湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期开学入学考试数学试卷(图片版,含答案)

17.(本小题满分15分)
如图，在平面凸四边形ABCD中，tan∠ABD+tan∠ADB=2sin∠BAD.
cos∠ABD:
(1)求∠ADB:
(2)若AD=BD=4,∠ACB=否，求CD.
18.(★)（本小题满分17分）
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛
的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有
一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比
赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是
(1)试指出丙最终获胜的概率与的大小关系（不需给出理由）：
(2)求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率；
(3)求丙最终获胜的概率，
数学试题（长郡版）第5页（共6页）
19.(★)（本小题满分17分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,平面PAC⊥平面PBC.
(1)求证：BC⊥AC:
(2)若PA=√2，AC=BC=2,M是PB的中点，N,F分别在线段BC,AM上移动.
(ⅰ)求PB与平面PAC所成角的正切值；
(ⅱ)若FN∥平面PAC,求线段FN长度取最小值时二面角F-BC-A的平面角的正切值
数学试题（长郡版）第6页（共6页）
长郡中学2025年高二暑假作业检测试卷
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.）
题号
1
2
3
4
6
8
答案
C
D
B
A
A
D
D
C【解析Sm501sn70)n(60-10)十sn(60+10)-2sm60co10）-3o10-8故选C
1+cos209
1+2cos210°-1
2c0s210°
&.D【解折】由已知e+2nb=-a,则e+a=+1n是
因为6>1，则+n名>+2n-+n>+n,
所以+n方>e十a>+n京令f)=e+知x)在R上单调道增
因为e+a=fa,2+n是=fn)名+n方eat+ln名-fn):
所以fn方)>fa)>fn):由f)的单洞性知1n方>a>1n即1n方>ne>ln
则b1>e>b2,C错，D对；
若6=e,此时e十a=是-2，且-1>>-2，
e-)付到ea+0+日}是-
所以ei-子>是-2=e+a,则-286,排除A:
若b=e",此时e+a=e"-2n,且-n>a>-2m,
取n=10,必有a2<4n2二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
题号
9
10
11
答案
BD
ABD
ABD
10.ABD【解析】对于A,因为BD⊥平面ACD,所以一定有CP⊥BD1,故A正确；
对于B,如图1，由正方体的性质可得AD∥B,C,A1D吐平面AB1C,
∴.AD∥平面ABC,∴.点P到平面AB1C的距离为定值，
又S△AB,c为定值，则VrAB,C为定值，即三棱锥B:-ACP的体积不变，故B正确；
对于C,如图2，将平面DCBA1翻折到平面ADA上，
连接AC,与A1D的交点即为点P,此时PA十PC取最小值AC,
在△ADC中，∠ADC=135°，AC=√AD+CD2-2AD·CDcos135°=V2+√2，故C错误；
对于D,如图3，由于BD1⊥平面ABC,设BD1与平面AB1C交于点Q,
BQ=}BD,=设以B为球心，号为丰径的球与手面AB,C交线上任一点为G,
∴G-号G=√()-（号）-9
数学参考答案（长郡版）一1