
【拓展提问2】若射线在的外部如图所示位置，平分平分，则与的数量关系是_______________．

22．如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏西，射线在射线和射线之间，且．求的度数．

23．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，．
(1)如图1，当，平分时，求的度数；
(2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒；
(3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值．
24．已知， 如图， 点A， O， B在同一条直线上， 平分 ．
求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整
证明：，
∴ ，
又平分，
∴
，
．
是的平分线．
《4.2角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C A D A B B C
题号 11 12
答案 A C
1．B
【分析】本题考查了求一个角的余角，根据互为余角的两个角的和为，即可得出答案．
【详解】解：，
，
与互余，
，
与互余，
与互余的角是和，共个，
故选B．
2．C
【分析】根据余角和补角的定义来求解．
【详解】解：设这个角的度数为x，
由题意得，
∴，
∴，
∴这个角的余角为52°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键．
3．C
【分析】本题考查了余角的定义、补角的定义；理解“和为的两个角互为余角，和为的两个角互为补角．”是解题的关键．
【详解】解：的余角为，
的度数为
，
的补角为：
，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了方位角，平角，角的和差求角度，理解方位角是解题的关键．
记正北方为，由题意得出，根据算出，即可解题．
【详解】解：记正北方为，如图所示：
∵景点B在景点O的北偏东方向，
∴，
∵，
∴，
∴景点A相对于景点O的方向为北偏西方向．
故选：C．
5．A
【分析】角的大小和边的长短无关，与角张开的角度的大小有关，而放大镜看到的角，放大的只是角的边，所以，无论用多少倍的放大镜看角，角的大小都不变，可据此解题．
【详解】解：由题意得用放大10倍的放大镜看的角，看到的度数是．
故选：A
【点睛】解析此题考查的是角的大小的比较，角的大小的比较，不是比较边的长短，而是比较角的张开的角度的大小．
6．D
【分析】本题考查了钟面角 ．根据一个周角是，钟面上从到把钟面平均分成了条弧线，平均每条弧线对应的圆心角的度数为，根据到之间共有条弧线，求出时针与分针所成的角的度数 ．
【详解】解：一个周角是，钟面的从到把钟面平均分成了条弧线，
平均每条弧线对应的圆心角的度数为，
到之间共有条弧线，
八时整时，时针与分针所成的角是．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键．
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可求解．
【详解】解：如图，
快艇从处向正北航行到处时，向右转航行到处，再向左转继续航行，
此时的航行方向为北偏西．
故选A．
8．B
【分析】本题考查同角的余角相等，根据同角的余角相等，找到相等的角即可，掌握同角的余角相等，找到相等的角是关键．
【详解】解：由图可知：，
，，
故图中除了直角外，一定相等的角有2对，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查角的定义和表示方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据角的定义和表示方法逐一判断即可．
【详解】解：A、在图中，不能明确表示哪一个角，必须由三个字母表示，本选项不符合题意．
B、可以用表示，正确，本选项符合题意．
C、和不是同一个角，本选项不符合题意．
D、和是同一个角，本选项不符合题意，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了补角的性质，注意同角或等角的补角相等，在本题中要注意判断是“同角”还是“等角”．
【详解】解：由题意得：推理依据是同角的补角相等，
故选：C．
11．A
【分析】根据方向角的定义解答可得，也可作出以A为基准的南偏西、以点B为基准的南偏西方向的交点即为灯塔所在位置．
【详解】解：由题意知，若灯塔位于海岛A的南偏西、海岛B的南偏西的方向上，
如图所示，灯塔的位置可以是点，

【点睛】本题主要考查方向角，解题的关键是根据方向角确定物体的位置．
12．C
【分析】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：与互补，得出，；的余角是．根据余角和补角的定义即可得到结论．
【详解】解：，
表示的余角，故①正确；
与互补，
，
，，
，
，
表示的余角，故②正确；
，
，故③错误；
，故④正确；
故选：C．
13．/65度
【分析】根据等角（或同角）的余角相等，得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余角的概念，解题关键是掌握等角的余角相等．
14． 24 0.2 75 10 102 24 7.8 7 48
【分析】本题主要考查了度分秒的换算．
（1）根据大单位化成小单位要乘以60进制，列出算式进行计算即可；
（2）根据小单位化成大单位要除以60进制，列出算式进行计算即可；
（3）度与度相加，分与分相加，若满60，向它前面的单位进1，进行计算即可；
（4）度与分分别乘以4，然后把满60的向它前面的单位进位即可；
（5）先把46.8除以6，再把小数度乘以60化成分即可．
【详解】解：（1），
故答案为：24；
（2），
故答案为：0.2；
（3）
，
故答案为：75，10；
（4）
，
故答案为：102，24；
（5）
，
故答案为：7.8，7，48．
15．ABD
【分析】根据题意得，，则，即可得的余角是，可判断①正确；根据的余角是，可判断②正确；根据得不是的余角，可判断故③错误；根据得是的余角，可判断④正确；即可得．
【详解】解：∵和互补，且，
∴，，
∴，
∴的余角是，
故①正确；
的余角是，
故②正确；
∵，
∴不是的余角，
故③错误；
∵，
∴是的余角，
故④正确；
综上，正确的有：①②④，
故答案为：ABD．
【点睛】本题考查了补角，余角的应用，解题的关键是掌握余角，补角．
16．
【分析】根据同角的余角相等求解即可．
【详解】解：由题意可得，

