河北省邯郸市育华中学2025年九年级下学期中考四模数学试卷(含答案)

2025年河北省邯郸市丛台区育华中学中考数学四模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.表示代数式“”的意义正确的是( )
A. B. C. D.
2.在如图所示的平面内，点P是直线l外一点，过点P可作a条直线l的垂线，过点P可作b条直线l的平行线，则的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定
3.关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是( )
A. 3 B. C. 2 D.
4.如图，与是位似图形，则位似中心可以是( )
A. 点M B. 点N C. 点Q D. 点P
5.某市准备规划一座长为，宽为的矩形市民健身娱乐场所，则该场所的面积用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
6.如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的n个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则n的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.若，则代数式的值是( )
A. B. 2 C. D. 4
8.如图，四边形ABCD内接于，点I是的内心，，点E在AD的延长线上，则的度数为
A. B. C. D.
9.“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的倍，求小刚通过AB的速度．设小刚通过AB的速度为x米/秒，则根据题意列方程为( )
A. B. C. D.
10.关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 实数根的个数由b的值确定 B. 没有实数根
C. 两根互为倒数 D. 若，则两根互为相反数
11.如图，点P在正六边形ABCDEF的对角线BE上移动，以点A为圆心、线段AP的长为半径作弧，交射线AF于点若，则AQ的长可以是( )
A.
B. 3cm
C.
D. 7cm
12.如图1是点P为等边的边AC上一点点P不与点C重合，过点P作于点Q，设，，y与x的函数关系图象如图2所示，下列结论正确的是( )
A. B. 等边三角形ABC的边长为3
C. 当时，BP的长最小 D. y与x的函数关系为：
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，则“？”是______.
14.如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得，，则直线DE与BC所夹锐角的大小为______.
15.如图，正方形ABCD的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形ABCD有公共点包括边界，则k的整数值有______个.
16.如图，已知，且，，，点D、F分别在BC、AC上滑动.点M是AB的中点，点N是DF的中点，则MN的最小值是______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题7分
如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算.
①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：；
②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和；
将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□-□”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值.
18.本小题8分
下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A、B是关于n的多项式.
例：先去括号，再合并同类项：
解：
=…
①直接写出：______，______；
②直接写出：原式的运算结果为______；
若n为任意正整数，试说明的值总能被7整除.
19.本小题9分
为提高在校生消防安全意识，现从某校抽取一部分学生进行消防安全知识检测，男生女生分开进行，将男生成绩绘制成条形统计图其中得4分的人数丢失，女生成绩绘制成扇形统计图，若从参赛的男生中随机抽取一人，抽到得4分的概率为
计算男生得4分的人数，补全条形统计图；
若男生的人数是女生的人数的2倍，男生成绩中位数是a，女生成绩众数是b，求的值；
若扇形图中的和是邻补角，求女生得分为5分的扇形的圆心角度数，并比较此时男生和女生平均成绩的大小.
20.本小题9分
如图，笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里，渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后到达点C，此时，从B测得渔船在北偏西的方向.
填空：______度，______度；
求观测站A，B之间的距离结果保留根号；
求点C与点B之间的距离结果保留整数
参考数据：
21.本小题9分
如图，量角器的直径，点A对应刻度，点B对应刻度，AB的中点即量角器的外轮廓所在圆的圆心为点O，点P为AB右下方上一点，弧BP所对应的圆心角为，射线PQ从与PB重合的位置开始，以每秒的速度绕点P逆时针旋转一周，射线PQ与，AB分别相交于点C，点
当点C处的刻度为时，直接写出的度数；
当射线PQ刚好经过点O时.求PQ在量角器上扫过部分的面积；
当射线PQ旋转至与相切时，求射线PQ旋转的时间.
22.本小题9分
如图，已知一次函数的图象经过点，
求这个一次函数；
若点在该函数图象上，连接OC，求的面积；
若点是该函数图象上的一个动点，点D坐标为连接DP，将线段DP绕点D顺时针旋转得到线段DQ，点Q是否能落在第三象限，若能，请直接写出m的取值范围；若不能，请说明理由.
