3.3 幂函数 过关练习 2025--2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

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3.3 幂函数 过关练习 2025--2026学年
高中数学必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．下列函数中是幂函数的是(　　)
A． B．
C． D．
2．已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　)
A．－3 B．2 C．－3或2 D．3
3．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
4．已知，，，则
A． B．
C． D．
5．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
6．设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（ ）
A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，3
7．如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在内的连续函数，若对于任意，都有恒成立，则称在内是“上凸函数”．则在①，②，③这三个函数中，当时，“上凸函数”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．若函数，则（ ）
A．的图象经过点和
B．当的图象经过点时，为奇函数
C．当的图象经过点时，为偶函数
D．当时，存在使得
10．若函数的图象经过点，则（ ）
A．
B．是偶函数且在区间上单调递增
C．当时，函数的图象与函数的图象恒有两个交点
D．当时，函数的最小值为2
三、填空题
11．函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为 ．
12．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 .
13．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 .
14．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为___________.
15．已知函数且，则在区间内的最小值为 ．
四、解答题
16．已知幂函数f（x）=（m2–5m+7）x–m–1（m∈R）为偶函数．
（1）求的值；
（2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值．
17．已知幂函数（）的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足不等式的实数a的取值范围.
18．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
19．已知幂函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)当时，求函数的值域．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A A A C B BC AD
1．C
【分析】根据幂函数的定义即可得到结果.
【详解】根据幂函数的定义知，是幂函数，
都不是幂函数．
故选：C．
【点睛】本题考查幂函数的定义，属于基础题.
2．A
【分析】根据幂函数的定义判断即可．
【详解】由是幂函数，
知，解得或.
∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴.
故.
故选：A.
【点睛】本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题．
3．A
【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.
【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
4．A
【详解】因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即b故选：A.
5．A
【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可．
【详解】由函数是幂函数，可得，解得或.
当时，；当时，.
因为函数在上是单调递增函数，故.
又，所以，所以，则.
故选：A.
6．A
【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可．
【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件.
当时，，为奇函数，值域为R，满足条件.
当时，为偶函数，值域为，不满足条件.
当时，为奇函数，值域为R，满足条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题．
7．C
【分析】根据各选项中函数的性质判断即可.
【详解】为奇函数，图象关于原点对称，A错误；
，当时，，故函数在上单调递增，B错误；
为偶函数，图象关于轴对称，且在上单调递减，在上单调递增，C正确；
为偶函数，且在上单调递增，D错误．
故选：C.
8．B
【分析】运用“上凸函数”的定义，结合特殊值判断即可.
【详解】对于，
当时，取，故①②不是“上凸函数”；
对于，任取，则，
要证，只需，
即证，
又成立，
则恒成立，
故在内是“上凸函数”．
故选：B.
9．BC
【分析】利用幂函数的性质一一判断求解即可.
【详解】根据幂函数的图象性质可知，当时，幂函数不经过点，故A错误；
当的图象经过点时，，
因为经过点，
所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称，
又，
所以为奇函数，B正确；
当的图象经过点时，，
因为经过点，
所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称，
又，
所以为偶函数，C正确；
当时，在单调递增，
所以，D错误，
故选：BC.
10．AD
【分析】运用函数经过点，求出解析式，判断A；运用奇偶性和对勾函数图象判断B；运用图象判断C，D.
【详解】由题意得，解得，所以，A正确；
由，故是奇函数，
结合对勾函数图象可知在区间内单调递减，在上单调递增，B错误；
当时，函数图象与轴没有交点，C错误；
当时，由单调性得，D正确．
故选：AD.
11．
【分析】根据幂函数的性质既可以求得.
【详解】根据三个函数可得定义域为：，则根据幂函数的性质可知这三个函数都经过点.
故答案为：
12． 0
【分析】由题意，设，结合的图象过点求出，进而可得，再根据单调性求解最值.
【详解】设，是常数，则，
解得，则，
所以，在区间上单调递增，
所以函数的最小值是，最大值是.
故答案为：0；.
13．
【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.
【详解】因函数是幂函数，则，解得或，
当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，
当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，
不等式化为：，即，解得：，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
14．/
【分析】先设，根据题意得到，进而，利用换元法结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设幂函数，
因为幂函数的图象经过点，
所以，因此,
所以，
所以，令，则，，
∴时，.
故答案为：##
15．/
【分析】根据条件求出解析式，用定义证明函数单调性，结合基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以，解得，故
设，则，
因为，所以，即，
所以当时单调递增；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
作图可知在区间内的最小值为．
故答案为：.
16．（1）16（2）a=–1或a=–．
【分析】(1)根据幂函数定义求m，再根据偶函数性质进行取舍，最后求函数值，(2)根据幂函数定义域以及单调性列方程组，解得结果.
【详解】（1）函数f（x）=（m2–5m+7）x–m–1（m∈R）为幂函数，
∴m2–5m+7=1，
解得m=2或m=3；
m=2时，f（x）=x–3，不是偶函数，舍去；
m=3时，f（x）=x–4，为偶函数，满足题意；
∴f（x）=x–4，
∴=16；
（2）若f（2a+1）=f（a），
则（2a+1）–4=a–4，
即，
解得a=–1或a=–．
【点睛】本题考查幂函数定义以及性质，考查基本求解能力.
17．.
【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性得到，故，根据函数的定义域和单调性，得到不等式，求出实数a的取值范围.
【详解】若幂函数（）的图象关于y轴对称，则为偶函数，
即为偶数，则m为奇数，又在上单调递减，
因而，即.
又，从而.
故不等式可化为.
函数的定义域为，且在与上均单调递减，
因而或或，
解得或，
即满足不等式的实数a的取值范围为.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）根据幂函数，偶函数的定义以及题意可知，，，即可求出，得到函数的解析式；
（2）由偶函数的性质以及函数的单调性可得，即，即可解出．
【详解】（1）∵，∴，∵，
∴，即或2，
∵在上单调递增，为偶函数，∴，即．
(2)∵
∴，，，
∴，即的取值范围为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求解；
（2）利用换元法，结合二次函数的性质求解.
【详解】（1）由题意得，解得或，
当时，为奇函数；
当时，，其定义域为，故不是奇函数，
所以．
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，
则，
则在上单调递增，
则，
故的值域为．
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