∴
故答案为：
【点睛】此题考查了与三角板有关的角的计算，掌握同角的余角相等是解题的关键．
17．/165度
【分析】时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，钟表上12：30时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时，分针在数字6上，由此进行计算即可得到答案．
【详解】解：时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，
钟表上12：30时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时，分针在数字6上，
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，
12：30时针与分针的夹角为：，
小明到家时时针和分针夹角的度数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时针和分针的位置关系建立角的图形．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）根据得到，可得余角，再根据，可得补角；
（2）首先求出，再根据角平分线的定义求出，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴与互余的角是；
∵，
∴与互补的角是．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．
19．（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2点分；2点分；②2点6分和2点分，2点分
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角．
（1）根据1小时分解答即可；
（2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解；
（4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；②令时针所在直线为，分针所在直线为，分两种情况求解即可．
【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．
∴时针每分钟转动，分针每分钟转动，
故答案为：；6；
（2）①某个时刻的钟面角α为，可为或，②某个时刻的钟面角α为，可为，
故答案为：①或；②；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，
则时针转动的角度是，分针转动的角度是，
此时钟面角，
∵，
∴，
故答案为：；
（4）①时针恰好与分针重叠：设此时对应的时刻是2点x分，根据题意得，
，
解得，，
∴这一时刻是2点分，
故答案为：2点分；
时针恰好与分针垂直：设此时对应的时刻是2点y分，则有：
或，
解得：或，
∵时为3点整，不合题意，舍去，
∴此时对应的时刻是2点分；
②令时针所在直线为，分针所在直线为，设此时对应的时刻是2点m分，为和角平分线时：
，
解得：；
为和角平分线时：
，
解得：；
为时针，为分针，平分时：
，，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
答：当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键..
（1）先进行度、分、秒的除法计算，再算加法．
（2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法．
【详解】（1）解：
（2）
21．（1）；（2）；（3），理由见解析
【拓展提问1】成立，理由见解析
【拓展提问2】
【分析】（1）依据角平分线的定义求得、的度数，再依据求解即可；
（2）依据角平分线的定义求得、的度数，再依据求解即可；
（3）依据角平分线的定义求得、的度数，再依据求解即可；
【拓展】依据角平分线的定义求得、的度数，再依据，便可得结果；
【拓展提问1】依据角平分线的定义求得、的度数，再依据，便可得结果
【拓展提问2】依据角平分线的定义求得．所以，又因为，代入即可得出结论．
【详解】解：（1）平分，平分，
，，
；
（2），，平分，平分，
；
（3），
理由：因为平分，平分，
所以．
所以 ．
【拓展提问1】
解：成立．
理由：因为平分平分，
所以．
所以 ．
【拓展提问2】
解：，
理由：因为平分平分，
所以．
所以，
因为，
所以，
∴．
【点睛】本题主要考查与角平分线有关系的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分的关系是解题的关键．
22．
【分析】根据方向角的定义得到，，再求出，根据角的和差计算即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
又∵，
∴．

【点睛】本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差关系是正确解答的前提．
23．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键．
（1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论；
（2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可；
（3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可．
【详解】（1）解：，平分，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，设旋转时间为，
①当点在的右侧时，，
，
；
；
②当点在的左侧时，，
，
；
综上，旋转一共用了或；
（3）解：为或．
当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，
解得；
当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
解得；
综上，为或．
24．见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，补角的定义，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键．根据角平分线的定义得，然后根据等角的余角相等逐步推理证明即可求证是的平分线．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴．（角平分线的定义）
∵，
∴．（等角的余角相等）
∴是的平分线．
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