23.本小题10分
消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面2m，距离原点的水平距离为6m，着火点A距离点B的水平距离为10m，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数
写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c；
若着火点A高出地面
①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴；
②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离1m的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______.
24.本小题11分
如图1，在平行四边形ABCD中，于点E，且点P从点E出发，沿向终点C运动，设点P在该折线上运动的路径长为，连接
的长为______，当点 P在BC上运动时，EP的最小值为______；
点F是AE的中点，如图2，
①请用无刻度的直尺和圆规过点F作BC的垂线FG，垂足为点保留作图痕迹，不写作法；
②求证：≌；
延长PE到点M，使得，以CE，ME为邻边作平行四边形
①当点P在BC上，平行四边形CEMN对角线EN所在的直线恰好经过点D时，如图3，求x的值；
②当点A落在平行四边形CEMN的边上或内部时，直接写出x的取值范围.
答案和解析
1.A
解：，
故选：
2.C
解：根据题意可知，过点P作直线l的垂线，过点P作直线l的平行线，，
将，代入，可得
故选：
3.A
解：，
，
由数轴可知，该不等式的解集为，
，
解得，
故选：
4.D
解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，
故选：
5.C
解：
故选：
6.C
解：拿走其中的n个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，可以拿走最左侧的一个和最右侧的两个，则n的最大值为
故选：
7.D
解：原式
当时．原式
故选：
8.C
解：点I是的内心，
，，
，


，
又四边形ABCD内接于，
，
故选：
9.A
解：米，
米．
小刚通过AB的速度为x米/秒，通过BC的速度是通过AB的倍，
小刚通过BC的速度为米/秒．
又小刚共用时10秒通过AC，
故选：
10.D
解：，
此方程有两个不相等的实数根，
当时，方程变形为，解得或，即两根互为相反数，
故选：
11.C
解：如图，过点A作于点，
则由题意可知，，，
，
，，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
当点P在正六边形ABCDEF的对角线BE上移动时，，
故选：
12.B
解：观察图象得：当时，，此时点P与点A重合，
由题意可得：此时点Q是BC的中点，
，，
此时，
此时，
解得：负值舍去，故A选项错误；
等边三角形ABC的边长为，故B选项正确；
在中，，，
，，
当时，取得最小值，BP长最小，故C选项错误；
，故D选项错误．
故选：
13.3
解：，
“？”是3，
故答案为：
根据幂的乘方法则计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14.
解：延长DE交BC于F，
，，
故答案为：
15.9
解：点，正方形ABCD的顶点都在正方形网格的格点处，
，
当反比例函数过点D时，，
当反比例函数过点B时，，
满足条件的k的取值范围为，其中共有9个k的整数值．
故答案为：
16.2
解：连接CN，CM，
，，，
，
，
，
点M是AB的中点，点N是DF的中点，，
，，
由三角形三边关系定理得到：，
的最小值是
故答案为：
17.①，②；

①
；
②摸出的四个数字的积不为0，
摸出的四个数字为，5，2，
；
根据有理数的加法法则可知，当摸出的四个小球上的数字为，0，5，2时，计算结果最小，
即
18.①；；②； 证明见解析．
①根据题意可知，，
则，
故答案为：；；
②
故答案为：；
原式
，
即n为任意正整数，的值总能被7整除．
19.6，图见解析；
；
，男生平均成绩>女生平均成绩．
设得4分的人数为x，则，解得，
经检验，是分式方程的解，
补全条形统计图如图，
男生人数为20人，
女生人数为10人，
由题意可知，男生成绩的第10，11个数分别为3和4，
中位数分，
观察扇形统计图可知 分，
