2025-2026学年苏教版（2024）小学数学三年级上册《间隔排列：拓展思考》教学设计

2025-2026学年苏教版（2024）小学数学三年级上册
《间隔排列：拓展思考》教学设计
一、学情分析
三年级学生在之前《间隔排列》的基础学习中，已初步认识了两种物体一一间隔排列的现象，能直观判断 “两端物体相同”“两端物体不同” 等简单情况中两种物体数量的关系（如两端相同时光滑物体比中间物体多 1），具备一定的观察和简单归纳能力。
此阶段学生思维仍以具体形象为主，对抽象规律的拓展应用存在难度。他们对 “间隔排列” 的认知停留在 “物体个数” 的表面关联，对 “间隔数” 与 “物体数” 的深层联系、非一一间隔排列的规律及实际场景中的变式应用理解不足。同时，学生乐于参与探究活动，但在复杂情境中易忽略关键条件（如环形排列的封闭特征），归纳规律时也缺乏严谨的逻辑梳理能力。
二、核心素养教学目标
推理意识：通过观察、操作等活动，能从间隔排列的变式情境中（如环形排列、多层间隔）推理出物体数与间隔数的关系，形成有条理的推理过程。
模型意识：能将间隔排列的不同情况（直线、环形等）抽象为数学模型，用数量关系式表示规律（如环形排列中物体数 = 间隔数），并能运用模型解决问题。
几何直观：借助画图、摆学具等方式，直观呈现间隔排列的结构，通过图形感知规律的本质，提升对复杂排列现象的直观理解能力。
应用意识：能运用间隔排列的拓展规律解决生活中的实际问题（如围栅栏、插彩旗、锯木头等），感受数学与生活的紧密联系。
创新意识：在探究非标准间隔排列（如两种物体数量差为 2、3）的规律时，能提出新的猜想并通过验证得出结论，培养初步的创新思维。
三、简要教学重难点
教学重点
掌握环形间隔排列中物体数与间隔数的关系（物体数 = 间隔数），并能与直线间隔排列的规律（两端相同：物体数 = 间隔数 + 1；两端不同：物体数 = 间隔数）进行区分。
理解间隔排列中 “数量差” 与 “间隔数” 的关联，能解决 “两种物体数量差为 n” 的拓展问题。
运用间隔排列的拓展规律解决生活中的实际场景问题（如封闭图形周围摆物体、多层间隔排列等）。
教学难点
区分直线间隔与环形间隔排列的本质差异，明确 “封闭” 特征对物体数与间隔数关系的影响。
面对非一一间隔排列的复杂情境（如两种物体交替但数量不同、有重叠间隔）时，能准确提取关键信息并运用规律分析。
将实际问题抽象为间隔排列模型，灵活选择规律解决问题（如锯木头中 “段数” 与 “锯次” 的转化）。
四、教学准备
教具：多媒体课件（含教材《间隔排列》单元主题图回顾、环形排列情境图、生活中间隔排列的实际案例图、不同间隔排列的对比表格等）；白板、彩色粉笔；学具模型（圆形硬纸板代表环形场地，小磁钉代表物体，绳子代表间隔；直线排列用的直尺、小卡片）；典型练习题卡。
学具：每人一套间隔排列学具（10 个圆形卡片、10 个三角形卡片、1 根绳子）；练习本；画图工具（直尺、铅笔）。
五、教学过程
回顾旧知，情境导入
1.回顾基础规律
课件出示教材《间隔排列》基础课时的主题图：直线排列的情境 —— 小路一旁有 7 棵树，每两棵树之间有 1 朵花，共 6 朵花；两端都是树。
师：同学们还记得这幅图吗？谁能说说树和花的数量有什么关系？为什么？
生 1：树有 7 棵，花有 6 朵，树比花多 1 棵。因为两端都是树，树的数量 = 花的数量 + 1。
师：如果把两端的树换成花，变成 “花 — 树 — 花 — 树…… 花”，花和树的数量又有什么关系呢？
生 2：这时候花和树数量一样多，因为两端不同，两种物体数量相等。
师：大家对直线间隔排列的规律掌握得很好！今天我们要在这个基础上，深入研究更复杂的间隔排列问题 ——《拓展思考》。
2.创设环形情境
