小学数学人教版（2024）五年级下《3 的倍数的特征》教案
文档属性
| 名称 | 小学数学人教版（2024）五年级下《3 的倍数的特征》教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 165.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-22 11:42:28 | ||
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文档简介
五年级数学下册《3 的倍数的特征》教案
一、课程基本信息
教材版本：人教版五年级数学下册
单元定位：第二单元 “因数与倍数” 第 4 课时，承接 2、5 的倍数特征，为后续质数与合数、公倍数与公因数学习奠定数论基础
核心素养：发展合情推理与演绎推理能力，积累 “观察 — 猜想 — 验证 — 归纳” 的数学思维经验
二、大单元设计框架（问题驱动式）
单元核心问题
“如何通过数的特征快速判断整数间的倍数关系？”
单元架构
问题导入层：从生活分组（如 24 人分 3 组、18 人分 5 组）引发认知冲突，提出 “判断倍数是否有简便方法” 的核心疑问
特征探究层：分课时探究 2、5、3 的倍数特征，形成 “个位观察（2、5）— 数位和观察（3）” 的探究路径
综合应用层：结合奇数、偶数概念，解决 “组数”“分组” 等实际问题，构建 2、3、5 倍数特征的关联认知
拓展迁移层：延伸至 “弃 3 法”“数的组成与倍数关系”，为后续学习铺垫
三、教材与学情分析
教材分析
本课时打破 2、5 倍数 “看个位” 的思维定式，通过 100 以内数表的圈画、斜向观察，引导学生发现 “数位和是 3 的倍数” 这一本质特征。教材还通过数的组成分解（如 2485=2×999+4×99+8×9+2+4+8+5），揭示 “为什么看数位和” 的数学原理，体现从现象到本质的探究逻辑，是单元中 “突破思维定式、深化数论理解” 的关键课时。
学情分析
学生已掌握 “2、5 的倍数看个位” 的方法，易形成 “所有倍数特征都看个位” 的思维定式；具备初步的观察、归纳能力，但对 “数位和与倍数关系” 的逻辑推导存在困难。需通过 “打破猜想 — 验证规律 — 原理推导” 的环节，引导学生主动修正认知。
四、教学目标
经历 “猜想 — 验证 — 归纳” 的过程，掌握 “一个数各数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数” 的特征，能运用该特征及 “弃 3 法” 判断一个数是否为 3 的倍数
通过数的组成分解，理解 “判断 3 的倍数看数位和” 的数学原理，能结合 2、5 的倍数特征解决 “组数”“分组” 等综合问题
在思维碰撞中发展逻辑推理能力，体会数学探究的严谨性
五、教学重难点
教学重点
归纳 3 的倍数特征：一个数各数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数
能综合 2、3、5 的倍数特征解决实际问题
重点本质：3 的倍数特征是数的 “数位和” 与 3 的整除关系，区别于 2、5 基于 “个位数字” 的整除关系，体现数的组成与整除性的深层关联，是单元中 “倍数特征探究” 的思维转折点。
教学难点
理解 “判断 3 的倍数看数位和” 的原理（通过数的组成分解推导）
打破 “看个位” 的思维定式，主动运用 “数位和” 判断
难点地位：突破此难点能帮助学生建立 “具体特征 — 数学原理” 的认知链条，为后续学习 “9 的倍数特征”（类比 3 的特征）及 “数的整除性质” 奠定基础。
六、教学方法
探究式教学法：通过 “猜想 — 验证 — 修正” 引导学生自主发现特征
演绎推理法：结合数的组成分解，推导特征背后的数学原理
合作交流法：通过小组讨论、板演点评，促进思维碰撞
七、教学过程
（一）旧知引疑，打破定式（环节名：猜想破局）
师：我们已经知道 2、5 的倍数特征，谁能快速判断这两个数是否为 2 或 5 的倍数？（板书：24、65）