；
若扇形图中的和是邻补角，则，即2分，3分所占的比例为，
分所占的比例为，
，
女生得分为5分的扇形的圆心角度数为，
男生平均成绩：分，
女生平均成绩：分，
男生平均成绩>女生平均成绩．
20.30，45；
观测站A，B之间的距离为海里；
点C与点B之间的距离约为27海里．
解：从A处测得点P处渔船在北偏西的方向，
，
从B处测得渔船点P处在其东北方向，从B测得点C渔船在北偏西的方向，
，
，
故答案为：30，45；
如图1，过点P作于D点，则，
在中，，海里，
海里，海里，
在中，，
海里，
海里，
观测站A，B之间的距离为海里；
根据题意，得如图2，过点P作于D点，过点B作，垂足为F，
在中，，，
海里．
在中，，，
海里，
则点C与点B之间的距离约为27海里．
21.； ； 当射线PQ旋转至与相切时，射线PQ旋转的时间为30秒或66秒．
解：的度数为
连接OC，如图，
点C处的刻度为，
，
，
；
连接PO并延长，交于点C，如图，
弧BP所对应的圆心角为，
，
，
在量角器上扫过部分为扇形
，
在量角器上扫过部分的面积为
连接PO，过点P作，如图，
，OP为的半径，
为的切线，
，，
为等边三角形，
，
，
情况一：当PQ旋转至位置时，
射线PQ旋转的角度为，
射线PQ从与PB重合的位置开始，以每秒的速度绕点P逆时针旋转，
射线PQ旋转的时间为秒
情况二：当PQ旋转至位置时，射线PQ转过的角度为，
射线PQ从与PB重合的位置开始，以每秒的速度绕点P逆时针旋转，
射线PQ旋转的时间为秒
综上所述，当射线PQ旋转至与相切时，射线PQ旋转的时间为30秒或66秒．
22.；
12；
点Q能落在第三象限；m的取值范围为；理由见解答过程．
解：已知一次函数的图象经过点，，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得，
这个一次函数的解析式为；
点在图象上，将点C代入得：
，
解得，
，
的OB边上的高为，
又，
，
的面积为
点Q能落在第三象限；m的取值范围为；理由如下：
解：将点代入一次函数得：，
，
由题意，有以下两个临界位置：
①如图1，当轴时，将线段DP绕点D顺时针旋转得到线段DQ，点Q恰好落在y轴上，
点D坐标为，
此时，
解得；
②如图2，当将线段DP绕点D顺时针旋转得到线段DQ，点Q恰好落在x轴上时，
过点P作轴于点E，
，
点D坐标为，
，
轴，，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，即，
将线段DP绕点D顺时针旋转得到线段DQ，点Q能落在第三象限，此时
23.点B的坐标为，；
①抛物线的解析式为：，对称轴为直线；②，
消防车上的喷水口B高出地面2m，距离原点的水平距离为6m，
点B的坐标为，
抛物线L的解析式为经过点，
，
整理得：；
①着火点A距离点B的水平距离为10m，着火点A高出地面3m，点B的坐标为，
，
，
由得，
抛物线的解析式为：，
水流恰好经过着火点A，
代入得：，
解得：，
，
抛物线的解析式为：，
对称轴为直线，
②消防员对距着火点A水平距离1m的范围内继续进行喷水，，
当抛物线经过点时，
，
解得：；
当抛物线经过点时，
，，
解得：，
综上可得：，
，，
随b的增大而增大，
当时，c取得最小值为，
的最小值为
故答案为：，
24.5；；
①见解析；
②见解析；
①；
②x的取值范围为；理由见解答过程．
解：在平行四边形ABCD中，于点E，且
，
，
解得：，
在直角三角形BCE中，由勾股定理得：，
当时，EP取得最小值，
，即，
解得：，
的最小值为；
故答案为：5；；
①如图2，即为所求；
②由作图知，
，即，
，
，
，
点F是AE的中点，
，
，
≌；
①点P从点E出发，沿向终点C运动，设点P在该折线上运动的路径长为，点P在BC上，平行四边形CEMN对角线EN所在的直线恰好经过点D时，如图3，
由题意得，，，，
，
，，
，
四边形 ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得；
②x的取值范围为；理由如下：
当P在BE上时，如图4，
，
，
当时，点A落在 CEMN的边上，
，
解得：，
；
当P在BC上时，如图5，过P作于Q，设MN与直线AB交于H，
，
，
，，，
，，
，
四边形CEMN是平行四边形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
当且时，点A落在 CEMN的边上或内部，
，
解得：，
，
综上所述，当时，点A落在 CEMN的边上或内部．