课件出示教材拓展思考的情境图：圆形花坛周围摆花，花坛一圈等距离摆了 8 盆月季，每两盆月季之间摆 1 盆菊花。
师：看这个圆形花坛，和之前的直线排列有什么不同？
生 3：之前是直线的，这个是圆的，围成了一圈。
师：像这样封闭起来的排列，叫环形间隔排列。那月季和菊花的数量有什么关系呢？今天我们就来探究这类问题。
设计意图：通过回顾直线间隔排列的基础规律，为拓展学习做好知识铺垫；对比直线与环形排列的情境，突出 “封闭” 这一关键特征，自然引出课题，激发学生的探究兴趣。
探究环形间隔排列的规律
1.猜想数量关系
师：圆形花坛摆了 8 盆月季，每两盆月季之间摆 1 盆菊花，大家猜一猜菊花有多少盆？
生 1：我觉得是 7 盆，因为直线上两端相同时间隔数比物体数少 1。
生 2：可能是 8 盆吧，因为围成一圈了，首尾连起来了。
师：到底是多少呢？我们可以用学具摆一摆验证。
2.动手操作验证
师：请大家用圆形卡片代表月季，三角形卡片代表菊花，在桌上摆一个圆形，先放 8 个圆形（间隔均匀），再在每两个圆形之间放三角形，看看能放多少个。
学生动手操作，教师巡视指导（提醒学生将圆形摆成封闭的一圈，间隔要均匀）。
师：谁来说说你摆的结果？
生 3：我在 8 个圆形之间摆三角形，正好摆了 8 个，和圆形数量一样多。
课件演示摆的过程：8 盆月季围成一圈，每两盆之间出现 1 个间隔，共 8 个间隔，每个间隔摆 1 盆菊花，正好 8 盆。
3.总结规律
师：为什么环形排列中月季和菊花数量一样多呢？大家观察一下，环形排列有 “两端” 吗？
生 4：没有两端，因为围成了一圈，首尾接起来了，第一盆月季和最后一盆月季之间也有一个间隔。
师：没错！环形排列中，没有 “两端”，每一个物体（月季）对应一个间隔，间隔数和物体数相等。所以菊花的数量 = 月季的数量 = 8 盆（板书：环形间隔排列：物体数 = 间隔数）。
出示练习：圆形池塘周围栽了 12 棵柳树，每两棵柳树之间栽 1 棵桃树，桃树有（ ）棵。
生：12 棵，因为环形排列中柳树和桃树数量相等。
设计意图：通过 “猜想 — 操作 — 验证” 的过程，让学生自主发现环形间隔排列的规律；结合 “有无两端” 的对比，帮助学生理解规律的本质，突破 “环形与直线排列差异” 的难点。
对比直线与环形间隔排列的规律
1.整理规律表格
师：我们学了直线和环形两种间隔排列，它们的规律不同，我们来整理一下吧。
课件出示表格，师生共同填写：
排列类型 特征 物体数与间隔数的关系 举例（物体 A、间隔 B）
直线排列（两端相同） 有起点和终点，两端都是物体 A 物体 A 数 = 间隔 B 数 + 1 7 棵树，6 朵花（树 = 花 + 1）
直线排列（两端不同） 有起点和终点，两端分别是 A 和 B 物体 A 数 = 间隔 B 数 5 朵花，5 棵树（花 = 树）
环形排列 封闭图形，无两端 物体 A 数 = 间隔 B 数 8 盆月季，8 盆菊花（月季 = 菊花）
师：大家对比表格，说说哪两种排列的规律容易混淆？为什么？
生 1：直线两端不同和环形排列，它们都是 “物体数 = 间隔数”，但一个是直线，一个是环形。
师：区分它们的关键看 “是否封闭”，直线两端不同是开放的，有明确的首尾；环形是封闭的，首尾相连。
2.案例辨析
课件出示案例：① 学校走廊长 20 米，每隔 5 米放 1 盆花，两端都不放，共放几盆花？② 圆形操场周长 20 米，每隔 5 米插 1 面旗，共插几面旗？
师：这两个案例都是 “20 米、每隔 5 米”，为什么排列规律不同？
生 2：①是直线走廊，两端不放花，是直线排列；②是圆形操场，是环形排列。
师：①中两端不放花，间隔数 = 20÷5=4，花的数量 = 间隔数 - 1=3 盆；②中环形排列，旗的数量 = 间隔数 = 20÷5=4 面。大家要注意先判断排列类型哦。