生 1：24 个位是 4，是 2 的倍数；65 个位是 5，是 5 的倍数。
师：判断 2、5 的倍数，我们只看哪个数位？
生（齐）：个位！
师：那 3 的倍数是不是也看个位呢？请大家猜想：个位是 3、6、9 的数是 3 的倍数吗？（板书：13、26、49）
（学生独立判断，部分学生通过除法验证）
生 2：13÷3=4……1，不是 3 的倍数；26÷3=8……2，也不是；49÷3=16……1，也不是！
师：看来 “看个位” 的方法不适用 3 的倍数，那 3 的倍数到底有什么特征？这节课我们就来探究。
设计意图：通过 “猜想 — 验证 — 否定” 的环节，打破学生的思维定式，激发探究欲望。
（二）探究特征，归纳规律（环节名：特征探究）
1. 初步观察，提出猜想
师：请大家在 100 以内数表中圈出 3 的倍数，观察圈出的数：横着看，个位数字有规律吗？斜着看呢？（学生独立圈数，小组讨论）
生 3：横着看，个位数字 0-9 都有，没规律；斜着看，比如 3、12、21、30，它们的数位和都是 3（3=3，1+2=3，2+1=3，3+0=3）！
师：其他斜行的数呢？比如 6、15、24、33？
生 4：6=6，1+5=6，2+4=6，3+3=6，数位和都是 6，也是 3 的倍数！
师：大家能提出什么猜想？
生（齐）：数位和是 3 的倍数的数，是 3 的倍数！
2. 举例验证，修正猜想
师：请大家找 3 个 100 以外的数，验证这个猜想。比如 114：1+1+4=6，6 是 3 的倍数，114 是 3 的倍数吗？
生 5：114÷3=38，是 3 的倍数！我找的 855：8+5+5=18，18 是 3 的倍数，855÷3=285，也是 3 的倍数！
师：有没有反例？比如 365：3+6+5=14，14 不是 3 的倍数，365 是 3 的倍数吗？
生 6：365÷3=121……2，不是！所以猜想是对的！
师：谁能完整归纳 3 的倍数特征？
生 7：一个数各数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数！（教师板书，用红色标注）
3. 原理推导，深化理解
师：为什么判断 3 的倍数要看数位和？我们以 2485 为例，结合数的组成分析（板书：2485=2×1000+4×100+8×10+5）。1000、100、10 可以写成什么形式？
生 8：1000=999+1，100=99+1，10=9+1！
师：没错！那 2485 可以改写为（板书）：
2485=2×(999+1)+4×(99+1)+8×(9+1)+5
=2×999+2×1+4×99+4×1+8×9+8×1+5
= (2×999+4×99+8×9) + (2+4+8+5)
师：观察这两部分，999、99、9 都是 3 的倍数，所以第一部分是 3 的倍数。那整个数是否为 3 的倍数，取决于哪部分？
生（齐）：取决于第二部分，也就是 2+4+8+5，也就是各数位上的数的和！
师：这就证明了我们归纳的特征是正确的！
设计意图：通过 “观察 — 猜想 — 验证 — 推导”，让学生从 “知其然” 到 “知其所以然”，突破难点。
（三）综合应用，强化能力（环节名：应用提升）
1. 基础练习：用特征判断
师：快速判断下列数是否为 3 的倍数，有困难的可以用 “弃 3 法”（先划去数位上是 3 的倍数的数，再算剩余数的和）。（板书：92、75、237、3051）
（学生独立判断，2 名学生板演过程）
生 9（板演）：92：9 是 3 的倍数，划去，剩 2，2 不是 3 的倍数→92 不是；75：7+5=12，12 是→75 是。
师：点评一下，这位同学用了 “弃 3 法”，简化了计算，很高效！另一位同学说说 237 和 3051？
生 10（板演）：237：2+3+7=12→是；3051：3 和 0 是 3 的倍数，划去，5+1=6→是。
师：完全正确！“弃 3 法” 是判断较大数的便捷方法，核心还是看 “剩余数的和是否为 3 的倍数”。
2. 综合练习：组数问题
师：用 4、3、5、0 四张卡片取三张组成三位数，满足：（1）是 3 的倍数；（2）同时是 2、3、5 的倍数。小组讨论后，派代表板演结果。
