吉林省吉林市永吉县2025年九年级下学期中考二模数学试卷(含答案)

2025年吉林省吉林市永吉县中考二模数学试卷
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．据网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元，目前观影人次已超3亿，位居全球影史票房榜第5位，150亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ 　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．计算： ．
8．如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是 ．
9．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是 ．
10．如图1，先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到，过B点作，分别交于点P、Q，若则 ．
11．如图，正六边形的边长为，边，与相切于点C，F，连接，则的长为 ．
三、解答题
12．先化简，再求值：，其中．
13．某班级师生为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同．求购买1件甲种奖品需要的钱数．
14．化学元素符号是化学学科特有的语言工具，用于表示各种化学元素的符号．化学老师在一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号S，C，N，O的小球（如图所示），这些小球除元素符号外无其他差别，化学老师从袋子中随机摸出一个小球（不放回），小明再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球．
(1)化学老师摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为___________；
(2)用列表或画树状图的方法求化学老师与小明摸出的两个小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率．
15．如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：．
16．“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，是为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立的．小华对截止到第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．
a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）：
b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是：
c．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
71.2 m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)截止到第十六届共有_______人获得“华罗庚数学奖”；
(2)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(3)第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄_______（填“小”或“大”），理由是_____________．
17．某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点．
(1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？
18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中作边上的中线；
(2)在图②中的边上找到一点，使；
(3)在图③中作的角平分线．
19．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，）
20．在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)求小明、小红两人的速度．
(2)求小明从地前往地过程中关于的函数表达式．
(3)请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米．
21．如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y．
(1)______；
(2)当点E在CD上时，______；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、B两点，点A在点B左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为D，作直线，点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴的垂线，与直线交于点E，点C关于直线的对称点为，连接，设点P的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点的纵坐标与顶点D的纵坐标相等时，求的值；
(3)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围；
(4)连接，当与相等时，直接写出的值．
参考答案
1．B
解：根据绝对值的定义可得：的绝对值是，
故选：．
2．C
解：150亿，
故选：C．
3．C
解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为
故选：．
4．C
解：关于x的一元二次方程，
．
∵，
∴，即，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
5．A
解：∵，
∴，
∵，
∵四边形是平行四边形，在轴上
∴轴，
由作图得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴
故选：A．
6．D
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7．
解：
，
故答案为：．
8．三角形的稳定性
解：在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
9．
解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
10．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠得，，
∴，
∴
∵，，
∴，
延长交于F，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
11．
解：连接，取的中点，连接，
∵六边形是正六边形，
∴点是正六边形的中心，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵正六边形的边，与相切于点C，F，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
的长为.
故答案为：．
12．，
解：原式，
当时，原式
13．购买1件甲种奖品需35元
解：设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：购买1件甲种奖品需35元．
14．(1)
(2)
（1）解：根据题意得：摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为．
故答案为：
（2）解：画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中能组成“”（一氧化碳）的结果有2种，
∴化学老师与小明摸出的小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率为．
15．见解析
证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵相交于点，
∴．
16．(1)30
(2)见解析
(3)小，徐宗本院士获奖时的年龄小于“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数．
（1）解：人，
即截止到第十六届共有30人获得“华罗庚数学奖”，
故答案为：30；
（2）解：年龄段的得主获奖人数为：人，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：由“华罗庚数学奖”得主获奖人数为30人可知，获奖年龄的中位数为第和16名年龄的平均数，
年龄段有3人，年龄段有人，
第和16名年龄在年龄段，分别为69岁和69岁，
“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数岁，
徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，
他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小，理由是徐宗本院士获奖时的年龄小于“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数．
17．(1)；
(2)提前8天完成此项工程．
（1）解：设反比例函数关系式为．
把代入得，，
．
（2）解：把代入得，，
把代入得，，
．
答：提前8天完成此项工程．
18．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析
（1）解：如图①，即为所求；
（2）如图②，点F即为所求．
（3）的角平分线，如图③即为所求，
19．
解：过点作于点，作于点，
∵，，，
∴，
∴四边形矩形，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
答：此时灯罩顶端到桌面的高度是．
20．(1)小明骑自行车速度是 （米/分），小红步行速度是 （米/分）
(2)
(3)或或
（1）解：根据图象，得到，小红走完用时间为，
故小红的速度为：；
根据图象，得到，小明走完用时间为，
故小明的速度为：．
（2）解：根据题意，小明从地前往地用时间为，
故直线经过点和，
设解析式，
故 ，
解得，
故解析式为．
（3）① ，
解得 ；
②，解得 ；
③ ，
解得 .
综上所述，经过分钟或分钟或分钟，符合题意.
21．(1)
(2)
(3)
（1）解：四边形是矩形，
，，
，，
，
故答案为：；
（2）解：如图，当点E在上时，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：；
（3）解：如图，
点Q在线段运动时间为，
当时，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴y与x的函数关系式为，
当时，延长与交于点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴y与x的函数关系式为，
∵点P在上的运动时间是，
点Q从点B到A再到点C运动时间为，
∴当 时，设与交于点N，与交于点M，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
．
y与x的函数关系式为，
综上所述，．
22．(1)
(2)
(3)或
(4)或
（1）解：∵抛物线与轴交于，与轴交于点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（）得：抛物线的解析式为，
∴顶点的坐标为，
∵点的纵坐标与顶点的纵坐标相等，
∴点的坐标为，
∴点的纵坐标为，
当时，，
解得：或，
∵点在对称轴左侧，
∴，
∴；
（3）解：由题意可知，点在对称轴左侧，
∴，
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大；
当时，在内部不存在抛物线图象；
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；
综上可知：的取值范围为或；
（4）解：设直线的表达式为，
由，当时，，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
如图，过作轴于点，设与轴交于点，
∴，，
设，
∵轴，
∴点纵坐标为，
∵点在直线上，
∴，解得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或或或，
∵点在对称轴左侧，
∴，
∴或，
∴的值为或．