设计意图：通过表格整理和案例辨析，帮助学生系统区分不同间隔排列的规律，强化对 “封闭特征”“两端情况” 等关键条件的关注，提升规律的应用准确性。
探究间隔排列的数量差拓展问题
1.基础数量差回顾
师：直线两端相同的间隔排列中，两种物体数量差是 1（如树比花多 1）。如果数量差不是 1，会是什么情况呢？
课件出示教材拓展例题 1：一排灯笼，按 “红灯笼 — 黄灯笼 — 红灯笼 — 黄灯笼……” 排列，最后一个是红灯笼，红灯笼比黄灯笼多 2 个，已知黄灯笼有 5 个，红灯笼有多少个？
师：这是直线排列还是环形排列？两端是什么？
生 1：直线排列，两端都是红灯笼（因为最后一个是红灯笼，开头也是红灯笼）。
师：黄灯笼有 5 个，红灯笼比它多 2 个，红灯笼有 7 个。大家用学具摆一摆，看看是不是这样。
学生摆学具：红 — 黄 — 红 — 黄 — 红 — 黄 — 红 — 黄 — 红 — 黄 — 红，共 5 个黄灯笼，7 个红灯笼，差 2 个。
2.总结数量差规律
师：观察摆的结果，红灯笼比黄灯笼多 2 个，这和排列的 “组数” 有关吗？5 个黄灯笼对应 5 组 “红 — 黄”，还多 2 个红灯笼，正好是开头和结尾各多 1 个。
师：如果直线两端相同，两种物体按 “A—B—A—B……A” 排列，A 比 B 多 n 个，那么 A 的数量 = B 的数量 + n。这里的 n 和什么有关？
生 2：n 是 1、2、3…… 只要两端都是 A，多几个就是数量差。
出示练习：一排棋子，按 “黑 — 白 — 黑 — 白…… 黑” 排列，黑棋子比白棋子多 3 个，白棋子有 4 个，黑棋子有（ ）个。
生：4+3=7 个。
3.反向应用
课件出示题：一排气球，红气球比蓝气球多 1 个，共 15 个气球，红、蓝气球各有多少个？
师：这是两端相同的排列，红比蓝多 1 个，总数量 = 红 + 蓝 =（蓝 + 1）+ 蓝 = 2 蓝 + 1=15，所以蓝气球有 7 个，红气球有 8 个。大家可以摆一摆验证。
设计意图：从 “数量差为 1” 拓展到 “数量差为 n”，通过摆学具和算式分析，让学生理解数量差与排列结构的关系；反向练习培养学生的逆向推理能力，深化对规律的灵活应用。
解决生活中的间隔排列实际问题
1.封闭图形周围摆物体
课件出示教材拓展例题 2：一块正方形草坪，边长 10 米，在草坪四周每隔 2 米放 1 盆花（四个角都放），共要放多少盆花？
师：这是环形排列吗？正方形是封闭图形，属于环形排列的一种。
生 1：先算正方形的周长，10×4=40 米，每隔 2 米放 1 盆，间隔数 = 40÷2=20 个，所以花的数量 = 间隔数 = 20 盆。
师：四个角都放，会不会重复算？我们画图看看（课件画图：正方形四个角各放 1 盆，每边中间放（10÷2-2）=3 盆，每边共 5 盆，4 边共 5×4=20 盆，和之前结果一致）。
2.锯木头问题（间隔与次数）
师：生活中还有 “锯木头” 这样的间隔问题。课件出示：一根木头锯成 3 段，需要锯几次？
生 2：我用卡片摆一摆，锯 1 次分成 2 段，锯 2 次分成 3 段，所以锯 3 段要锯 2 次。
师：锯的次数和段数有什么关系？
生 3：段数 = 锯的次数 + 1，锯的次数 = 段数 - 1。
出示题：一根木头要锯成 5 段，每锯 1 次用 2 分钟，共要几分钟？
生：锯的次数 = 5-1=4 次，4×2=8 分钟。
3.多层间隔排列
课件出示：一个方阵花坛，最外层每边摆 6 盆花，最外层一共摆多少盆花？
师：这是多层间隔，先看最外层，四个边，每边 6 盆，能直接算 6×4 吗？
生 4：不能，因为四个角的花重复算了，每个角的花属于两条边。