（小组讨论后，1 组板演）
生 11（板演）：（1）3 的倍数：345（3+4+5=12）、354、435、453、534、543、450（4+5+0=9）、405、540、504；（2）同时是 2、3、5 的倍数：450、540（个位是 0，且数位和是 3 的倍数）。
师：为什么同时是 2、3、5 的倍数只有这两个？
生 12：同时是 2 和 5 的倍数，个位必须是 0，再看剩下的数字（4、5）的和是 9，是 3 的倍数，所以只有 450 和 540。
师：思路很清晰！综合特征时，要先找 “共同限制条件”（如个位 0），再结合其他特征判断。
3. 实际应用：分组问题
师：22 名学生分组做游戏，至少再来几名学生能正好 3 人一组？请用 3 的倍数特征解决。
生 13：22 各数位和是 2+2=4，4 不是 3 的倍数，比 4 大的最小 3 的倍数是 6，6-4=2→至少来 2 人。
师：验证一下？22+2=24，24 是 3 的倍数吗？
生（齐）：24÷3=8，是！
设计意图：通过基础、综合、实际三类练习，分层强化特征应用，兼顾不同学情。
（四）总结梳理，关联单元（环节名：归纳升华）
师：对比 2、3、5 的倍数特征，它们的判断依据有什么不同？
生 14：2、5 看个位，3 看数位和！
师：我们还理解了 3 的倍数特征的原理 —— 基于数的组成分解，99、999 都是 3 的倍数，所以数位和决定了数是否为 3 的倍数。课后可以思考：9 的倍数特征可能是什么？（提示：类比 3 的特征）
设计意图：关联单元知识，为后续学习埋下伏笔，构建单元知识网络。
（五）课后作业
基础题：用 “弃 3 法” 判断 1234、5678、9999 是否为 3 的倍数
综合题：用 1、2、3、6 组成同时是 2、3、5 的倍数的四位数（数字不重复），能组成几个？
拓展题：推导 9 的倍数特征，并举例验证
八、教学反思
本节课通过 “打破定式 — 探究特征 — 推导原理” 的环节，有效突破重难点：多数学生能掌握 3 的倍数特征，并用 “数位和” 判断；通过数的组成分解，约 70% 的学生理解了特征原理。但仍有部分学生在综合应用时，会遗漏 “2、5 的倍数特征限制”（如组数时忘记个位 0）。后续需增加 “多特征综合判断” 的对比练习，强化 “先找共同条件” 的思维习惯。
一、课程基本信息
教材版本：人教版五年级数学下册
单元定位：第二单元 “因数与倍数” 第 4 课时，承接 2、5 的倍数特征，为后续质数与合数、公倍数与公因数学习奠定数论基础
核心素养：发展合情推理与演绎推理能力，积累 “观察 — 猜想 — 验证 — 归纳” 的数学思维经验
二、大单元设计框架（问题驱动式）
单元核心问题
“如何通过数的特征快速判断整数间的倍数关系？”
单元架构
问题导入层：从生活分组（如 24 人分 3 组、18 人分 5 组）引发认知冲突，提出 “判断倍数是否有简便方法” 的核心疑问
特征探究层：分课时探究 2、5、3 的倍数特征，形成 “个位观察（2、5）— 数位和观察（3）” 的探究路径
综合应用层：结合奇数、偶数概念，解决 “组数”“分组” 等实际问题，构建 2、3、5 倍数特征的关联认知
拓展迁移层：延伸至 “弃 3 法”“数的组成与倍数关系”，为后续学习铺垫
三、教材与学情分析
教材分析
本课时打破 2、5 倍数 “看个位” 的思维定式，通过 100 以内数表的圈画、斜向观察，引导学生发现 “数位和是 3 的倍数” 这一本质特征。教材还通过数的组成分解（如 2485=2×999+4×99+8×9+2+4+8+5），揭示 “为什么看数位和” 的数学原理，体现从现象到本质的探究逻辑，是单元中 “突破思维定式、深化数论理解” 的关键课时。
学情分析
学生已掌握 “2、5 的倍数看个位” 的方法，易形成 “所有倍数特征都看个位” 的思维定式；具备初步的观察、归纳能力，但对 “数位和与倍数关系” 的逻辑推导存在困难。需通过 “打破猜想 — 验证规律 — 原理推导” 的环节，引导学生主动修正认知。
四、教学目标