师：正确的方法是：每边 6 盆，4 边先算 6×4=24 盆，再减去重复算的 4 个角的花，24-4=20 盆。也可以想 “每边间隔数”，每边有 5 个间隔，4 边共 5×4=20 盆（因为环形排列，间隔数 = 物体数）。
设计意图：通过 “正方形摆花”“锯木头”“方阵花坛” 等生活案例，让学生将间隔排列模型应用于实际问题；结合画图和分析，突破 “重复计算”“段数与次数转化” 等难点，培养应用意识。
巩固练习
1.基础练习（区分规律）
课件出示题：① 圆形池塘周长 30 米，每隔 3 米栽 1 棵树，共栽（ ）棵树。② 公路长 30 米，每隔 3 米栽 1 棵树，两端都栽，共栽（ ）棵树。③ 公路长 30 米，每隔 3 米栽 1 棵树，两端都不栽，共栽（ ）棵树。
学生独立完成后汇报：① 30÷3=10 棵（环形）；② 30÷3+1=11 棵（直线两端栽）；③ 30÷3-1=9 棵（直线两端不栽）。
2.提升练习（数量差与实际应用）
题：一串珠子按 “2 红 1 蓝” 的规律排列（红 — 红 — 蓝 — 红 — 红 — 蓝……），共排了 10 组，最后一个是蓝色，红珠子比蓝珠子多多少个？
生 1：每组有 2 红 1 蓝，红比蓝多 1 个，10 组就多 10 个。
题：把一根钢管锯成 8 段，每锯 1 次要付加工费 5 元，共要付多少元？
生 2：锯的次数 = 8-1=7 次，7×5=35 元。
3.拓展练习（复杂情境）
题：一个长方形操场，长 40 米，宽 20 米，在操场四周每隔 5 米插 1 面旗（四个角都插），共插多少面旗？如果每两面旗之间摆 2 盆花，共摆多少盆花？
生 3：先算周长（40+20）×2=120 米，旗的数量 = 120÷5=24 面；每两面旗之间摆 2 盆花，花的数量 = 24×2=48 盆。
设计意图：通过不同层次的练习，从基础规律区分到复杂情境应用，全面巩固所学知识；练习中融入生活场景，让学生感受数学的实用性。
课堂总结
1.回顾知识
师：同学们，今天我们拓展学习了间隔排列的哪些知识？
生 1：学习了环形间隔排列，规律是物体数 = 间隔数；还对比了直线和环形排列的不同。
生 2：知道了数量差可以是 1、2、3……，还解决了锯木头、摆花盆这些生活中的问题。
2.方法梳理
师：解决间隔排列问题，关键要先判断 “排列类型”（直线 / 环形，两端情况），再找 “物体数与间隔数的关系”，复杂问题可以画图或摆学具帮忙。
师：生活中还有很多间隔排列的现象，比如钟表上的刻度、楼梯的台阶，大家课后可以去观察，用今天学的知识分析一下。
设计意图：引导学生自主梳理拓展知识，总结解决问题的关键方法；鼓励学生课后观察生活，将数学学习延伸到生活中，培养应用意识。
六、小结
本节课是《间隔排列》的拓展思考课，基于学生已掌握的直线间隔排列基础规律，重点探究了环形间隔排列、数量差拓展及生活实际应用问题。通过情境对比，让学生明确环形排列 “封闭无两端” 的特征，自主发现 “物体数 = 间隔数” 的规律；通过表格整理和案例辨析，系统区分了直线（两端相同、两端不同、两端都不）与环形排列的规律差异，强化了规律的准确应用。
在数量差拓展部分，从 “差 1” 延伸到 “差 n”，通过动手操作和逆向练习，让学生理解数量差与排列结构的关联；在生活应用环节，结合 “正方形摆花”“锯木头”“方阵花坛” 等案例，引导学生将实际问题抽象为间隔排列模型，灵活选择规律解决问题，培养了模型意识和应用意识。
教学中注重师生互动和动手操作，如用学具摆环形排列、画图分析方阵问题等，让学生在 “做中学”，提升了几何直观和推理能力。后续教学中，可鼓励学生结合生活中的复杂间隔现象（如多层环形排列、非均匀间隔）进行探究，进一步提升创新思维和问题解决能力。