经历 “猜想 — 验证 — 归纳” 的过程，掌握 “一个数各数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数” 的特征，能运用该特征及 “弃 3 法” 判断一个数是否为 3 的倍数
通过数的组成分解，理解 “判断 3 的倍数看数位和” 的数学原理，能结合 2、5 的倍数特征解决 “组数”“分组” 等综合问题
在思维碰撞中发展逻辑推理能力，体会数学探究的严谨性
五、教学重难点
教学重点
归纳 3 的倍数特征：一个数各数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数
能综合 2、3、5 的倍数特征解决实际问题
重点本质：3 的倍数特征是数的 “数位和” 与 3 的整除关系，区别于 2、5 基于 “个位数字” 的整除关系，体现数的组成与整除性的深层关联，是单元中 “倍数特征探究” 的思维转折点。
教学难点
理解 “判断 3 的倍数看数位和” 的原理（通过数的组成分解推导）
打破 “看个位” 的思维定式，主动运用 “数位和” 判断
难点地位：突破此难点能帮助学生建立 “具体特征 — 数学原理” 的认知链条，为后续学习 “9 的倍数特征”（类比 3 的特征）及 “数的整除性质” 奠定基础。
六、教学方法
探究式教学法：通过 “猜想 — 验证 — 修正” 引导学生自主发现特征
演绎推理法：结合数的组成分解，推导特征背后的数学原理
合作交流法：通过小组讨论、板演点评，促进思维碰撞
七、教学过程
（一）旧知引疑，打破定式（环节名：猜想破局）
师：我们已经知道 2、5 的倍数特征，谁能快速判断这两个数是否为 2 或 5 的倍数？（板书：24、65）
生 1：24 个位是 4，是 2 的倍数；65 个位是 5，是 5 的倍数。
师：判断 2、5 的倍数，我们只看哪个数位？
生（齐）：个位！
师：那 3 的倍数是不是也看个位呢？请大家猜想：个位是 3、6、9 的数是 3 的倍数吗？（板书：13、26、49）
（学生独立判断，部分学生通过除法验证）
生 2：13÷3=4……1，不是 3 的倍数；26÷3=8……2，也不是；49÷3=16……1，也不是！
师：看来 “看个位” 的方法不适用 3 的倍数，那 3 的倍数到底有什么特征？这节课我们就来探究。
设计意图：通过 “猜想 — 验证 — 否定” 的环节，打破学生的思维定式，激发探究欲望。
（二）探究特征，归纳规律（环节名：特征探究）
1. 初步观察，提出猜想
师：请大家在 100 以内数表中圈出 3 的倍数，观察圈出的数：横着看，个位数字有规律吗？斜着看呢？（学生独立圈数，小组讨论）
生 3：横着看，个位数字 0-9 都有，没规律；斜着看，比如 3、12、21、30，它们的数位和都是 3（3=3，1+2=3，2+1=3，3+0=3）！
师：其他斜行的数呢？比如 6、15、24、33？
生 4：6=6，1+5=6，2+4=6，3+3=6，数位和都是 6，也是 3 的倍数！
师：大家能提出什么猜想？
生（齐）：数位和是 3 的倍数的数，是 3 的倍数！
2. 举例验证，修正猜想
师：请大家找 3 个 100 以外的数，验证这个猜想。比如 114：1+1+4=6，6 是 3 的倍数，114 是 3 的倍数吗？
生 5：114÷3=38，是 3 的倍数！我找的 855：8+5+5=18，18 是 3 的倍数，855÷3=285，也是 3 的倍数！
师：有没有反例？比如 365：3+6+5=14，14 不是 3 的倍数，365 是 3 的倍数吗？
生 6：365÷3=121……2，不是！所以猜想是对的！
师：谁能完整归纳 3 的倍数特征？
生 7：一个数各数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数！（教师板书，用红色标注）
3. 原理推导，深化理解
师：为什么判断 3 的倍数要看数位和？我们以 2485 为例，结合数的组成分析（板书：2485=2×1000+4×100+8×10+5）。1000、100、10 可以写成什么形式？
生 8：1000=999+1，100=99+1，10=9+1！
师：没错！那 2485 可以改写为（板书）：
2485=2×(999+1)+4×(99+1)+8×(9+1)+5
=2×999+2×1+4×99+4×1+8×9+8×1+5
= (2×999+4×99+8×9) + (2+4+8+5)
师：观察这两部分，999、99、9 都是 3 的倍数，所以第一部分是 3 的倍数。那整个数是否为 3 的倍数，取决于哪部分？
生（齐）：取决于第二部分，也就是 2+4+8+5，也就是各数位上的数的和！
师：这就证明了我们归纳的特征是正确的！
设计意图：通过 “观察 — 猜想 — 验证 — 推导”，让学生从 “知其然” 到 “知其所以然”，突破难点。
（三）综合应用，强化能力（环节名：应用提升）
1. 基础练习：用特征判断
师：快速判断下列数是否为 3 的倍数，有困难的可以用 “弃 3 法”（先划去数位上是 3 的倍数的数，再算剩余数的和）。（板书：92、75、237、3051）
（学生独立判断，2 名学生板演过程）
生 9（板演）：92：9 是 3 的倍数，划去，剩 2，2 不是 3 的倍数→92 不是；75：7+5=12，12 是→75 是。
师：点评一下，这位同学用了 “弃 3 法”，简化了计算，很高效！另一位同学说说 237 和 3051？
生 10（板演）：237：2+3+7=12→是；3051：3 和 0 是 3 的倍数，划去，5+1=6→是。
师：完全正确！“弃 3 法” 是判断较大数的便捷方法，核心还是看 “剩余数的和是否为 3 的倍数”。
2. 综合练习：组数问题
师：用 4、3、5、0 四张卡片取三张组成三位数，满足：（1）是 3 的倍数；（2）同时是 2、3、5 的倍数。小组讨论后，派代表板演结果。
（小组讨论后，1 组板演）
生 11（板演）：（1）3 的倍数：345（3+4+5=12）、354、435、453、534、543、450（4+5+0=9）、405、540、504；（2）同时是 2、3、5 的倍数：450、540（个位是 0，且数位和是 3 的倍数）。
师：为什么同时是 2、3、5 的倍数只有这两个？
生 12：同时是 2 和 5 的倍数，个位必须是 0，再看剩下的数字（4、5）的和是 9，是 3 的倍数，所以只有 450 和 540。
师：思路很清晰！综合特征时，要先找 “共同限制条件”（如个位 0），再结合其他特征判断。
3. 实际应用：分组问题
师：22 名学生分组做游戏，至少再来几名学生能正好 3 人一组？请用 3 的倍数特征解决。
生 13：22 各数位和是 2+2=4，4 不是 3 的倍数，比 4 大的最小 3 的倍数是 6，6-4=2→至少来 2 人。
师：验证一下？22+2=24，24 是 3 的倍数吗？
生（齐）：24÷3=8，是！
设计意图：通过基础、综合、实际三类练习，分层强化特征应用，兼顾不同学情。
（四）总结梳理，关联单元（环节名：归纳升华）
师：对比 2、3、5 的倍数特征，它们的判断依据有什么不同？
生 14：2、5 看个位，3 看数位和！
师：我们还理解了 3 的倍数特征的原理 —— 基于数的组成分解，99、999 都是 3 的倍数，所以数位和决定了数是否为 3 的倍数。课后可以思考：9 的倍数特征可能是什么？（提示：类比 3 的特征）
设计意图：关联单元知识，为后续学习埋下伏笔，构建单元知识网络。
（五）课后作业
基础题：用 “弃 3 法” 判断 1234、5678、9999 是否为 3 的倍数
综合题：用 1、2、3、6 组成同时是 2、3、5 的倍数的四位数（数字不重复），能组成几个？
拓展题：推导 9 的倍数特征，并举例验证
八、教学反思
本节课通过 “打破定式 — 探究特征 — 推导原理” 的环节，有效突破重难点：多数学生能掌握 3 的倍数特征，并用 “数位和” 判断；通过数的组成分解，约 70% 的学生理解了特征原理。但仍有部分学生在综合应用时，会遗漏 “2、5 的倍数特征限制”（如组数时忘记个位 0）。后续需增加 “多特征综合判断” 的对比练习，强化 “先找共同条件” 的思维习惯。